2023-2024学年河北省定兴中学高二年级上册12月联考数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北省定兴中学高二上册12月联考数学

模拟试题

一、单选题

1.一箱脐橙共有21个，其中有3个是坏果，若从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的

概率为()

A.-B.-C.-D.-

7777

【正确答案】D

【分析】根据古典概型的概率计算公式可得答案.

【详解】依题意可得，取到的脐橙不是坏果的概率为告3=*

故选：D

2.若数歹∣J{(}的前〃项和S“=3〃+3"+1,则%=()

A.18B.19C.20D.21

【正确答案】D

【分析】利用S"与””的关系可得q=53-邑，计算即可.

【详解】«3=53-52=37-16=21.

故选：D.

3.设椭圆片+片=1的上顶点、右顶点分别为A,B,则以线段AB为直径的圆的方程为()

94

ʌ-RT÷(y-ι)2=⅛B.卜一∣J+(5号

【正确答案】A

【分析】根据椭圆的性质和圆的标准方程求解.

【详解】依题意可得A(0,2),B(3,0),则卜JF,线段AB的中点为(|/

故以线段AB为直径的圆的方程为卜-5j+U-I)

故选:A.

4.在四面体ABCD中，CE=2ED,贝IJBE=()

A.-AB+-AC-}--ADB.—ABH—ACH—AD

3333

C.ΛB+-AC-^--ADD.AB+-AC+-AD

3333

【正确答案】B

【分析】利用平面向量的线性运算即可求解.

2

【详解】因为CE=2ED,所以CE=Ie£>,则

—.__.一一.___..2/∙-\1?

BE=BA+AE=-AB+AC+CE=-AB+AC+-∖AD-AC]=-AB+-AC+-AD.

3、>33

故选.B

5.跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，令肌肉量适当地恢复正常的水平，

同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小孟最近给自己制定了一

个218千米的跑步健身计划，第一天他跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他

要完成该计划至少需要()

A.29天B.28天C.27天D.26天

【正确答案】A

【分析】依题意可得，小孟从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1,公

差为0.5,然后利用等差数列的前〃项和公式即可求解.

【详解】依题意可得，小孟从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1千米,

公差为0.5千米.设经过n天后他完成健身计划，

则〃+叫AX∕≥2I8,整理得〃2+3〃一872±0.因为函数〃力=f+3x-872在[l,+∞)上

为增函数，且/(28)<0,/(29)>0,

所以“≥29.

故选.A

6.已知平面ɑ的一个法向量为加=(—2,1,-1),向量AB=(O,-1,2),AC=(I,—1,0),则平面α

与平面A8C夹角的正切值为()

A.√2B.2C.√5D.√6

【正确答案】C

【分析】根据面面角的向量求法求出平面α与平面ABC夹角的余弦值，即可根据同角三角

函数的关系得出答案∙

【详解】设〃=(x,y,z)为平面ABC的法向量,

n∙ΛB=-y+2z=0Aι

则，令x=2,得〃=(z2,2,1).

n∙AC=x-y=O

m`n

所以平面α与平面4BC夹角的余弦值为ICOS(〃,"，=_76

m∣∣∕?-6'

则平面α与平面ABC夹角的正弦值为』1-

所以平面α与平面ABC夹角的正切值为场=6.

故选：C.

7.在首项为3的数列｛q｝中，Ym,

am+n=-aman,设口=Iog24,则数列,

的前100项和为()

A.⑼nɪθθ

D.—

201-≡IOI

【正确答案】A

【分析】令a=1得出用=；可，即可得出｛q｝的通项公式，再将｛%｝的通项公式代入

I]

⅛=Ioga中求得〃，再代入中，由裂项相消即可求得数列•的前100项和.

2nbb.⅛⅛.

n,,+l+l

【详解】令m=1,得4,所以｛4｝是首项为公比为:的等比数列,

2n1111

所以a,,=，'(’]=2'^,bn=Iog2a,l=}-2n,—ɪ-

2UJ帅田(2M-1)(2M÷1)2∖2n-l2〃+1/

所以数列Wd的前ι°°项和为ST+H++⅛-⅛)=^∙

故选：A.

8.已知F为抛物线。：丫2=23(0>0)的焦点，过尸且斜率为G的直线交C于4，B两点,

过A,B两点作准线的垂线，垂足分别为A,B1,线段A尸交y轴于4,线段B/交y轴于

刀，14闻=2,则P的值为()

A.2B.4C.√3D.2y∕3

【正确答案】C

【分析】设A(XQJ,B｛x2,y2),由题意可知&与为R片的中位线，则

∖AlBt∖=2∖A2B2∖=∖yl-y2∖=4,联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求解即可.

【详解】设Aa,χ),B(x2,y2),

由题意可知AB?为λFA1B1的中位线，则∣A4∣=2%见=IX-必|=4,

过且斜率为G的直线方程为：>=61-£|,

联立得y2-型Py-P2=o,则%+%=迪p，yly2=-p∖

.V=2px,?33

贝IJlyl-%I=4=J(y∣+必)2—4χ%=+4p2=^γ-p>解得P=石.

故选：C.

二、多选题

9.在正项等差数列｛%｝中，出=12,在正项等比数列出｝中，"+α=6,则()

A.4+%+%=36B.4的最大值为3

C.0<ɑɜ—6Z,<—D.4(b∣+2⅛3+々)>36

【正确答案】ABC

【分析】由等差数列的通项公式可判断A；由基本不等式及等比数列的性质可判断B；由题

意d=4-%>0且4=%-8d=12-8d>0,即可判断C；由等比数列的性质可判断D.

【详解】由等差数列的通项公式可知q+%+%=3(4+8d)=3%=36,故A正确；

在正项等比数列｛〃｝中，6=H+"≥2师=也，当且仅当％=2=3时，等号成立，则4

的最大值为3,故B正确;

设｛%｝的公差为d,因为。”>0,所以I=%-%>。，Jl«,=⅜-8√=12-8J>O,所以

33

0<d<—,即0<α?-4V/,故C正确；

⅛3(⅛l+24+⅛5)=⅛l⅛3+2b；+=6+2Z≠4+6=他+dY=36,故D错误,

故选：ABC.

10.已知P为直线Lx+y-7=0上的动点，过点P作圆C:(X-I)?+(y-2)2=l(C为圆心)

的切线，A为其中的一个切点，则()

A.∣PC∣的最小值为2夜

B.I网的最小值为3

C.sin∕4CP的最小值为反

4

D.当B为另一个切点时，PA∙P3的最小值为2啦-3

【正确答案】AC

【分析】直线/与圆C相离，则IPcl的最小值为C到直线/的距离，即可判断A；由

IPAI=1PC『一1可判断B；在直角三角形中求得Sinz4CP=J普，即可判断C；设

『+而-3,结合函数的单调性可判断D.

ZAPC=θ,PA∙PB=∣PA∣2(l-2sin26∣)≈∣尸。

【详解】圆C的圆心(1,2),半径为1,

因为C到直线/的距离为吟R=2√∑>l,所以直线/与圆C相离，所以IPq的最小值为

2√2,故A正确；

因为AP_LAC,所以IPAl=JPCIMmin=疗，故B错误;

则sinZAC尸的最小值为J1^=坐

晒2一|时

SinNAeP=

PCIPo

故C正确;

八IAa1

设ZAPC=6,sm，=胃=画，则

PA-PB=∣P4∣2cos26»=∣PA∣2(l-2sin2θ)=(IPCl?-ɪ)I-2=IPel'3-3,令

百IPq

Z=∣PC∣2∈[8,-W）,由对勾函数的性质可知，24,8=：+一3在fe[8,M）上单调递增，则

91

当f=8时，PA.PB的最小值为弓，故D错误.

故选：AC.

11.如图，在四棱锥P-ABC。中，PA±nABCD,底面ABCD是正方形，SLPA=AB=I,

E,F分别为PD,PB的中点，则（）

P

A.EFJ,平面RIC

B.AB//平面EFC

C.点尸到直线CO的距离为布

D.点A到平面EFC的距离为生叵

11

【正确答案】AD

【分析】以A为坐标原点，AB,AD-AP的方向分别为X,必z轴的正方向建立空间直角

坐标系，由EF∙AP=O,EFPC=0,利用线面垂直的判定定理可判断A正确；求出平面

E尸。的法向量、A8的坐标，利用A3∙m=2Ho可判断B；设点A到平面£77C的距离为d,

'CFCD

AC∙∕n9

由d=联」可判断D；设点尸到直线CD的距离为h计算好=CF-可判断

f、百C.

【详解】以4为坐标原点，AB，A。，AP的方向分别为X，y，Z轴的正方向建立如图空间

直角坐标系，则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E((),l,l),F(l,0,l),£>(0,2,0),

则EF=(I,-1,0),AP=(0,0,2),PC=(2,2,-2),EC≈(2,1,-1),

因为所AP=O-O+0=0，EFPC=2-2+0=0,

所以EFj.AP，EFA.PC，即£F_LAP，EFLPC,

又APPC=P,AP,PCU平面∕¾C,

所以EFl平面∕¾C,A正确；

设平面EfC的法向量为m=(x,y,z),贝“；令x=l，得加=(U,3),

因为AB=(2,0,0),所以48m=2x0,B不正确；

AC∙∕n2+2+0∆./TT

设点A到平面ErC的距离为d,AC=(2,2,0),则d=C="”,D正确;

''同√l+l+911

设点F到直线CD的距离为h,CF=(-1,-2,1),CD=(-2,0,0),

则/「=CL—CFCD=5,即ZZ=6，C不正确.

IICDI)

故选：AD.

92

12.已知双曲线C：*-g=ιg>0*>0)的左，右焦点分别为4(-c,0),E(G0),过点”

的直线/与双曲线C的左支交于点A,与双曲线C的其中一条渐近线在第一象限交于点B,

且忻用=2∣OBl(。是坐标原点)，下列结论正确的有()

2

A∙∖BFt∖=^4c-∖BF2^

B.若AB=2耳A,则双曲线C的离心率为普

C.∖BFt∖-∖BF2∖>2a

D.c-a<∖AFl∖<∖l2c-a

【正确答案】ABD

【分析】根据忻用=2∣OBl可得BFJBE,根据勾股定理可判断A,根据向量共线可得

A(色手1)，代入双曲线方程可得离心率，进而判断B,根据双曲线的定义及三角形的三

边关系即可判断C,根据点点距离以及A的坐标的范围即可判断D.

【详解】由于忻闾=2|0用=2|0段=2|0制,因此8K，叫,则

21

∖BFl∖=y∣∖FlF2^-∖BF2f=y∣4c-∖BF2∖,故A正确，

由于∣O8∣=c,tan∕8O乙=',c∙2=∕+∕Λ因此易得B(α,b),6(-c,0),则

FtB=(a+c,b),由AB=2∕^4,则耳A=；耳B=(等,进而),将

代入双曲线的方程中得I-s)ID1'化简得4∕-4e-9=0,解得

a2b~

e=生叵，由于e>l,故e=匕巫，故B正确，

22

设直线/与双曲线的右支交于点M,则由双曲线的定义可知：|峥|-|“勾=24,由三角形三

边关系可得|"8|>|照|一忸国，则∣M6∣-∣M闾=忸娟+|MBlTMEI›|mHBq，故

∖BFi∖-∖BF^∖<2a,故C错误，

设A(X,y),(Λ-<0),则

[4胤=J(x+c)2+尸=J(X+of+〃2(5-i-——∖-2cx+a1=-x+a,

(2\

由于0<y<%=8,所以ι+g<26,进而一亿<了<_“，

故c-a<∣A用=—X—a<>∕2c—a,故D正确，

故选：ABD

三、填空题

13.空间向量0,满足∣α+2⅛∣=∣a-0,且6=(2,1,-3),则=.

【正确答案】-7

【分析】先由空间向量的模的坐标表示求W，把卜+20=卜-0两边同时完全平方，化简可

求“b

【详解】由6=(2,1,—3),可得W=J4+1+9=√ΓJ,

因为卜+28卜卜所以卜+261=Ia-M-,所以(α+2bj,

所以0~+4α∙b+46~=""^—2α∙Z>+6~，所以6a∙∕+3x14=0,所以。*=-7,

故答案为.-7

14.若等比数列｛4｝的前"项和S,,=5+α∙6"∣,贝IJa=.

【正确答案】与

O

【分析】由S“求出4,结合等比数列求得。值.

n+l,1

【详解】由题意w≥2时，an=Sn-5„_,=5+α∙6-(5+«∙6)=5a.6",

当”=1时，4=S∣=5+364,又｛《,｝是等比数列，所以5+36a=54x6,解得a=—”

6

45

故_二

6

15.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收

天线的口径AB=6,深度MO=2,信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建

立如图2所示的平面直角坐标系X。)，，若尸是该抛物线上一点，点。(晨,2),则忸尸|+忸。

的最小值为.

【分析】由题意可知点(2,3)在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义

求IPFl+1区的最小值.

【详解】设抛物线的方程为y2=2px(p>0),

Q

因为43=6,MO=2,所以点A(2,3)在抛物线上，所以9=4p,故夕=不

Q

所以抛物线的方程为V=；X,

所以抛物线的焦点F件0),准线方程为x=g

Q15135

在方程V=JX中取X=V可得V=三>4,所以点。在抛物线内，

2816

过点P作PP与准线垂直，P'为垂足，点Q作QQ'与准线垂直，。'为垂足,

15Q

则IPFl=IPPI,所以∣PF∣+∣PQ∣=∣PP∣+∣PQ∣N∣QQ1=V+9=3,当且仅当直线PQ与准线垂

88

直时等号成立,

所以∣PE∣+∣PQ∣的最小值为3.

故3.

四、双空题

16.对正整数〃，函数8(〃)是小于或等于"的正整数中与"互质的数的数目.此函数以其首

名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数.根据欧拉函数的概念，可得以441)=，数列

｛则7")｝的前〃项和S,,=.

【正确答案】252(6"T)7"+1

6

【分析】由质因数分解求得441的所有质因数，利用质因数结合定义可求得9(441),因为除

了7的倍数外，其他数都与7"互质，因此易得9(7"),然后由错位相减法求得数列｛像(7")｝

的前〃项和.

【详解】因为441=32χ72,

所以不大于441的数中，能被i(i=3,7)整除的数与441都不互质，

CRR../..∖AA1441441441ʌ__

所以1°(44l1)=441------j~+~2∖=252,

因为除了7的倍数外，其他数都与7"互质，所以夕(7")=7"-｝=6x7"T,

贝IJS.=6χ(l+2x7++n×T-'),所以7S,,=6x(7+2x7?++n×7,'),

所以-65,,=6x(l+7+,+7,,^l-n×7,')=6×—--n×7,,"∣=(l-6n)7,,-l,

I1-7)

故S∕6f7”.

6

故252；W"*.

6

方法点睛：数列求和的常用方法：

(1)公式法：等差数列和等比数列直接应用其前〃项和公式计算；

(2)裂项相消法：最典型的数列：｛〃“｝是公差为d且各项均不为O的等差数列，数列｛」一｝

α,4+∣

_11z11、

的项需变形：——=7(-----------)，然后求和；

¾¾÷ιdal,α,,tl

(3)错位相减法：｛a,J是等差数列，色」是等比数列，则数列｛%〃,｝的前〃项和需用此法;

(4)分组(并项)求和法：例如仅,｝是等差数列，仍“｝是等比数列，则数歹∣J｛%+4｝的前W

项可用分组求和法；

(5)倒序相加法：与等差数列有类似性质的数列：首末两项及与首末两项等距离的两项的

和相等，则可用倒序相加法求和.

五、解答题

17.在等差数列｛q,｝中，αιn=19,¾=99.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵求数列"+2x(；).的前〃项和S,,.

【正确答案】⑴4=2”-1

(2)S11="2+1—(g)

【分析】(1)设等差数列｛%｝的公差为d,由条件结合等差数列通项公式求d和％,由此可求

通项公式；

(2)利用分组求和法结合等差数列和等比数列求和公式求S,,.

【详解】(1)设等差数列｛q｝的公差为止

因为4O=19,%o=99,

所以q+9d=19,q+49d=99,

所以a∣=l,d=2,

故=2”-l.

(2)由(1)q,+2x(;)=(2"-l)+2x(g),

所以S,,=l+2xg+3+2χ(g)+5+2χ(g)+…+(2W-I)+2Xe)

所以S,,=l+3+5+―+(2"-l)+2→(^

n(l÷2/1-1)C1

所以S.=+2×-×ɪ-(lʃ

2314

故S,,="+i-(g).

18.某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活

动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7,

第二关、第三关的通过率均为0.5,第四关的通过率为0.3,四关全部通过可以获得一等奖(奖

金为500元)，通过前三关就可以获得二等奖(奖金为200元)，如果获得二等奖又获得一等

奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动.

(1)求甲最后没有得奖的概率；

(2)己知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率.

【正确答案】⑴0.825

(2)0.105

【分析】(1)分第一关未通过，第一关通过第二关未通过，前两关通过第三关未通过三种情

况，结合独立事件和互斥事件的概率公式，求解即可；

(2)若奖金为900,则甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，计算对应概率即可.

【详解】(1)记第一关未通过为事件A,第一关通过第二关未通过为事件8,前两关通过第

三关未通过为事件C,甲最后没有得奖为事件。，

则尸(A)=O.3,P(B)=O.7x(1—0.5)=0.35,P(C)=O.7x0.5x(l-0.5)=0.175,

故P(D)=P(A)+P(3)+P(C)=0.825.

(2)记通过了前两关时最后获得二等奖为事件E,通过了前两关时最后获得一等奖为事件

F,

则P(E)=O.5X(1-0.3)=0.35,P(F)=O.5*0.3=0.15.

因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，

故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为0.35x0.15+0.15x0.35=0.105.

19.已知圆M[x+3)2+y2=i6,圆M(x-3)?+/=4,圆P与圆M,圆N都外切，圆P的

圆心的轨迹记为Q.

(1)求。的方程；

⑵若直线L"3x-4与。交于4,B两点,求IABI.

【正确答案】(I)V-E=I(X>1)

8

⑵4θG

【分析】(1)设圆P的半径为厂，由圆P与圆M和圆N都外切，得出IPMHPM等于定值，

由双曲线的定义知，轨迹Q为双曲线的右支(除去顶点)，写出方程即可.

(2)联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式求出IA即即可.

【详解】(1)M(-3,0),N(3,0),∣MN∣=6,

设圆P的半径为r,因为圆M与圆N的半径分别为4,2,

所以IPM=4+r,∣PN∣=2+r,所以IPMTPNl=2,

又圆M与圆N相切于点(1,0),

所以轨迹。为以M(-3,0),N(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去顶点)，

故。的方程为f-!=l(x>l)∙

8

√-Z=,

(2)联立8'得Y-24x+24=0,

y=3x-4,

设Aa,χ),B(x2,y2),由韦达定理可得玉+当=中2=24,

22

⅛⅛∣AB∣=√l+3×5∕(XI+X2)-4X1X2=40√3.

20.在等比数列｛q｝中，4=4,且3α,-a4=8.

⑴求｛q,｝的通项公式；

(2)若%≠4,C=4,("〃+4-网,求数列也｝的前〃项和Srr.

【正确答案】(1)4,=2"或可=4

⑵S“=疝I∙2""-2

【分析】(1)设公比为4,根据条件列出方程，求出生与夕的值，进一步可得。.；

(2)求得〃,=2"∙(2而i-M)=√^R∙2"M-6∙2",从而利用裂项相消法即可求出S“.

【详解】ɑ)设公比为q，因为々=4,且3o,-%=8,

所以12q-4q2=8,解得9=1或9=2.

当q=1时，αl=4,«„=4；

当q=2时，α∣=2,an=2×2"^'=2".

(2)因为％X4,所以q,=2”，

所以2=2"∙Q4TTJ6∙2",

所以5,=血"一√T∙2+百昼―0.2?++√^+T∙2n+l-√Λ∙2,,=√n+T∙2,,+1-2.

21.如图1,在平行四边形488中，AB=2AD^4,ADAB=60°,E,尸分别为A8,CD

的中点.将V45E沿OE折起到。E的位置，使得平面，平面BEOF,将C尸沿

8F折起到尸的位置，使得二面角E-BF-G的大小为120。，连接AG，A/,C1E,

得到如图2所示的多面体Aa8。尸.

(1)证明.OE∙LA尸

(2)求直线BG与平面AGE所成角的正弦值.

【正确答案】(1)证明见解析；

3√13-√39

26-

【分析】(1)取DE的中点。，连接AO,F。，证明A。，QE,FOLOE,由线面垂直判定定

理证明OEl平面4。尸，由此证明。ELA/;

(2)由面面垂直性质定理证明A。，平面BEDF,建立空间直角坐标系，求直线Ba的方向向

量与平面AGE法向量，利用向量夹角公式求两向量夹角余弦可得结论.

【详解】(1)在图1中，连接EF,因为四边形ABCo为平行四边形，E,F分别为AB,CD

的中点，AB=4,所以。F∕∕AE,DF=AE=2,

所以四边形AEED为平行四边形，又AT>=2=Af,所以四边形AEED为菱形，

故AE=EF=田=ZM,同理可证四边形8C/方为菱形，

故BC=CF=FE=EB,

所以在图2中，连接ERAO=AEFO=FE,取OE的中点。，连接4。,尸。,

则AtO1DE,FOLDE,

又AoU平面AO尸，FoU平面AQF，At0FO=O,

所以上工平面AO尸，又AFU平面A。尸，所以DELA1F;

(2)由(I)AoJ∙OE,因为平面A。EJ.平面8Ef>F,平面AOE平面3EDF=Z)E,AoU

平面4OE,

所以A。，平面BEZ*,又FoU平面BEDF,所以A。，尸O,

因为AOLOE,A101FO,FOA.DE,

如图以点。为原点，以。E,OF,O4,分别作为XXZ轴的正方向，建立空间直角坐标系,

因为ΛE=防=FD=ZM=2,ZD1AE=60°,所以A(0Q6),E(1,0,0),fi(2,√3,θ),

取BF的中点M,连接GM,EM,因为图1中BC=CR=FE=E3,

所以图2中£B=EF,CtB=CtF,所以J∙BEEM,

所以NGME为二面角E-BF-Ci的平面角,

因为二面角E-B尸-G的大小为120。，所以NGME=I20,

过点Cl作GN_LEM,垂足为N,则NGMN=60,在CMN中,

NGMN=60,ClM=y∣3,NGNM=90,

所以GN=∙∣,MN=今所以点G的坐标为",苧，|)，

所以Ba=,A,E=(l,0,-√3),EC1=0,哈|

设平面AGE的法向量为〃,〃=（%,y,zj,

x-ʌ/ɜz,=0

/1∙AE=01

1，取则苔=一

因为，所以U3出VJIɜnZ[=Ji,3,y=1,