2023-2024学年河北省承德市双滦实验中学高二（上）开学摸底数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省承德市双滦实验中学高二（上）开学摸底

数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列叙述正确的是（）

A.互斥事件定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件

B.若事件4发生的概率为P（4）,则0<P（4）<1

C.频率是稳定的，概率是随机的

D.5张奖券中有--张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小

2.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生

在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分

别为88,93,93,88,93,下列说法正确的是（）

A.这种抽样方法是一种分层抽样

B.这种抽样方法是一种系统抽样

C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数

3.已知7i是两条不同直线，a,/?是两个不同平面.给出下列命题：①若m1a,mln,

则《〃&；②若mJLS，nl夕，则乳〃巾；③若m_La,mLfi,则。〃£；④若a〃。，mua,

nu0,贝！|n〃m；⑤a10,mea,nu0,则m_Ln,则命题正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知复数z=⑶部-。（i为虚数单位）,则下列说法正确的是（）

A.z的虚部为4B.复数z在复平面内对应的点位于第三象限

C.z的共腕复数5=4-2iD.|Z|=2\T5

5.在三棱锥P—4BC中，P41平面ABC,PA=6,BC=3,NC4B=［则三棱锥P—ABC的

o

外接球半径为（）

A.3B.2y/~lC.3V-2D.6

6.在4A=90。的等腰直角△ABC中，E为力B的中点，尸为BC的中点，BC=AAF+fiCE，则

2=（）

A.一|2B,-|2C.--4D.-1

7.将等腰直角三角形ABC沿斜边上的高线折成60。的二面角，则折后的直线BC与平面

4BD所成角的正弦值（）

A.iB.虫C.CD.白

2322

8.已知正方体4BC0-41B1GD1，则下列选项不正确的是（）

A.直线与BiC所成的角为60。B.ArB±DB、

C.DBi-L平面4皿D.B[C1B]D

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.设向量日=（2,0）,b=（1,1）,则（）

A.|a|=|b|B.日与石的夹角是今

C.(5-b)1bD.与3同向的单位向量是G$）

10.如图，在棱长为1的正方体48。0-4/16。1中（）

A.4c与BO1的夹角为60。

B.二面角。-AC-5的平面角的正切值为

C.与平面AC。1所成角的正切值「

D.点。到平面AC。1的距离为?

11.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）

A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为|,则比赛5场，甲胜3场

B.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件4为“向上的点数为1或4”，事件B为“向上的点数为

奇数”，则4与B互为对立事件

C.抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现L点的频率是刍

D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率

12.如图，四棱锥S-4BCD的底面为正方形，5。_1_底面48。。，则下列结

论中正确的是（）

B

A.AC1SB

B.48〃平面SCD

C.AB与SC所成的角等于DC与sa所成的角

D.S4与平面SBO所成的角等于SC与平面SBD所成的角

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.设a,b,c分别为△ABC的内角4,B,。的对边，华=弊喈.若a=l,c=<7，则

bstnA-sinC

C—,△48c的面积=.

14.正三棱柱ABC—aBiG的底面边长为2,侧棱长为JI,D为BC的中点，则三棱锥4一

当。。1的体积为.

15.若随机事件AB互斥,4、B发生的概率均不等于0,且分别为P(A)=2-a,P⑻=3a-4,

则实数a的取值范围为.

16.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC=5,BC=6,PAJ_平A

面4BC,PA=8,则点P至IJBC的距离是.\\

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大

受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建

文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，

成绩均为不低于40分的整数)分成六段：［40,50),［50,60),…，［90,100］,得到如图所示的频

率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)求样本成绩的第75百分位数；

(3)已知落在［50,60)的平均成绩是54,方差是7,落在［60,70)的平均成绩为66,方差是4,求

两组成绩的总平均数5和总方差s2.

18.(本小题12.0分)

己知△48C的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量记=(Q,b),n={sinB^inA),p=

(b—2,ci—2).

(1)若访〃记，求证：△ABC为等腰三角形；

(2)若记1击边长c=2,角求△ABC的面积.

19.(本小题12.0分)

如图，在正方体4BC0-4B1C1D1中，侧面对角线AB1、BQ上分别有两点E、F,且=CJ.

⑴求证：EF〃平面4BCD；

(2)若E为4位的中点，求异面直线EF与4必所成的角.

20.(本小题12.0分)

在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下

一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，葭

65

"且各轮问题能否正确回答互不影响.

43

(I)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;

(II)求该选手至多进入第三轮考核的概率.

21.(本小题12.0分)

在△ABC中，a,b,c分别为内角4B,C所对的边长，^A+bsinB-csinC

sinBsinC=3

(1)求角C：

(2)若4ABC的中线CD的长为「，求^ABC的面积的最大值.

22.(本小题12.0分)

如图所示，已知圆柱的侧面展开图的面积为6兀，底面直径BD=2,C为底面上异于B,。的点,

且N8DC=30。.求：

(1)二面角A-CD-B的余弦值；

(2)点8到平面AC。的距离.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：互斥事件可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误；

若随机事件A发生的概率为P。)，贝IJOWPG4)W1,故B正确；

频率是随机的，概率是稳定的，故C错误；

5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，两个人抽到有奖奖券的可能性相等，故。错误；

故选:B.

根据概率的基本概念，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案.

本题以命题的真假判断为载体，考查了概率的基本概念，难度不大，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样.

五名男生这组数据的平均数=(86+94+88+92+90)+5=90,

222

方差=|x[(86-90产+(94-90)2+(88_90)+(92-90)+(90-90)]=8.

五名女生这组数据的平均数=(88+93+93+88+93)+5=91,

方差=|x[(88-91产+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2+(93-91)2]=6.

故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差.

故选：C.

根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样.根据平均数的定义：平均数是指在一组

2

数据中所有数据之和再除以数据的个数;方差公式:s2=；[01-元)2+(x2-X)+…+(xn-元)2]

求解即可.

本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然

后再根据方差公式求解.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

根据空间中线线、线面、面面间的位置关系逐项分析，可判断结果.

【解答】解：由m,n是两条不同直线，a,夕是两个不同平面，知：

在①中，若m_La,mln,则n〃a或nua,故①错误；

在②中，若mJL0,n1/?,则由线面垂直的性质定理得故②正确；

在③中，若mla,M10,则由面面平行的判定定理得a〃.，故③正确；

在④中，若。〃0,mua,nc/?,则n与nt平行或异面，故④错误；

在⑤中，a工0,mua,nu/?,则TH与n相交、平行或异面，故⑤错误.

故选：B.

4.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题.

利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案.

【解答】

⑶2+4i2+4i(2+4i)t.,

解：Z=---=4

I25T9—IX504+3=-Z1T=-I=~4+2l.

A：z的虚部为2,故4错误；

B：复数z在复平面内对应的点位于第二象限，故8错误；

C：z=—4—2i»故C错误；

D：\z\=J22+(—4)2=2口，故D正确.

故选：D.

5.【答案】C

3

【解析】解：由正弦定理得，△力BC外接圆直径为2「=砾=6,得r=3,

设球心到平面ABC的距离为d,则d==3,

.•・三棱锥P-力BC的外接球半径为R=Vd2+r2=732+32=3，I.

故选：C.

先求出△A8C外接圆半径，利用勾股定理求出三棱锥P-4BC的外接球半径.

本题考查三棱锥的外接球问题，正弦定理的应用，属基础题.

6.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题.

以4为原点，建立平面直角坐标系，设B(2,0),C(0,2),然后结合向量的坐标表示及平面向量基本

定理可求.

【解答】

解：以4为原点，建立平面直角坐标系，设B(2,0),C(0,2),

则E(1,O),BC=(-2,2)，

因为近=4而+〃方，

所以(-2,2)=GU)+(%-2〃)=(/I+出4-20,

所翊+第£，

—2〃=2

解得；1=一|.

故选：A.

7.【答案】D

【解析】解：将等腰直角三角形4BC沿斜边上的高线力。折成60。的二面角，如图,

在等腰直角三角形4BC中，AD1.BC,

则直线BC与平面4BD所成角为NDBC,

•••BD=DC,乙BDC=60°,

DBC是正三角形，•••乙DBC=60°,

•••折后的直线BC与平面ABD所成角的正弦值为sin60。=与.

故选：D.

根据翻折得到折后的直线BC与平面4BD所成角为NDBC,由此能求出结果.

本题考查二面角的平面角、线面的角正弦值、翻折的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中

档题.

8.【答案】D

【解析】解：正方体4BCD-&B1GD1，如图，

•.・占8〃。1(7,.•.直线。1C与8住所成的角即为直线与当。所成的角.

又ABiCCi为等边三角形，•••NDiCBi=60。，故A正确；

%

zfv./

•••四边形4BCD为正方形，4C1BD,

••1BB11平面ABCD,BB]1AC.

•••8。u平面昭u平面BBWiD,BDClBB1=B,

：.AC1平面BBiOQ又u平面88也0,:.AC1DBr,

同理4Di_LDBi，

又4Cu平面ACO]，4。1<=平面4。。「ACOAD1=>4,

DB1_L平面ACD],DB11C.

又A\B〃D\C,：.DB\1A\B,故8,C正确；

设正方体ABC。一4/修1。1的棱长为1,

则CC=1,B1C=H，OB1=门，cos/CBi。=小>空曰=与，故。错误.

2xv2xv33

故选：D.

由&B〃D]C,得直线AC与BiC所成的角即为直线为B与BiC所成的角，由小8述名为等边三角形，

求出皿CBi=60°；由四边形4BC。为正方形，得4c1BD.BB、1平面4BC。，从而B为1AC,从

而ACJ_平面幽。1。，AC1叫再由451DBi，得gJ_平面4CZ\,DBr1DrC,由4/〃。传，

得。设正方体4BCD-&B1C1D1的棱长为1,利用余弦定理判断C.

本题考查异面直线所成角、线面垂直、线线垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力,

是中档题.

9.【答案】BC

【解析】【分析】

本题考查命题真假的判断，考查向量的模、向量夹角、向量垂直、单位向量等基础知识，考查运

算求解能力，是基础题.

求出向量的模，判断4利用向量数量枳表示两个向量的夹角判断8；向量向量坐标运算和向量垂

直的性质判断C；利用单位向量定义判断C.

【解答】

解：向量日=(2,0),b=(1,1)-

对于4,m=2,\b\=yTi，|a||Kp故A错误；

对于B,cos<a,b>=

\a\\b\2V22

.­.<a,b>=l，故B正确；

对于C,a-b=(1,-1).(a-b')-b=0>(a-b)lb，故C正确；

对于。，与B同向的单位向量是：亮=(?，殍)，故。错误.

故选：BC.

10.【答案】BCD

【解析】解：连接BD,交4c于。，则4C1BD,且ACLDOi，----------S1

又卜、、

所以4cl平面BOQ,又BD】u平面BOD1，二二】J。

所以力C与BO1的夹角为90。，故A错误；乒匚~

因为。。_LAC,DXOLAC,

所以々DOD1为二面角。-AC-5的平面角，

在直角三角形17)。中，

tan/DODi=令怖=故8正确；

BiD，平面4皿,

所以4当与平面所成角。是4当与当。所成角的余角，

t^ABrD=—=—,

所以tern。=V_2，故C正确；

当到面AC/的距离为力Bis讥。=nx?=亨，

所以点。到平面4CD1的距离为?，故。正确.

故选：BCD.

根据题意，证明4c_L平面BDD],即可判定4

根据题意，证明ND。。1为二面角D-4C—D1的平面角，即可判定B；

根据题意，证明与平面4CD1所成角。是AB】与当。所成角的余角，即可判定C；

根据题意，求解&到面AC5的距离为ABiSinO=nx?=亨，即可判定D.

本题考查线面垂直判定定理，二面角和线面角的求法，点到平面的距离，属于中档题.

11.【答案】CD

【解析】【分析】

利用概率的意义、对立事件与互斥事件的意义、频率与概率的关系即可得出结论.

本题考查了概率的意义、对立事件与互斥事件的意义、频率与概率的关系，考查了推理能力，属

于基础题.

【解答】

解：4甲、乙二人比赛，甲胜的概率为|,则比赛5场，甲可能胜3场，因此不正确：

8.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件4为“向上的点数为1或4”，事件B为“向上的点数为奇数”，

则4与B不为互斥事件，因此不为对立事件，不正确；

C.抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是前，正确；

。.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率，概率是表示事件在一次试验中发生的

可能性的大小，是固定的，不变的，而频率是可以变化的，因此正确.

故选：CD.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于4：因为SDJ•底面4BC0,4Cu面4BCD,所以SO_L4C,

因为底面ABCO是正方形，所以4C1BD,

因为SDClBD=D,所以4C_L面SBD,

因为SBu面SBD,所以AC1SB,故选项A正确；

对于8：因为底面4BCD是正方形，所以4B〃CD,

因为4BC面SCO,CDu面SCD,由线面平行的判定定理可得48〃平面SCD,故选项8正确；

对于C：因为4B〃CD,所以ZSCD即为48与SC所成的角，ZSA8即为DC与$4所成的角，

因为4B14D,ABA.SD,ADCtSD=D,所以ABJjIfSAD,可得ABISA,所以Z5AB=90。,

因为ZSDC=9O。，所以乙SCOH90。，

所以4SCDKNS48,所以AB与SC所成的角不等于DC与SA所成的角，故选项C不正确；

对于。：设4CnBD=。，连接S。，

因为AC,面SBC,所以乙4so即为S4与平面SBD所成的角，“SO即为SC与平面SBD所成的角，

因为4。=。。，SO=SO,且4cls0,所以tan乙4S。=tan“S。，可得乙4S0=4CS0,

所以S4与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故选项。正确；

S

证明4C上面SBD即可判断4；由线面平行的判定定理可判断B；根据异面直线所成的角可判断C；

由线面角的定义求出两个线面角即可判断D;进而可得正确选项.

本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题.

]3.[答案吗出

34

【解析】解：因为牛£=空粤=匕心，

bsinA-sinCa-c

+b2-c2=ab,

由余弦定理得cosC=的%！=1,

2ab2

因为c为三角形内角，

所以c冶；

由a?+人2—=ab且a—1,c=得炉—b—6=0,

解得b=3或匕=一2(舍)，

所以，△4BC的面积S=absinC=x1x3x=3y.

2224

故答案为：C=g呼.

34

由已知结合正弦定理进行化简，然后结合余弦定理可求cosC,进而可求C；先求出b,然后结合三

角形的面积公式即可求解.

本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.

14.【答案】1

【解析】【分析】

本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键，属于简单题.

由题意求出底面Bi。口的面积，求出4到底面与DC1的距离，即可求解三棱锥的体积.

【解答】

解：•.・正三棱柱48。-力道传1的底面边长为2,侧棱长为「，。为BC中点，

底面BiDCi的面积：^x2x/3=Vr-3,

点A到底面BiDG的距离就是底面正三角形的高：V~3.

三棱锥A—B1DG的体积为：：xCx/?=l.

故答案为：1.

15.【答案】专|]

【解析】解：•••随机事件4、8互斥，4、8发生的概率均不等于0,

且分别为PG4)=2—a,P(B)=3a—4,

(0<P(A)<10<2-a<1

.•J0<P(B)<1即。<3a-4<1,

(P(4)+P(B)<1.2a—2W1

解得g<a<

故答案为：

由随机事件4、8互斥，力、B发生的概率均不等于0,且分别为P(4)=2-a,P(B)=3a-4,知

0<P(A)<1

0<P(B)<1,由此能求出实数a的取值范围.

P(A)+P(B)<1

本题考查互斥事件的概率的应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.

16.［答案］4c

【解析】解：如图，作PD_LBC与点D,连接AD,飞、

因为PA1平面4BC,所以P4_LBC,V\\

因为尸DCP4=P,所以BC1平面P40,所以4。IBC,\

在Rt/iACD中，AC=5,CD=3,所以A。=4,\\

在PAD中，PA=8,AD=4,所以PD=4/3，4---V-

即点P到BC的距离为4/G

故答案为：4V-5.

过P作PDJ.BC于D,连接40,说明BC1PA,点P到BC的距离是P。，在直角三角形P4D中求出P。

即可.

本题考查空间点到直线的距离，作出点到直线的距离是解题的关键，考查空间想象能力，计算能

力，是中档题.

17.【答案】解：(1)1•每组小矩形的面积之和为1,

(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)x10=1,

•••a=0.030.

(2)成绩落在［40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0,030)x10=0.65,

落在［40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)x10=0.9,

设第75百分位数为m,

由0.65+(m-80)x0.025=0.75,得m=84,故第75百分位数为84；

(3)由图可知，成绩在［50,60)的市民人数为100x0.1=10,

成绩在［60,70)的市民人数为100x0.2=20,

10x54+66x20

故z=62.

10+20

所以两组市民成绩的总平均数是62,

s2=^20口0X(54-62)2+10x7+20x(66-62)2+20x4］=37,

所以两组市民成绩的总平均数是62,总方差是37.

【解析】(1)根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；

(2)由频率分布直方图求第75百分位数的计算公式即可求解：

(3)根据平均数和方差的计算公式即可求解.

本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

18.【答案】证明：(1)•.•沆〃元,

・•・asinA=bsinB,

即a•界=b•上.其中/?为4ABC外接圆半径.

ZnLi\

，a=b,

・・.△4BC为等腰三角形.

(2)由题意可得：m-p=O,

・・・a(/?-2)+b(a-2)=0,

1・a+b=ab,

由余弦定理4=a2+Z?2-2ab,cos1,

4=a24-b2—ah=(a4-b)2—3ab,

••(ab)2—3ab—4=0,

ab=4或ab=-1(舍去).

••・S^ABC=\cibsinC=~x4xsin^=

【解析】本题考查了向量的平行与垂直，属于基础题.

(1)利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系,

利用正弦定理变形得到三角形是等腰三角形.

(2)利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的

两边的乘积的值，求出三角形的面积.

19.【答案】解：(1)证明：过点E、尸分别作BBi的平行线分别交4B、BC于点M、N,连接MN,

因为EM〃BB\,

..EMAE-B[E口mrFNFN

故---=——=1........-问1理可4H得西=而£i£

取BBiABAABXBCJ

易知AB】=BG，

又因为BiE=GF,

而EM_FN

所以西一丽7

故EM=FN,

因为EM//BB//FN,

故EM〃FN,

所以四边形EFNM为平行四边形，

所以EF〃MN,

因为EFC平面4BCD,MNu平面ABCD,

因此EF〃平面4BCD.

(2)如图,连接AC,

因为E为AB1中点，

又EF//平面4BCD,4Cu平面4BCD,平面ACC】n平面4BC0=4C,

所以EF〃4C,

则41c"/EF,BG〃AD\,

所以异面直线EF与AD1所成的角为NAGB,

又&&C1B为正三角形，

则乙4传记=或

即异面直线EF与4劣所成的角为?

【解析】(1)过点E、F分别作BBi的平行线分别交AB、BC于点M、N,连接MN,先证明四边形EFNM

为平行四边形，再根据线面平行的判定定理求证即可；

(2)连接为G，4DrBCi，&B,则力iG〃EF,BC、"AD、,则异面直线EF与AD1所成的角为乙41GB,

再求解即可.

本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了异面直线所成角的求法，属中档题.

20.【答案】解：设事件=1,234)表示“该选手能正确回答第i轮问题”.

由已知P(4)=|,P(A)=l，P(%)=,，

2P(A4)=

(I)设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，

事件B即该选手正确回答的第一、二轮的问题，而第三轮问题回答错误，

则P(B)=PGM2L)=|x|x(l-1)=i,

(II)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，

包含三个基本事件，即第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰，

KiJP(C)=P(^i+^2+^M2^)=j+|x|+|x|x(l-1)=i

【解析】(【)根据题意，设事件4。=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”，设事件B表

示“该选手进入第三轮被淘汰”，事件B即4、4发生，且只发生，由独立事件概率的乘法公式，

计算可得答案；

(H)设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，包含三个基本事件，即第一轮被淘汰、第二轮

被淘汰、第三轮被淘汰，由互斥事件的概率公式，计算可得答案.

本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，选择对应的公式进行

计算.

21.【答案】解：(1)因为史四坦竺二迎£=出。，

sinBsinC3

由正弦定理化简可得：四==红20，

bsinC3

由余弦定理得：a2+b2-c2=2abcosC,

所以空等=浮。，可得tanC=，弓，

bsinC3

又0<C<7T.

所以。=最

⑵因为乙4DC=7T-NBDC,可得