高中数学 幂函数 专项训练（解析版）

3.3幕函数

基础巩固

1.(2023春•福建三明•高二统考期末)已知累函数的图象经过点尸(8,4),则该事函数的大致图象是()

【分析】设暴函数为=然后将P(8,4)坐标代入可求出函数解析式，从而可得函数图象.

2

【详解】设幕函数为/(x)=x°,则8a=4,23a=22,得3a=2,得1=§，

2

所以〃x)=/，定义域为R，所以排除AD,

22

因为/(r)=(f)3=Q=/(x)，所以函数为偶函数，所以排除B,

故选：C

2.(2021秋•高一校考课时练习)幕函数/(x)=x-的大致图象为()

【答案】D

【分析】利用奇偶性排除BC；利用定义域排除A,进而可得答案.

【详解】/(x)=x-'=p定义域为(-s,O)U(O,+s),关于原点对称,

/(-%)=—=--=-/(X),所以/(X)是奇函数，排除BC；

—XX

又因为A中函数定义域为R,所以A不合题意,

故选：D.

3.（2023春•陕西安康•高一统考期末）已知事函数/（x）的图象过点（16,4）,则函数的图象是（）

【分析】根据嘉函数经过的点得表达式，进而根据暴函数的性质即可结合选项求解.

【详解】设基函数的解析式为了（》）=/，

由基函数了=/（X）的图象过点（16,4）,.'.4=16,解得a=g,

=无）=£,其定义域为［0,+。），且是增函数，

当0〈尤＜1时，其图象在直线＞=x的上方，故C满足题意.

故选：C

4.（2023•全国•高一假期作业）下列函数中不是幕函数的是（）

A.y=4xB.y=x3C.y=3xD.y=x~l

【答案】C

【分析】根据暴函数的定义逐个分析选项即可.

【详解】对于选项A,故它是暴函数.故A项正确；

对于选项B,y=x3是累函数，故B项正确；

对于选项C,选项x的系数为3,所以它不是幕函数.故C项不成立；

对于选项D,y=是幕函数，故D项正确.

故选：C.

5.（2023春•辽宁辽阳•高二统考期末）“加=4”是“/（x）=（/-3加-3卜2是幕函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】运用幕函数定义及集合包含关系即可求得结果.

【详解】因为〃》）=（/-3加-3）尸2是幕函数,

所以疝-3刃-3=1,解得机=4或用=-1,

故“优=4”是“〃X）=（/-3m-3卜2是幕函数,,的充分不必要条件

故选：A.

1

3—1

6.（2023春•吉林长春•高二长春外国语学校校考期末）函数一（X）X-X的图象大致为（

【答案】B

【分析】利用特殊值法即可排除错误选项.

【详解】由/（1）=。，排除A,D,

当X>1时，xLx->>0>所以f(x)>0,排除C.

故选：B.

7.（2021秋•高一校考课时练习）函数y=加eZ）的图象如图所示，则加的值为（）

A.-1<m<3B.0C.1D.2

【答案】c

【分析】由图象可知函数为偶函数，且在第一象限内单调递减，则--2切-3<0,求出加的范围，再由加eZ

取值验证即可

【详解】由图象可知函数7=/”2片3（加eZ）为偶函数，且在第一象限内单调递减,

所以机2一2机一3<0,解得一1<相<3,

因为根£Z,所以加=0,或加=1,或加=2,

为奇函数,

当初=0时，y=x~3=4不合题意,

X

-4e为偶函数，

当加=1时，y=x='符合题意,

4为奇函数,

当加=2时，y=x~3=不合题意,

X

所以机=1,

故选：C

x2,x>0,

8.（2023春•四川绵阳•高二四川省绵阳江油中学校考期末）已知函数则函数/（%）=1八g(x)=/(-x),

—,x<0,

、x

则函数g（x）的图象大致是（）

【答案】B

【分析】由g(x)=/(f)可知g(x)图像与/(x)的图像关于了轴对称,由“X)的图像即可得出结果.

【详解】因为g(x)=〃-x),所以g(x)图像与/(X)的图像关于了轴对称,

由“X)解析式，作出“X)的图像如图

从而可得g(x)图像为B选项.

故选：B.

11

9.(2022秋•浙江温州•高一温州中学校考期中)若(2加+1下>(机2-加-3尸，则实数加的取值范围是(

(，八IB八

C.(-1,4)D.F-+^V—,4

【答案】D

【分析】构造/(%)=/,(%>0),通过函数单调性及定义域，列出不等式，求出取值范围.

【详解】解:由题知构造小)=/.〉0),

由事函数性质可知/(%)单调递增，

\_1

,/(2m+1)6>(rn2-m-3尸,

2m+1>0

「.<m2-m-3>0,

2m+1>m2-m-3

1

m>—

2

1+V131-V13

m>------,m<------

22

—1<m<4

故选:D

10.(2022秋・山东泰安・高一山东省泰安第二中学校考阶段练习)已知事函数〃x)=(，-2a-2)/(aeR)

在(0,+功上单调递增，不等式/(x+5)</(/-3x)的解集为()

A.(-S,-5)U(1,+8)B.(-s,-l)U(5,+⑹C.(-1,5)D.(-5,1)

【答案】B

【分析】根据幕函数的定义及性质求出«的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解集.

【详解】解：因为函数/(幻=(。2-2.-2)/("7?)为幕函数，所以/一2a-2=1,解得。=3或“=-1,

又募函数/(司=(/-2"2卜"(0€1<)在(0,+8)上单调递增，

所以a=3,此时/(%)=/在R上单调递增，

因为/(x+5)</l-3x),所以x+5<f-3x,解得x>5或x<-l,

所以不等式/(x+5)</(x2-3x)的解集为(-8,-1)U(5,+8),

故选：B.

11.(2021秋•高一课时练习)已知函数〃x)=&,若〃则a的取值范围是()

A.(0,5)B.(5,+8)C.［-1,3)D.(3,5)

【答案】C

【分析】直接利用单调性转化，列不等式组，即可求出a的取值范围.

【详解】〃幻=石的定义域为［。,+8),且在［。,+也)单调递增，

所以/(a+1)<410-2a)可化为:

(2+1>0

<10-2«>0,解得：

〃+1<10—2a

故a的取值范围是［-1,3).

故选：C

11

12.(2022・高一单元测试)满足(加+i尸<(3-2加尸的实数加的取值范围是().

D.(-co,-l)u

【答案】D

【分析】根据幕函数v-x—的单调性结合函数值的正负，将所求不等式转化为关于机的一次不等式组，求

y-A

解即可.

【详解】幕函数y=在(0,+8)为减函数，且函数值为正,

在(-8,0)为减函数，且函数值为负,

(m+1)三<(3-2加)F等价于,

3-2m>0m+1<0(3—2m>0

或《

m+1>3-2mm+1>3-2m[m+1<0

解得:<机<_|■或加£0或加<一1,

所以不等式的解集为(-叫-1)。

故选：D.

13.(2023春•四川绵阳•高二期末)若塞函数了=/(x)的图象过点

【答案】3

【分析】将弋入幕函数/(x)=x"中求出"，从而可求出了网的值.

【详解】设幕函数为/(x)=J得。=3,

所以/(x)=d,

所以八独)=(为『=3,

故答案为：3

14.(2023春・江西宜春・高一江西学校考期末)已知累函数〃x)="-2加-2卜旭满足〃2)<〃3),

则加=.

【答案】3

【分析】根据暴函数的定义和单调性进行求解即可.

【详解】因为函数/")=(/-2吁2尸为幕函数，

则以2-2加-2=1,解得加=3或m=-l,

又因为〃2）＜〃3）,所以加=3,

故答案为：3.

15.（2023秋•广东肇庆・高一广东肇庆中学校考期中）已知事函数/（x）的图象过点（3,3）和（皿2）,则实数加

【答案】2

【分析】由幕函数的定义可设/（x）=x",代入运算即可得解.

【详解】由题意，设=

因为基函数/（x）的图象经过点（3,3）,

所以〃3）=3。=3,解得a=l,

所以/（x）=x.

又募函数〃X）的图象经过点（电2）,

所以/（加）=加=2.

故答案为：2.

16.（2022秋•广西百色•高一统考期末）幕函数〃x）=（加2一3卜旭在区间（0,+功上单调递增，则机=；

【答案】2

【分析】根据赛函数相关性质直接求解.

【详解】因为“%）=（苏-3）乃是幕函数，

所以加2一3=1,则加=±2,

当根=2时，/（x）=Y在区间（0,+司上单调递增，符合题意；

当加=-2时，〃无）=!在区间（0,+。）上单调递减，不符合题意.

所以加=2.

故答案为：2

17.（2023春•四川南充•高一四川省南充市白塔中学校考期中）已知点（刃,8）在幕函数/（x）=（加-l）x”的图象

上，贝打一'”=.

【答案】I

【分析】先通过累函数的概念求出〃?，然后将点（2,8）代入解析式求出小直接计算即可.

【详解】由幕函数概念知，机-1=1,所以旭=2,

由题意，点（2,8）在幕函数〃x）=x"的图象上，

则8=2",解得"=3,所以〃x）=x3,所以=3-2=，

故答案为：§

18.（2023•宁夏银川•银川一中校考二模）已知函数〃》）=（二-%-1卜/3々是哥函数，且为偶函数，则实

数加=.

【答案】2

【分析】由函数无）是幕函数，则/一以一」］,解出m的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案.

【详解】由函数〃X）=（病一机一1），⑶-2是暴函数，则/一加_1=1,得加=2或m=_l,

当加=2时，函数〃x）=x-2=g,其定义域为{x|xw0},/（r）=Uy=：=〃x）,则是偶函数,

满足条件；

当加=-1时，函数/（x）=x是奇函数，不合题意.

故答案为：2.

19.（2021秋•福建泉州•高一校考期中）已知塞函数/@）=（/_加_1）/+片3,其图像与坐标轴无交点，则

实数m的值为.

【答案】-1

【分析】根据暴函数定义，由/-加-1=1求得%再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可.

【详解】由幕函数〃x）=（/-加一1）”+小知，

加2—加一1=1得m=2或加=-1.

当初=2时,〃X）=/图象与坐标轴有交点（0,0）,

当加=-1时，/（x）=x-3与坐标轴无交点，

m=-l.

故答案为:-1

1

20.(2023・全国•高一假期作业汨知哥函数/(x)=［/，若/("1)</(8-24，则。的取值范围是.

【答案】(3,4)

【分析】根据题意得到基函数/(x)的定义域和单调性，得到不等式〃。-1)</(8-2。)的等价不等式组,

即可求解.

【详解】由幕函数/(X)可得函数/(x)的定义域为(0,+A),且是递减函数,

a—1>8—2a

因为/(a—1)</(8—2a),可得<a—1>0,解得3<a<4,

8—2a>0

即实数。的取值范围为(3,4).

故答案为：(3,4).

21.(2023春・安徽•高一合肥市第八中学校联考开学考试)己知事函数/(x)的图象过点［2,等］,且

/(26-1)<〃2-6),贝峰的取值范围是.

【答案】。,2)

【分析】设幕函数f(x)=x",将点2,事代入求出。的值，再利用累函数的单调性求解即可.

【详解】设幕函数/(x)=x“，aeR,

因为基函数/(x)的图象过点［2,4］,所以正=2%解得〃=-：,

k)22

_11

所以/(x)=x2=“X)的定义域为(0,+功，且在(0,+8)上单调递减,

yJx

因为〃26-1)</(2-6),所以26-1>2-6>0,解得1<6<2,

故答案为：(1,2)

22.(2023春•湖南衡阳•高一衡阳市八中校考开学考试)已知事函数/(x)经过点(9,3),则不等式

/(x2-x+l)<l的解集为.

【答案】{*0<x<l}

【分析】首先代入已知点求出/(X),则+利用函数单调性即可得到不等式，解出即可.

【详解】设幕函数/(x)=x“，

由题意得9。=3,解得。=；,故〃x)=£，"1)=1，

贝l］/(x2-x+l)<l,即为/卜2_》+1)<〃1),

根据/(x)=%在［°，+8)上为单调增函数，则有04/7+1<1,

解得0<x<l,故解集为{x|0<x<l},

故答案为：{x|0<x<l}.

22

23.(2023秋・上海徐汇•图一上海中学校考期末)不等式(2x+l)3<(x-3)3的解为.

【答案】［

2

【分析】根据塞函数的性质确定幕函数的奇偶性与单调性即可解不等式.

2___

【详解】解：暴函数/(耳=必=浮的定义域为R,且函数在［0,+。)上单调递增，

又〃_6=而彳="=/(可，则/(x)为偶函数，所以〃x)在(-8,0)上单调递减，

则由不等式(2x+炉<(x-3,可得口+1|<|x-3］,平方后整理得3/+lOx-8<0,

即(3x-2)(x+4)<0,解得一4<x<g,则不等式的解集为14,|)

故答案为：

能力提升B组

24.(2023春•浙江宁波•高二统考期末)下列函数是增函数的是()

A.y=x3B.y=x2C.”_丫5D.y=-x-1

，，y-A/

【答案】AC

【分析】根据基函数的性质判断各选项的单调性即可.

【详解】对于A,函数了=/的定义域为R,

函数丁=d在R上单调递增，A正确；

对于B,函数y=x?的定义域为R,

函数y=x2在(-8,0］上单调递减，在(0,+功上单调递增，B错误;

对于C,函数了=，的定义域为他+“)，

函数y=f在［0,+/)上单调递增，C正确；

对于D,函数y=-X—的定义域为(一叫0)U(0,+⑹，

函数>=-X-1在(-叫0)上单调递增，在(0,+功上单调递增，

但/(-1)=-1>1=/⑴，D错误；

故选：AC.

25.(2023・全国•高一专题练习)若函数/(》)=/,则()

A./㈤的图象经过点(0,0)和(1,1)

B.当“X)的图象经过点(TT)时，/(x)为奇函数

C.当/⑴的图象经过点(-M)时,/(x)为偶函数

D.当a>0时，存在/(x)使得八退)</(行)

【答案】BC

【分析】利用幕函数的的性质一一判断求解即可.

【详解】根据事函数的图象性质可知，当a<0时，募函数不经过点(0,0),故A错误;

当/(x)的图象经过点(-1,-D时，/(-1)=(-1)"=-1,

因为/(X)经过点(-LT),

所以a>0时，〃x)的定义域为R,。<0时，〃x)的定义域为3》20},都关于坐标原点对称,

又/(f)=(-x『=(-ifxa=-xa=-/(x),

所以/(X)为奇函数，B正确；

当/(x)的图象经过点(-U)时，/(-l)=(-lf=1,

因为/(x)经过点(T1),

所以a>0时，的定义域为R,。<0时，/(x)的定义域为都关于坐标原点对称,

又/(-X)=(-X)"=X。=/(X),

所以“X)为偶函数，c正确；

当a>0时,/(x)在(0,+<»)单调递增，

所以/(6)>/(板)，D错误，

故选：BC.

26.(2023秋•湖北•高一校联考期末)下列关于幕函数说法不正确的是()

A.一定是单调函数B.可能是非奇非偶函数

C.图像必过点(覃)D.图像不会位于第三象限

【答案】AD

【分析】根据褰函数>=x"(aeR)随着。变化的图像与性质，即可判断正误.

【详解】察函数的解析式为V=x"(aeR).

当。=2时，y=x2,此函数先单调递减再单调递增，

则都是单调函数不成立，A选项错误；

当a=2时，y=x2,定义域为R,此函数为偶函数，

当a=g时，y=«,定义域为{x|x20},此函数为非奇非偶函数，

所以可能是非奇非偶函数，B选项正确;

当x=l时，无论。取何值，都有y=i,

图像必过点（1,1）,C选项正确；

当。=1时，y=x图像经过一三象限，D选项错误.

故选：AD.

27.（2022秋•陕西商洛•高一校考期中）已知塞函数〃》）=尤-/0（_2＜%＜2,加eZ）满足：

①/（x）在（0,+动上为增函数，

②对VxeR,都有〃-x）-/（x）=0,

求同时满足①②的累函数〃x）的解析式，并求出xe[L4]时，〃无）的值域.

【答案】/（x）=x4,[1,256]

【分析】利用幕函数的性质及题设条件可确定/'（x）表达式，进而确定其在指定区间上的值域.

【详解】因为/（X）在（0,+8）上为增函数，所以_加2一2加+3＞0,解得一3〈加＜1,

又一2〈加＜2,加EZ,所以，加=一1或机=0.

又因为〃-x）=/（x）,所以/（X）是偶函数,所以-病一2加+3为偶数.

当以=-1时，-加2-2机+3=4满足题意；当加=。时，_2俏+3=3不满足题意，

所以/（工）=/,

又因为/。）=3在[1,4]上递增,所以〃力「="1）=1,/（力1Mx=（4）=25在

故xe[l,4]时，/（x）的值域是[1,256].

28.（2023春•江苏苏州•高二常熟中学校考阶段练习）已知幕函数/（x）=（3/-2加）Z1（加eR）在定义域上不

单调.

（1）试问：函数/（x）是否具有奇偶性？请说明理由；

⑵若+1）+/（2«-3）＜0,求实数a的取值范围.

【答案】（l）〃x）为奇函数；理由见解析

23

（2）。＜-1或

【分析】（1）由幕函数的定义可得力=-g或心=1,结合函数/（X）的单调性排除增根，由此确定

/'（x）的单调性，结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；

（2）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.

【详解】（1）由题意3ff7。-2加=1,解得机=—］或7〃=1,

当机=1时，/（x）=x,

函数/（x）=x在R上单调递增，不合题意；

1_i

当加=一§时，f^=x3,

函数〃力=；3的定义域为（一8，°）“°，+00），

函数〃x）=x-在（-8，0）上单调递减，在（0,+8）上单调递减，

但==

所以函数/@）=；3在定义域（一8,0）口（0,+8）上不单调，符合题意，

所以/（x）=X3，

1

因为函数=的定义域关于原点对称，

口1-1

且/（一无）=（-无）3=-X3=-/（X）＞

所以〃无）为奇函数；

（2）由〃。+1）+/（2。-3）＜0及〃x）为奇函数，

可得/①+1）＜-/（2。-3）=〃3-2“），

11

即S+1尸＜（3-2°》,

而/（x）在（-8,0）上递减且恒负，在（0,+功上递减且恒正，

Q+1〉0a+1<0

所以卜-2。>0_f4Z+1<0

或<3-2。<0或匕一2a>0

a+1>3—2a〃+1〉3—2a

23

解得。＜一1或.

29.(2022秋•云南玉溪・高一云南学校考阶段练习)设函数的定义域为。，如果存在

使得f(x)在［a向上的值域也为［a,b］,则称f(x)为“/佳，，函数.已知幕函数=(p2+p-l)xP^在(°，+8)内

是单调增函数.

⑴求函数/(幻的解析式.

2

⑵函数8(》)=/。)-§是否为“/佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.

【答案】(l)/(x)=£

⑵是,葛

【分析】(1)根据幕函数的定义及性质得到方程(不等式)组，解得即可；

(2)首先得到g("的解析式，即可判断函数的单调性，再根据题意得到方程组，解得即可.

【详解】(1)因为幕函数/(x)=(p2+p_l)S