2023-2024学年贵州省遵义市播州区南白中学高二（上）第一次联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年贵州省遵义市播州区南白中学高二（上）第一次联考数

学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={-1,1,2,4},B=[x\-l<x<3},则4nB=（）

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

2.在复平面内，复数2=受对应的点位于（）

乙一I

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（）

A.圆锥B.圆柱C.球D.棱柱

4.某校高一年级20个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91,89,

90,92,95,87,93,96,91,85,则这组数据的第80百分位数为（）

A.91B.92C.93D.94

5.已知a>0,b>0,且满足a+b=l,则;+3的最小值为（）

A.7B.9C.4D.4+2，^

6.已知平面a、0,直线，ua,直线m不在平面a上，下列说法正确的是（）

A.若戊〃£,m〃6,则〃/mB.若戊〃0,ml/?,贝〃1m

C.若〃/m,a///?,则m〃/?D.若1_Lm,m//13,则a-L0

7.如图，。是正方体28（7。一711&的。1面对角线4。1上的动点，下列直线中,

始终与直线BP异面的是（）

A.直线DD]

B.直线&C

C.直线ZD1

D.直线4c

1

8.设a=^（s»560—cos56。），b=cos40°cosl28°+cos400cos38°,c=2cos2400-1,则a,b,c的大小

关系是（）

A.a>b>cb>a>cC.c>a>bD.a>c>b

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的是（）

A.抽样调查具有花费少、效率高的特点

B.数据2,3,9,5,3,9的中位数为7,众数为3和9

C.极差和标准差都能描述一组数据的离散程度

D.数据的,a2,...»%的方差为$2,则数据2%,2a2,...»2ati的方差为2s

10.已知a,b是两条不重合的直线，a,0是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（）

A.痴“b,bua,则直线a平行于平面a内的无数条直线

B.若a〃口，aua,bu0,则a与b是异面直线

C.若a:〃£,aua,贝！|a〃0

D.若acO=b,aua,贝ija,b一定相交

11.若定义在/?上的奇函数/。）满足/（2-乃=）（刈,在区间（0,1）上,有（与一％2）［/（尤1）一/（尤2）］>0,则下

列说法正确的是（）

A.函数/（%）的图象关于点（2,0）成中心对称

B.函数/"（X）的图象关于直线％=2成轴对称

C.在区间（2,3）上，为减函数

D./（一今>/（|）

12.函数y=Asin{a）x+乎）（4>0,3>0,0<口<兀）在一个周期内的图象如

图所示，则（）

A.4=2

B.该函数的解析式为y=2sin（1x+

C.年,0）是该函数图象的一个对称中心

D.该函数的减区间是［3々兀-半,3/OT-%keZ

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若扇形的圆心角为果面积为称，则扇形的半径为

14.函数y=simox在％E（一号5）单调递减，求36.

15.已知某水平放置的四边形4BCD的斜二测画法直观图是边长为1的正方形

A'B'C'D',如图所示，则四边形4BCC的面积是.

16.如图，在棱长为的正方体4BCD-AB'C'O'中，点E、F、G分别是棱4B'、

B'C'、CD的中点，则由点E、F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的

面积等于.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知五=(3,1)花=(-|,k),求k为何值时.

⑴//木

(2)a1b;

(3)日与方的夹角为钝角.

18.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=V_3cos(2x-2sinxcosx.

(I)求/(X)的最小正周期、最大值、最小值；

(口)求函数的单调区间.

19.(本小题12.0分)

如图,S为圆锥顶点,0是圆锥底面圆的圆心,48、。。为底面圆的两条直径,480。。=。，且SO=3,PB=2,

P为SB的中点.

(1)求证：S4〃平面PCD；

(2)求圆锥SO的体积.

20.(本小题12.0分)

为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电

商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力,现从电商平台消费人群中随机选出200人,并将这200人

按年龄分组，记第1组口5,25),第2组［25,35),第3组［35,45),第4组［45,55),第5组［55,65),得到如下频率

分布直方图：

(1)求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的中位数及平均数；

(2)从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属

于同一组别的概率.

21.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且a-csinB=I^bcosC.

(1)求角B的大小；

(2)若sinasin(a+B)=奈且aG(0,：),求cos2a的值.

22.(本小题12.0分)

如图，正四棱柱4BCD—A/iGDi中，44i=24B,点P为的中点.

(1)求证：直线BO1〃平面P4C：

(2)求直线BQ与平面4PC所成线面角的正弦值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合4={-1,1,2,4}.B={x|-1<x<3},

则4nB={1,2}.

故选：B.

利用交集定义、不等式的性质直接求解.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】D

.劭3-2i(3-20(2+081.

【解析】解：^=—=723^=5-51-

则复数Z对应的点《,一》位于第四象限.

故选：D.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：由于棱柱的侧面与底面都是平行四边形，

所以用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是棱柱.

故选：D

用一个平面去截一个几何体，根据截面的形状即可得出结论.

此题主要考查了由几何体判定三视图，根据已知得出圆柱三视图是解决问题的关键，截面的形状既与被截

的几何体有关，还与截面的角度和方向有关.对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从

中学会分析和归纳的思想方法.

4.【答案】D

【解析】解：将比分从小到大排序可得：85,87,89,90,91,91,92,93,95,96,

80%x10=8,即这组数据的第80百分位数为里罗=94.

故选：D.

将比分从小到大排序，再结合百分位数的定义，即可求解.

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.©+》(a+b)=5+!+^,利用基本不等式可求得最

值，注意等号成立的条件.

【解答】

解：因为Q>0,b>0,且a+/?=l,

所以《+》(a+b)=5+!+^N5+2j如4=9,

当且仅当a=/匕=|时，等号成立.

故选：B.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维

能力，是中档题.

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案.

【解答】

解：对于A,若a〃夕，m//p,贝〃〃7n或1与zn异面，故A错误；

对于B,若a//0,mLP，则m_La,又，ua,贝ijl_L机，故8正确；

对于C,若“/m,a〃0,则或mu/,故C错误；

对于D,若m//p,贝Ua〃•或a与夕相交，故。错误.

故选：B.

7.【答案】。

【解析】解：对于4,连接BD,BM，设AiCiClBiDi=Q,

由BBJ/DDi，当P点位于点Q时，BP与共面；

对于B,当点P与Q重合时，直线BP与直线&C相交；

对于C,因为4B〃CWi且4B=GA，所以四边形ABC1％为平行四边形,

所以ADJ/BG，

当点P与Q重合时，BP与AD1共面；

对于D,连接4C,

因为P任平面ABCD,BC平面力BCD,ACu平面4BCD,BgAC,

所以直线BP与直线AC是异面直线.

故选：D.

根据异面直线的定义逐一分析判断即可.

本题考查异面直线的定义等相关知识，属于基础题.

8.【答案】B

-1

【解析】解:因为a=^=(sin560-cos56°)=sin(56°-45°)=sinll°,

b=cos50°cosl28°+cos40°cos38°=—sin40°sin38°+cos40°cos38°

=cos(40°+38°)=cos78°=sinl2°,c=2cos240°-1=cos80°=sinlO°,

因为sinl2°>sinir>sinlO0,

所以b>a>c.

故选：B.

运用和角、差角公式(辅助角公式)、二倍角公式、诱导公式及三角函数的单调性可比较大小.

本题考查了辅助角公式，和差角公式的应用，还考查了正弦函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于

基础题.

9.【答案】AC

【解析】解：对于从抽样调查相比全面调查具有花费少、效率高的特点，故A正确；

对于8：数据从小到大排列为2、3、3、5、9、9,所以中位数为孚=4,众数为3和9,故B错误；

对于C：极差和标准差都能描述一组数据的离散程度，故C正确；

对于D：数据的,a2,...»a”的方差为s2,则数据2%,2a2，…，2ati的方差为2?.s?=4s?,故于错误.

故选：AC.

根据抽样调查的特点判断4将数据从小到大排列求出中位数与众数，即可判断B；根据方差、标准差的定

义判断C；根据方差的性质判断D.

本题主要考查了中位数、众数和方差的计算，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：a,b是两条不重合的直线，a,。是两个不重合的平面，

对于4若。〃b,bua,则直线a与平面a内与b平行的无数条直线都平行，故4正确；

对于B,若a〃夕，aua,bu/?,则a与b是相交、平行或异面，故B错误；

对于C,若a//0,aua,则由面面平行的性质得a〃£,故C正确;

对于D,若aC0=b,ac.a,则a,b相交或平行，故。错误.

故选：AC.

对于4直线a与平面a内与b平行的无数条直线都平行；对于B,a与。是相交、平行或异面；对于C,由面

面平行的性质得a〃出对于0,a,b相交或平行.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，

是中档题.

11.【答案】AC

【解析】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-/(X),

又f(2—x)=/(x),即/(%)关于x=1对称，故B不正确；

所以/(2—x)=x),BPf(2+x)=-f(x),

所以/(4+x)=-/(2+x)=/(x),

所以/(x)是以4为周期的周期函数，

因为在区间(0,1)上，有一冷)[/(%1)-/(型)]>0,

所以/(x)在(0,1)上单调递增，

因为/(4一x)=f[2-(x-2)]=f(x-2)=-f(2-x)=-f(x),即f(4-x)+f(x)=0,

所以f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称，故A正确；

因为关于x=1成轴对称，关于(2,0)成中心对称，且在(0,1)上单调递增，

所以f(x)在(2,3)上单调递减，故C正确；

因为八一夕=/(-4+}=6)</(|)，故。错误；

故选：AC.

根据对称性，周期性的定义可得/(X)关于％=1成轴对称，关于(2,0)成中心对称，以4为周期的周期函数，

再由题意可得函数在区间(0,1)上单调递增，即可判断.

本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，是基础题.

12.【答案】ABD

【解析】解：由图可知，4=2,J=兀一J=3兀=生,3=|,

444<i>3

2

所以y=2sin(-x+(p),

当％=即寸，y=2s比(看+0)=2,即sin(看+9)=1,

由OV0V7T,知+所以，+9=泉即W=g，

66ooZJ

所以y=2s讥(|%+金，即选项A和8均正确；

当％=争忖，y=2sin(?x(+g)==2sin§=W0,即选项C错误；

令2/OT—雪<+^<2/C7T—k&Z,得3卜兀——7—<x<3/CTT—,,kGZ,

233244

所以函数丫=2血(|*+9的减区间是"兀一半,3时—帘#62,即选项。正确.

故选：ABD.

根据图象求得43,(P，从而知/(x)的解析式，再结合正弦函数的对称性与单调性，分析选项，即可.

本题考查利用函数的图象求解析式，正弦函数的图象与性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

13.【答案】2

【解析】解：设扇形的半径为r,

则该扇形的面积为S=：x#=与，解得r=2,

故该扇形的半径为2.

故答案为：2.

利用扇形的面积公式可求得该扇形的半径.

本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题.

14.【答案】［一|,0).

【解析】解：y=s讥3%在欠6(一黑)单调递减，

则3<0,,.'X6(一与令，］3X6(等，一等)，

371>71

则有63n又3>则—3工3<。,

----V-/

3—2

则3的取值范围为：［一|,0).

对应于y=s讥x的性质即可，要注意3<0,函数单调性的变化.

本题考查三角函数性质，属于基础题.

15.【答案】2。

【解析】解：根据题意，连接AC',则AC'与y'平行，且由勾股定理得4C'=，N，

故画出四边形4BCD的原图形，如下:

四边形ABCD为平行四边形，高4c=2y/~2,

故四边形ABCD的面积是4B•AC=1x2，歹=2<7.

故答案为：2，9.

根据题意，作出平面图形的原图，计算其面积可得答案.

本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题.

16.【答案】号

【解析】解：分别取4。中点P,CG中点M,A&中点N,可得出过E,F,G三

点的平面截正方体所得截面为正六边形EFMGPN,则正六边形的边长MG=

VCG2+CM2=J1+1=1'

故截面多边形的面积等于S=6x中x仔=卑.

42

分别取AD中点P,CG中点M,441中点N,可得出过E,F,G三点的平面截正

方体所得截面为正六边形EFMGPN,由此能求出过E,F,G三点的平面截正方体所得截面面积.

本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,

是中档题.

17.【答案】解：(l)7a=(3,l)5=(-|,fc).a//b，

3.1

...二一，解得/£=t.

312

(2)1••a1K>a-fa=3x(—|)+1x/c=0(

解得k=

(3)•••五与方的夹角为钝角，

a-K=3x(-|)+1xfc<0且3xfc-1x(-|)^0,

解得k(洱丘

【解析】本题考查向量的运算，考查向量共线、向量垂直的性质、向量数量积公式、向量夹角余弦公式等

基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

(1)利用向量平行的性质直接求解；

(2)利用向量垂直的性质直接求解；

(3)利用向量数量积公式、向量夹角余弦公式直接求解.

18.【答案】解：(I)/(%)=\^-cos2x+|sin2x-sin2x=|sin2x+\^-cos2x=sin(2x+

所以/(%)的最小正周期7=券=兀，最大值为1,最小值为-1.

(II)由2/CTT—5W2X+微42/C7T+/c€Z可解得：kn—7?<x</czr+kEZ.

NJ乙1ZJLZ

故函数单调递增区间是际一泮"+月，kez.

由2/czr+5W2%+gW2kn+甲，kEZ可解得：kn+<x<kn+藉，kEZ.

故函数单调递减区间是即+号次兀+―,kez.

【解析】本题主要考查了两角差的余弦公式，辅助角公式，二倍角公式以及正弦函数的性质，考查了函数

思想，属于基础题.

(I)首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为/。)=Sin(2x+今，最后根据公式T=生求

J3

周期，利用正弦函数的性质即可求解其最值.

(II)利用正弦函数的单调性即可求解.

19.【答案】解：(1)连结P。，如下图示：

«P、。分别为SB、4B的中点,

PO//SA,y.POU平面PCD,SA,平面PCD,

•••SA〃平面PCO.

(2)：PB=2,P为S8的中点，

SB=4.

•••OB=VSB2—SO2—V42—32—V-7，

则底面圆面积Si=TTXOB2=7n.

•••圆锥体积V=g•Si•SO="x7兀x3=7兀.

【解析】(1)连结P。，由中位线性质有P0〃S4,利用线面平行的判定定理即可证结论；

(2)根据已知求底面半径，进而求出底面积，应用圆锥体积公式求体积.

本题考查线面平行的证明，圆锥的体积的求解，属基础题.

20.【答案】解：(1)根据频率分布直方图的性质可得：

(0.01+0.015+a+0.03+0.01)x10=1,

解得a=0.035,

设年龄的中位数为b,

则0.1+0.15+(b-35)x0.035=0.5,

解得b«42.14,

.•.平均数1=20x0.1+30X0.15+40x0.35+50x0.3+60x0.1=41.5;

(2)根据题意及分层抽样的概念可得：在第一组抽2人，在第二组抽3人，

再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，

则这两人恰好属于同一组别的概率P=日学=I

【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，中位数的概念，平均数的概念，方程思想，即可分别求解；

(2)根据分层抽样的概念，古典概型的概率公式，即可求解.

本题考查频率分布直方图的性质，中位数的概念，平均数的概念，分层抽样的概念，古典概型的概率公式,

方程思想，属中档题.

21.【答案】解：(l)da—csinB=/^bcosC，由正弦定理得，y/^sinA—sinCsinB=\T^sinBcosC>

■­•V-3sin(B+C)—sinBsinC=>/~3sinBcosC>

yT^sinBcosC+\/_3cosBsinC—sinBsinC=y/~3sinBcosC>

\/~3cosBsinC=sinBsinC

又•・,sinCH0,

：.tanB=V~~3，

v0<B<7T

(2)因为s讥as讥(Q+勺=焉所以:sin2a-i-^-sinacosa=2

s，uzZ2U

所以口一丁2a+?立方2a=2,>J~3sin2a—cos2a