2024年中考数学总复习第五章《四边形》第二节：矩形 菱形 正方形（附答案解析）

2024年中考数学总复习第五章《四边形》第二节：矩形菱

形正方形

★解读课标★熟悉课标要求，精准把握考点

1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系;

2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理.

★中考预测★-------------统计考题频次，把握中考方向

本考点内容是考查重点，年年都会考查,分值为15分左右，预计2024年各地中考还将出现，

并且在选择、填空题中考查利用特殊四边形性质和判定求角度、长度问题的可能性比较大。

解答题中考查特殊四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动

态问题综合应用的可能性比较大。对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。

★聚焦考点★-------------直击中考考点，落实核心素养

考点讲解

矩形1.矩形的性质：

(1)四个角都是直角；

(2)对角线相等且互相平分；

(3)面积=长X宽=2S△榔=4S,B.(如图)

2.矩形的判定：

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；

(2)有三个角是直角的四边形是矩形；

(3)对角线相等的平行四边形是矩形.

直角三角形斜1.性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.(即直角三角

边上的中线形的外心位于斜边的中点)

2.定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三

角形是以这条边为斜边的直角三角形.

该定理可以用来判定直角三角形.

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菱形1.菱形的性质：

(1)四边相等；

(2)对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；

(3)面积=底乂高=对角线乘积的一半.

2.菱形的判定：

(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

(3)四条边都相等的四边形是菱形.

正方形1.正方形的性质：

(1)四条边都相等，四个角都是直角；

(2)对角线相等且互相垂直平分；

(3)面积=边长X边长=2SAAM=4SAMB.

2.正方形的判定：

(1)有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；

(2)一组邻边相等的矩形是正方形；

(3)一个角是直角的菱形是正方形；

(4)对角线相等且互相垂直、平分的四边形是正方形.

四边形、平行四

边形和特殊四入「7

边形的关系9边形/平行四诩夕⑥①

正方形

________________________________矩形

⑧------------

两组对边分别平行；②相邻两边相等；③有一个角是直角；④有一个

角是直角；⑤相邻两边相等；⑥有一个角是直角，相邻两边相等；⑦

四边相等；⑧有三个角都是直角.

中点四边形1.任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.

2对.角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.

3.对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.

4.对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

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与折叠有关的1.折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图

计算常用性质形；

2.折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）；

3.折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）.

★方法导引★--------------总结思想方法，提升解题效率

1.矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都

是直角；矩形的对角线相等.

2.利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中

线等于斜边的一半.

3.矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.

4.菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等；

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

5.菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

6.正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质.

7.正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角

线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形

是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形.

8.中点四边形一定是平行四边形；

9.中点四边形的面积等于原四边形面积的一半.

★真题呈现★--------------直面中考考题，总结考法学法

考点01矩形

1.（2022•广西梧州）如图，在工ABC中，ZACB=90,点D,E分别是A8,AC边上的中点，

连接C2DE.如果AB=5m,BC=3m,那么CD+OE的长是in.

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A

13

【分析】由D、E分别是AB和AC的中点得到DE是AABC的中位线，进而得到DE=3BC=j,

由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=:A8==，由此即可求出CD+OE.

【详解】解：・・・D、E分别是AB和AC的中点，

・・・DE是AABC的中位线，

13

・♦.DE=-BC=-,

22

•・•ZAC8=90,

.•.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：DC=^-AB^I-,

22

35

：.CD+DE=-+-=4

229

故答案为：4.

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，属于基

础题，熟练掌握中位线定理是解决本题的关键.

2.（2022•山东滨州）如图,在矩形A3CO中，AB=5,AD=\0.若点E是边AD上的一个

动点，过点E作样，AC且分别交对角线AC,直线BC于点0、F,则在点E移动的过程中，

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［答案］25_±5占

2

【分析】过点D作切W〃耳■交BC于M,过点A作使AN=EF,连接NE,当N、

E、C三点共线时，AF+FE+EC>CN+AN,分别求出CN、AN的长度即可.

过点D作。W〃EF交BC于M,过点A作4V〃砂，使4V=EF,连接NE,

••・四边形ANEF是平行四边形，AN=AF=NE,

・・•当N、E、C三点共线时，AF+CE最小，

四边形ABCD是矩形，AB=5,AD=10,

AD=BC=10,AB=CD=5,ADBC,ZABC=90°,

.-.AC=ylAB2+BC2=5^5，，四边形EFMD是平行四边形，

:.DM=EF,DM=EF=AN,

EFLAC,：.DM±AC,ANrACfZC4A/=90°,

AMDC+ZACD=90°=ZACD+ZACB,.\ZMDC=ZACBf

.AmZMDC=tanZACB,即如=空，MC=~,

CDBC2

在用aw中，由勾股定理得DM=JCD?+CM?=3叵=AN,

2

在Rt.ACN中，由勾股定理得CN=y/AC2+AN2=—,

2

■.AF+FE+EC>CN+AN,/.AF+FE+EC>25+5^,

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二A厂+庄+EC的最小值为25+5石,故答案为：25±5-.

22

【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形,

平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键.

3.（2022•黑龙江）在矩形ABCD中，AB=9,49=12,点E在边CD上，且C£=4,点

P是直线BC上的一个动点.若VAPE是直角三角形，则BP的长为__.

3115

【答案】当或宁或6

【分析】分三种情况讨论:当NAPE=90°时，当NAEP=90°时,当NPAE=90°时,过点P

作PFLDA交DA延长线于点F,即可求解.

【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=9fAD=BC=\2tZBAD=ZB=ZBCD=ZADC=90°,

如图，当NAPE=90°时，

AZAPB+ZCPE=900,

VZBAP+ZAPB=90°,

・・・ZBAP=ZCPE,

VZB=ZC=90°,

AAABP^APCE,

.ABBP9BP

・・一,U|J一

PCCEn-BP4

解得：BP=6；

如图，当NAEP=90°时，

AZAED+ZPEC=90°,

VZDAE+ZAED=90°,

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・・・NDAE=NPEC,

VZC=ZD=90°,

.'.△ADE^AECP,

.ADDE12_9-4

・・一,一,

CEPC4PC

解得：PC=|,

31

・・.BP=BC—PC=—；

3

如图，当NPAE=90°时，过点P作PFJ_DA交DA延长线于点F,

根据题意得NBAF二NABP=NF=90°,

・・・四边形ABPF为矩形，

APF=AB=9,AF=PB,

VZPAF+ZDAE=90°,ZPAF+ZAPF=90°,

・・・NDAE二NAPF,

VZF=ZD=90°,

AAAPF^AEAD,

.AFPFnnAF_9

DEAD9-412

解得：AF=：,即PB==；

44

3115

综上所述，BP的长为£或号或6.

故答案为：（31或1;5或6

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判

定和性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键.

4.（2022•江苏泰州）如图，线段DE与AF分别为AABC的中位线与中线.

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A

⑴求证：AF与DE互相平分；

(2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)AF=aBC,理由见解析

【分析】(D易知点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点，所以线段DF与EF也为AABC的

中位线，由中位线定理证得四边形ADFE是平行四边形，因为平行四边形的对角线相互平分，

此题可证；

(2)根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合已知条件可知，当AF=^BC时，平行四边

形ADFE为矩形.

(1)证明：：线段DE与AF分别为AABC的中位线与中线，

AD,E,F分别是AB,AC,BC的中点，

线段DF与EF也为AABC的中位线，

；.DF〃AC,EF〃AB,

四边形ADFE是平行四边形，

.••AF与DE互相平分.

(2)解：当AF=^BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下：

•.•线段DE为4ABC的中位线，

.,.DE=^-BC,

由(1)知四边形ADFE为平行四边形，若.ADFE为矩形，则AF=DE,

...当AF=/BCH寸，四边形ADFE为矩形.

【点睛】此题考查了中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质；解题的关

键是数形结合，熟练运用上述知识.

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5.（2022•湖北十堰）如图，ABCD^,AC,30相交于点。，E,F分别是OC

的中点.

（1）求证：BE=DF；（2）设法=左，当％为何值时，四边形是矩形？请说明理由.

【答案】（1）证明见解析⑵当女=2时、四边形OE8B是矩形，理由见解析

【分析】（1）连接力E,BF,先根据平行四边形的性质可得。4=OC,O3=。。，再根据线

段中点的定义可得。£=:OA=:OC=OF,然后根据平行四边形的判定可得四边形DEBF

22

是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；

（2）先根据矩形的判定可得当即时，四边形DEBF是矩形，再根据线段中点的定义、

平行四边形的性质可得AC=2£F,由此即可得出k的值.

（1证明：如图，连接。E,8尸，

四边形438是平行四边形，，OA=OC,O3=OD,

E,尸分别是0C的中点，.•.OE='Q4=1OC=OF,

22

••・四边形是平行四边形，.•.8£'="'.

⑵解：由（1）己证：四边形DEB尸是平行四边形，

要使平行四边形。E3尸是矩形，则瓦）=防，

OE=-OA=-OC=OF,

22

:.EF=OE+OF=^OA+^OC=OA=^AC,KPAC=2EF,

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AC7FF

；/=痣=与2=2,故当上=2时，四边形OE3F是矩形•

BDEr

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形

的判定与性质是解题关键.

6.（2022•黑龙江哈尔滨）已知矩形488的对角线4。,8。相交于点0,点£是边/1£）上

一点，连接BE,C£OE,且3E=CE.

（1）如图1,求证：△BEO四△CEO；

⑵如图2,设BE与AC相交于点F,CE与3。相交于点H,过点D作AC的平行线交BE的

延长线于点G,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（二心除

外），使写出的每个三角形的面积都与二田的面积相等.

【答案】（1）见解析

（2）ADEG.△£>£〃、VBFO,CHO

【分析】（1）利用SSS证明两个三角形全等即可；

（2）先证明RtAABE^RtADCE得到AE=DE,MlJS^AOE=S„DOE,根据三线合一定理证明；.0E

±AD,推出AB〃O£,得到以.£=5血£,即可证明/所。=50山由△3EOq△CEO,得到

ZOBF=ZOC1I,S&BOE=S&COE，证明aBOF且△COIL即可证明=SACH°=S&EF，则

S&OEF=SAOEH，即可推出S^OEH=S&IEF,最后证明AEF=DEG,即可得到S&EF=S^O£G；

（1）证明：,••四边形A3CO是矩形，

二AC与3。相等且互相平分，

OB=OC,

VBE=CE,OE=OE,

:.△BEgMEO（SSS）；

（2）解：•.•四边形ABCD是矩形，

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AAB=CD,ZBAE=ZCDE=90°,OA=OD=OB=OC,

XVBE=CE,

ARtAABE^RtADCE(HL)

AE=DE,

••S-OE-SWOE，

VOA=OD,AE=DE,

/.OE±AD,

:.AB//OE,

・・SAAOE=SBOE»

••^/\AOE-S^EOF-S〉BOE-S/'EOF»

••S2BF0=S2EF；

/\BEO^/\CEO,

*e*NOBF=NOCH,S&BOE=SACOE，

又,.・NBOF二NCOH,OB=OC,

AABOF^ACOH(ASA),

•*,S&BFO=^^CHO~^^AEF

,,SgOE-S&BOF=$XCOE-，

•・S^OEF=S&OEH»

S&OE-S&OEF=SADOE-S&OEH，

•*S&DEH=SMEF；

■:AC//DG,

：.ZAFE=ZDGE,ZEAF=ZEDG,

又YAE=DE,

・・.ZiAEF^ADEG(AAS),

S小EF二SADEG；

综上所述，ADEG、ADEH、NBFO、一C”O这4个三角形的面积与aAEF的面积相等.

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【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，矩形的性质，平行线的

性质与判定等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键.

7.（2022•湖南常德）在四边形中，的平分线AF交BC于尸，延长A8到E使

BE=FC,G是A尸的中点，GE交BC于O,连接GO.

（1）当四边形ABC。是矩形时，如图，求证：①GE=GD；®BOGD=GOFC.

（2）当四边形ABC。是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.

【答案】（1）证明见详解

（2）证明见详解

【分析】（1）①证明即可；②连接BG,CG,证明△仞G四,BCG,

△50Es/\G0C即可证明；（2）①的结论和（1）中证明一样，证明△ADG丝.、AEG即可；

②的结论，作。M_LBC,连接GM,证明△BOEs/XGQM即可.

（1）证明：①证明过程：

四边形ABCD为矩形，

:.ZABC=ZBAD=90°

AF平分

:.ZBAF=ZDAF=45°

为等腰直角三角形

:.AB=BF

BE=FC

AB+BE=BF+CF,即AE=BC=A£>

AG=AG

AADGgAEG

GE=GD

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②证明：连接BG,CG,

G为AF的中点，四边形ABCD为矩形，

:.ZABC=ZBAD=90°,AD=BC

,\BG=AG=FG

AF平分/BAD,AB尸为等腰直角三角形，

:.ZBAF=ZDAF=450=ZABG=ZCBG

••・AADG%BCG

・•.ZADG=/BCG

/XADG^,AEG

,\ZE=ZADG

:.ZE=ZBCG

ZBOE=ZGOC

.-.△BOE^AGOC

.BOGOGOBO

~BE~~GC~^D~~CF

・•.BOGD=GOFC

(2)作。ML次及5c于例，连接GW,作GNJ.OM交0M于点N,如图所示

/DMB=90°=4GNM=4GND=ZDMC

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由（1）同理可证：△ADGg’AEG

;.NE=ZADG

四边形ABCD为平行四边形

:.AD//BC

ZADM=ZDMC=90°

:.BC//GN//AD

G为AF的中点，由平行线分线段成比例可得=

:.DG=MG,

\?GDM?GMD,

\1ADG7BMG?E

ZBOE=ZGOM

:△BOEs^GOM

BOGOGOBO

"~BE^'GM~~GD~~CF

BOGD=GOFC

【点睛】本题考查了以矩形与平行四边形为桥梁，涉及全等三角形的证明，相似三角形的证

明，正确作出辅助线并由此得到相应的全等三角形和相似三角形是解题的关键.

8.（2022•湖北鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,且NCDF=NBDC、

ZDCF=ZACD.

⑴求证:DF=CF；

（2）若NCDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.

【答案】（1）见解析

⑵36G

【分析】（1）先证明△DCFgADCO得到DF=D0,CF=CO,再由矩形的性质证明OC=OD,即可

证明DF=CF=OC=OD；

（2）由全等三角形的性质得到NCD0=NCDF=60°,0D=DF=6,即可证明aOCD是等边三角形，

得到CD=0D=6,然后解直角三角形BCD求出BC的长即可得到答案.

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(1)解：在4DCF和△DCO中,

NDCF=NDCO

•CDCD,

ZCDF=ZCDO

.".△DCF^ADCO(ASA),

；.DF=DO,CF=CO,

•.•四边形ABCD是矩形，

OC=OD=-AC=-BD,

22

.".DF=CF=OC=OD；

(2)解：VADCF^ADCO,

.,.ZCD0=ZCDF=60°,OD=DF=6,

又..⑪女，

.,.△OCD是等边三角形，

.\CD=0D=6,

•.•四边形ABCD是矩形，

AZBCD=90",

/.BC=CDtanNBDC=6yfi,

,,,S矩形=BCCD=365/3.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等三角

形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

★变式训练★--------------深挖数学思想，揭示内涵实质

1.(2022•甘肃武威)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=9cm,点E,F分别在边AB,BC

上，AE=2cm,BD,EF交于点G,若G是EF的中点，则BG的长为cm.

【答案】屈

【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm,NABC=NC=90°,AB〃CD,从而可得NABD=/BDC,

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然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG二BG,从而可得NBEG二NABD,进而可得NBEG二N

BDC,再证明△EBFs/\l)CB,利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在RtZiBEF中，利

用勾股定理求出EF的长，即可解答.

【详解】解：,・•四边形ABCD是矩形，

/.AB=CD=6cm,NABC=NC=90°,AB/7CD,

・・・NABD二NBDC,

VAE=2cm,

.\BE=AB-AE=6-2=4(cm),

・・・G是EF的中点，

AEG=BG=yEF,

AZBEG=ZABD,

AZBEG=ZBDC,

AAEBF^ADCB,

.EBBF

^~DC~~CB9

・4BF

••=，

69

・・・BF=6,

・・・EF=NBE?+BF?=J42+62=2屈(cm),

BG=yEF=VT3(cm),

故答案为：.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上

的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

2.(2022•湖南邵阳)已知矩形的一边长为6cm,一条对角线的长为10cm,则矩形的面积

为cm2.

【答案】48

【分析】如图，先根据勾股定理求出43=疝8cm，再由S矩形ABC“=ABXBC求解即

可.

【详解】解：在矩形ABCD中，BC=6cm,AC=10cm,

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.•.在RtZ\ABC中，AB=7102-62=8(cm),

S矩形.⑦=ABXBC=8X6=48(cm2).

故答案为：48.

【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知上述知识.

3.(2022•四川内江)如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=4,点E、F分别是AB、DC上的动

点，EF〃BC,则AF+CE的最小值是.

【答案】10

【分析】延长BC到G,使CG=EF,连接FG,证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE=FG,

得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可.

【详解】解：延长BC到G,使CG=EF,连接FG,

,:EF〃CG,EF=CG,

...四边形EFGC是平行四边形,

；.CE=FG,

AF+CE=AF+FG,

第17页共154页

...当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG,

由勾股定理得，AG=yjAB2+BG2="2+（4+4/=10,

.,.AF+CE的最小值为10,

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出

当A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，是解题的关键.

4.（2022•广西贺州）如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E,F分别是AD,AB的中

点，/ADC的平分线交AB于点G,点P是线段DG上的一个动点，则一尸所的周长最小值为

【答案】5+屈##历+5

【分析】在CD上取点H,使DH=DE,连接EH,PH,过点F作FKLCD于点K,可得DG垂直平

分EH,从而得到当点F、P、H三点共线时，天的周长最小，最小值为FH+EF,再分别求

出EF和FH,即可求解.

【详解】解：如图，在CD上取点H,使DH=DE,连接EH,PH,过点F作FKLCD于点K,

在矩形ABCD中，ZA=ZADC=90°,AD=BC=6,CD=AB=8,

•••△DEH为等腰直角三角形，

：DG平分NADC,

ADG垂直平分EH,

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.,.PE=PH,

:._PEF的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EFNFH+EF,

当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF,

VE,F分别是AD,AB的中点,

；.AE=DE=DH=3,AF=4,

.".EF=5,

VFK1CD,

AZDKF=ZA=ZADC=90°,

四边形ADKF为矩形，

；.DK=AF=4,FK=AD=6,

.\HK=1,

FH=yjFK2+HK2,

；.FH+EF=5+A，即―阳•的周长最小为5+而.

故答案为：5+5/37

【点睛】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意,

准确得到当点F、P、H三点共线时，2诋的周长最小，最小值为FH+EF是解题的关键.

5.（2022•湖北随州）如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别为AB,AD的

中点，连接EF.如图2,将AAEF绕点A逆时针旋转角。（0＜。＜90。），使E/JL4）,连接

BE并延长交DF于点H,则/BHD的度数为,DH的长为.

【答案】90°##90度拽##&6

55

【分析】设EF交AD于点M,BH交AD于点N,先证明△ADFs^ABE,可得NADF=/ABE,可

第19页共154页

得NBHD=NBAD=90°；然后过点E作EGLAB于点G,可得四边形AMEG是矩形，从而得到EG=AM,

12

AG=ME,ZABE=ZMEN,然后求出EG=AM=g,再利用锐角三角函数可得

AF3AM16

tanZA£F=—=-,从而得到AG=ME=-------------=，,进而得到

AE4tanZAEF5

BG^AB-AGS--^—,可得至iJtanNMEN=tanNABE=^=L,从而得至=

55BG25

进而得到DN=2,即可求解.

【详解】解：如图，设EF交AD于点M,BH交AD于点N,

1AI77

根据题意得：ZBAE=ZDAF,ZEAF=90°,AF=-AD=3,AE=-AB=4,：.——=一，

22AF4

An3

在矩形ABCD中，A8=8,AD=6,NBAD=90°,——二二，

AB4

・♦・AADF^AABE,ZADF=ZABE,

VZANB=ZDNH,AZBHD=ZBAD=90°；

如图，过点E作EG_LAB于点G,AZAGE=ZAME=ZBAD=90°,

四边形AMEG是矩形，.\EG=AM,AG=ME,ME/ZAB,ZABE=ZMEN,

_____________Ap3

在RrA£F中，EF=\JAE2+AF2=5>tanNAEF=不=:，

AE4

SAFF=-AMEF=-AEAF,：.EG=AM="，

AEF225

.人心A/匚AM1624

tanZAEF555

：.timZMEN=tanZABE=-=-,=：.DN=AD-AM-MN=2,

BG2ME25

/ADF=/ABE,/.tanZADF=tanZABE=-,即DH=2HN,

2

,/DH2+HN2=DH2+^DH^=DN2=4,

解得：OH=生叵或一勺5（舍去）.故答案为：90°,拽

555

【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解直角三角形，矩形的性质和判定，相似三角形的判

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定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质是解

题的关键.

6.（2022•永嘉县三模）如图，在RtZXABC中，CD为斜边AB的中线，在边AD及CD的延长

线上依次取点E,F,且NEFD=NB.

（1）求证:EF〃BC.

【考点】直角三角形斜边上的中线；平行线的判定与性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质得出CD=BD,从而可

得NDCB=/B,根据等量代换可知NDCB=NEFD,根据平行线的判定可得出结论；

（2）根据直角三角形的两个锐角互余可得NB=25°,然后利用平行线的性质得出NFED

=NB=25°,再根据平角的定义得出角度即可.

【解答】（1）证明：在RtZ\ABC中，CD为斜边AB的中线，

.,.CD=BD=AAB,

2

...NDCB=/B,

VZEFD=ZB,

；./DCB=/EFD,

；.EF〃BC；

（2）解：在RtZ\ABC中，/A=65°,

.•.ZB=90°-ZA=25°,

VEF/7BC,

...NFED=NB=25°,

VZFED+ZAEF=180°,

；.NAEF=155°.

【点评】本题考查了平行线的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三

角形斜边上的中线性质，以及平行线的判定与性质是本题的关键.

第21页共154页

7.(2022•山东泰安)如图，矩形A8C£＞中，点E在。C上，DE=BE,4c与BO相交于

点0.8E与AC相交于点F.

⑴若BE平分NCBD,求证：BFYAC；

(2)找出图中与OBF相似的三角形，并说明理由;

⑶若。尸=3,EF=2,求。E的长度.

【答案】(D证明见解析

(2)△ECF,ABAF与OBF相似，理由见解析

⑶3+V19

【分析】(1)根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；

(2)根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出:

(3)根据△OBFs^ECF得出3OA=2BF+9,根据△OBFs^BAF得出B尸=3(+3),

联立方程组求解即可.

(1)证明：如图所示:

四边形ABC。为矩形,

.-.Z2=Z3=Z4,

DE=BE,

:.Z\=Z2,

第22页共154页

・•力=/3,

又BE平分/DBC,

.\Z1=Z6,

・・.N3=N6,

又/3与Z5互余，

N6与N5互余，

:.BF1AC；

⑵解：AECF,△&1尸与，08户相似.

理由如下：

Z1=Z2,N2=/4,

・•.Z1=Z4,

又/OFB=/BFO,

:./\0BFSABAF,

.Z1=Z3,ZOFB=ZEFC,

:.AOBFSAECF；

⑶解：人OBFs^ECF,

EFCF

~OF~~BFy

2CF

/.-=——,

3BF

:.3CF=2BF,

在矩形ABCD中对角线相互平分，图中。4=OC=0尸+EC=3+尸C,

・・.3。4=2质+9①，

△OBFs/\BAF,

OFBF

..BF?=OFAF,

在矩形A8C0中AF=Q4+OF=OA+3,

.•.8产=3(04+3)②，

由①②，得6"=1土四(负值舍去)，

/.DF=BE1=2+14-719=3+719.

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【点睛】本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、

两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题

的关键.

8.(2022•江苏无锡)如图，己知四边形ABCD为矩形AB=2&，8C=4,点E在BC上，

CE=AE,将AABC沿AC翻折到△AFC,连接EF.

(1)求EF的长；

(2)求sinNCEF的值.

【答案】(1)后

⑵li'扃

【分析】(1)先由用43E可求得AE的长度，再由角度关系可得NE4E=9(),即可求得E尸的

长；

⑵过F作尸于"，利用勾股定理列方程，即可求出的长度，同时求出RW的长

度，得出答案.

(1)设=则£C=4—x,

AE=EC=4-x,

在RtMBE中，AB2+BE2=AE2，

二(2何+/=(4-",

••X—\,

/.fi£=l,AE=CE=3,

a：AE=EC,

：.Z1=Z2,

:/A3c=90,

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/.NCA8=90-Z2.

/.ZC4B=90-Z1,

由折叠可知AMC三ABAC,

AZFAC=ZCAB=90-Z1,AF=AB=2。

：.NE4C+N1=9O，

ZM£=90,

#01+32=如

在RfAE4E中，EFNAF+AE?=

⑵过F作FMJLBC于M,

AZFME=ZFMC=90°,

设EM=a,则EC=3-a,

在RNFME中,FM-=FE1-EM2，

在必EMC中，FM-=FC2-MC-,

，FE2-EM2=FC2-MC2,

A(VT7)2-a2=42-(3-a)2,

5

..a

5

：.EM=­

3

血,

%

FM3W8/r-.

sinZ.CEF=---=——=—V34

EF71751

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【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角

形是解题的关键.

★真题呈现★--------------直面中考考题，总结考法学法

考点02菱形

1.（2022•四川乐山）已知菱形ABCD的对角线相交于点。，AC=Scm,BD=6cm,则

菱形的面积为cm2.

【答案】24

【分析】根据菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可得出答案.

【详解】解：由题意得：S^.=1xACxBD=1x8x6=2W

故答案为：24.

【点睛】本题考查的知识点是菱形的面积公式，掌握求菱形面积的方法是解此题的关键.

2.（2022•甘肃武威）如图，菱形A3CO中，对角线4c与8。相交于点。，若AB=2小cm,

AC=4cm,则8。的长为cm.

【答案】8

【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可.

【详解】解：菱形ABC。中，对角线AC,8。相交于点。，AC=4,

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AC_LBD,BO=OD=—BD,AO=OC=gAC=2

22

QAB=2百，

:.BO=dAB。-AO。=4,

..80=280=8,

故答案为：8.

【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股

定理解直角三角形，是解题关键.

3.（2022•贵州黔东南）如图，矩形ABCQ的对角线AC,80相交于点。，DE//AC,CE

//BD.若AC=10,则四边形0CE。的周长是.

【答案】20

【分析】首先由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得0C=0D=5,由CE〃BD,DE〃AC,

可证得四边形CODE是平行四边形，又可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案.

【详解】解：•••四边形ABCD是矩形，

；.AC=BD=10,OA=OC,OB=OD,

.-.0C=0D=yBD=5,

VDE//AC,CE//BD.,

四边形CODE是平行四边形，

VOC=OD=5,

，四边形CODE是菱形，

四边形CODE的周长为：40c=4X5=20.

故答案为20.

【点睛】本题考查菱形的判定与性质以及矩形的性质.此题难度不大，注意证得四边形CODE

是菱形是解题关键.

4.（2022•江苏苏州）如图，在平行四边形ABCD中，AB1AC,AB=3,HC=4,分别

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以A,C为圆心，大只AC的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线，与

BC交于点E,与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为.

【答案】10

［分析］根据作图可得MNLAC,且平分AC,设AC与MN的交点为O,证明四边形AECF

为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE为A3C的中线，然后勾股定理求得BC,根据

直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE的长，进而根据菱形的性质即可求解.

【详解】解：如图，设AC与的交点为。，

根据作图可得且平分AC,，AO=OC,

四边形A8C£)是平行四边形，，NE4O=NOCE,

又ZAOF=NCOE,AO=CO,：.^AOF^COE,AF=EC,

AF〃CE,••.四边形AECF是平行四边形，

MV垂直平分AC,二£4=EC,.,.四边形AECF是菱形，

ABLAC,MN±AC,.•.£；尸〃A3,，残=要=1,为BC的中点，

ECAO

n△ABC中，AB=3,AC=4,BC=-^AB-+AC-=5.AE=^BC=1,

四边形AECF的周长为4AE=1().故答案为：10.

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比

例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键.

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5.（2022•湖南岳阳）如图，点E,F分别在.ABCO的边AB,BC上,AE=CF,连接

DE,DF.请从以下三个条件：①N1=N2；②DE=DF;③N3=/4中，选择一个合适

的作为已知条件，使二为菱形.（1）你添加的条件是（填序号）；（2）添加了条

件后，请证明,ABC。为菱形.

【答案】（1）①⑵见解析

【分析】（D添加合适的条件即可；（2）证/△CDF（A4S）,得">=CD,再由

菱形的判定即可得出结论.

（1）解：添加的条件是N1=N2.故答案为：①.

（2）证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，Z4=NC,

Z1=Z2

在右ADE和二CDF中，，NA=NC,

AE=CF

：./S.ADE^^CDF（AAS'）,二AD=CD,：.ABCD为菱形.

【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟

练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键.

6.（2022•黑龙江哈尔滨）如图，菱形ABCQ的对角线4C,8。相交于点0,点E在。8上，

连接AE,点F为C/）的中点，连接。尸，若AE=BE,QE=3,QA=4,则线段OF的长为

【答案】2石

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【分析】先根据菱形的性质找到RtZXAOE和RtAAOB,然后利用勾股定理计算出菱形的边长

BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长.

【详解】已知菱形ABCD,对角线互相垂直平分，

.\AC1BD,在RtZXAOE中，

V0E=3,0A=4,

•••根据勾股定理得AE=>/32+42=5，

VAE=BE,

OB=AE+OE=8,

在RtAAOBAB=yj42+82=4^，

即菱形的边长为4石，

•.•点F为C。的中点，点0为DB中点，

：.OF=-BC=2y/5.

2

故答案为2石

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质