广东省大埔县2023-2024学年数学九年级上册期末经典模拟试题含解析

广东省大埔县2023-2024学年数学九上期末经典模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.二次函数y=/-x-2的图象与x轴的交点个数是（）

A.2个B.1个C.0个D.不能确定

2.如图，直线AB、BC、8分别与。。相切于区F、G,且AB〃CO,连接OB、OC、OE、OG,若

OB=6,OC=8,则梯形BEGC的面积等于（）

A.64B.48C.36D.24

3.如图，将Rt,ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt-ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若

AC=6/B=60°，则CD的长为（）

E

A.0.5B.1.5C.72D.1

4.宽与长的比是選二1（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的

2

美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形A3C。，分别取AO、BC的中点E、F,连接EF：以点F为圆

心，以尸。为半径画弧，交5c的延长线于点G；作G"丄A。，交AZ）的延长线于点以，则图中下列矩形是黄金矩形的

是（）

A.矩形AB尸EB.矩形E尸。C.矩形EfGHD.矩形OCG"

5.如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）

A.yj-lB.Pj-piC.+D.出

3

6.如图，P（x,j）是反比例函数y=巳的图象在第一象限分支上的一个动点，9丄x轴于点A,P5丄y轴于点3,随

x

着自变量X的逐渐增大，矩形O4P3的面积（）

K

A.保持不变B.逐渐增大C.逐渐减小D.无法确定

7.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=K的图象经过点（1,3）,则k的值可以为

两个正六边形的边长均为1,其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外

轮廓线的周长是

A.7B.8C.9D.10

9.下列四个点,在反比例函数y=9图象上的是（）

A.（1,-6）B.（2,4）C.（3,-2）D.（-6,-1）

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形A3CO的顶点A与原点。重合，顶点3落在1轴的正半轴上，对角线AC、

BD交于低M，点O、M恰好都在反比例函数y=£k（x>0）的图象上，则A一C匕的值为（）

xBD

A.夜B.6C.2D.75

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.已知以线段AC为对角线的四边形A8C。（它的四个顶点4,B,C,。按顺时针方向排列）中，

AB=BC=CD,N48C=100。，NC4O=40。，则N5CZ）的度数为.

12.在△48C中，N48c=30。，AB=百，AC=1,则NACB的度数为.

13.两个相似三角形的面积比为9:16,其中较大的三角形的周长为64c772,则较小的三角形的周长为cm.

14.有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线x=2；乙说：与x轴的两个交点的距离

为6；丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9,则这条抛物线解析式的顶点式是.

15.若关于x的一元二次方程（x+3『=c有实数根，则c的值可以为（写出一个即可）.

3

16.在AABC中，NC=90°,AB=S,cosA=~,则AC的长是________.

4

17.如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，若弦CD=2,则图中阴影部分的面积为.

18.如图所示，在AABC中，ZC=90°,DE垂直平分AB,交BC于点E,垂足为点O,BE=6cm,NB=15。,

则AC等于.

三、解答题（共66分）

19.（10分）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼两次锻炼后数据如下表，与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼

步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍.设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为

x（0<x<0.5）.注：步数x平均步长=距离.

项目第一次锻炼第二次锻炼

步数（步）10000①_________

平均步长（米/步）0.6②_________

距离（米）60007020

（1）根据题意完成表格；

（2）求x.

20.（6分）如图，在某建筑物AC上，挂着一宣传条幅BC,站在点F处，测得条幅顶端B的仰角为30。，往条幅方

向前行20米到达点E处，测得条幅顶端B的仰角为60°,求宣传条幅BC的长.（6a1.732，结果精确到0.1米）

21.（6分）如图，在平行四边形A8C。中，AB<BC.

（1）利用尺规作图，在5c边上确定点E,使点E到边48,4。的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）;

（2）若3c=8,CD=5,贝！JCE=_.

22.（8分）已知二次函数2.应机1为常数）.

（1）求证：不论机为何值，该二次函数的图像与*轴总有两个公共点；

（2）将该二次函数的图像向下平移A（«>0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0,-2）,则★的取值范围

是.

23.（8分）2019年12月27日，我国成功发射了“长征五号”遥三运载火箭.如图，“长征五号”运载火箭从地面A处垂

直向上发射，当火箭到达8处时，从位于地面M处的雷达站测得此时仰角NAM3=45°,当火箭继续升空到达C处

时，从位于地面N处的雷达站测得此时仰角NANC=30，已知MV=120切?，BC=40km.

(1)求A3的长；

(2)若“长征五号”运载火箭在。处进行“程序转弯”，且NACD=105,求雷达站N到其正上方点。的距离.

24.(8分)如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm,圆心角的度数为120。，若将此扇形围成一个圆锥,

(2)求出该圆锥的底面半径是多少.

25.(10分)图1和图2中的正方形ABCD和四边形AEFG都是正方形.

(1)如图1,连接DE,BG,M为线段BG的中点，连接AM,探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的

结论；

(2)在图1的基础上，将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结DE、BG,M为线段BG的中点,

连结AM,探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论.

26.(10分)如图1是一种折叠台灯，将其放置在水平桌面上，图2是其简化示意图，测得其灯臂A3长为28加,灯

翠BC长为15cm,底座AD厚度为3c、人根据使用习惯，灯臂45的倾斜角N0AB固定为60，

(1)当8c转动到与桌面平行时，求点C到桌面的距离；

⑵在使用过程中发现，当8C转到至NA8C=145时，光线效果最好，求此时灯罩顶端C到桌面的高度(参考数

据:石.,s%25«0.4,cos25»0.9,tan25a0.5,结果精确到个位）.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、A

【分析】通过计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数.

【详解】由二次函数旷=1一无一2,

知a=l,b——l,c——2,

；.〃_4ac=(-1)2-4x1x(―2)=9>0.

.•.抛物线与x轴有二个公共点.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与％轴的交点个数取决于。2-4℃•的值.

2、B

【分析】先根据切线长定理得出8E=BF,b=CG,然后利用OBC面积求出OF的长度，即可得到圆的半径，最

后利用梯形的面积公式S=g(a+份〃即可求出梯形的面积.

【详解】连接OF,

直线AB、BC、8分别与。。相切于区F、G,

二BE=BF,CF=CG,OF丄BC,OE丄AB,OG±DC.

[OE=OF

在RtOEB和RtZ\O尸B中，\OB_OB

:.Rt.OEB=Rt_OFB(HL),

AZEOB=ZBOF.

\OG=OF

在放OGC和RhOEC中，〈八八八乙

OC-oc

...Rt_OGC=Rt_OFC(HL),

:./GOC=NFOC.

'：/EOB+ZBOF+ZFOC+4GOC=180°,

:.NBOC=/BOF+NFOC=90。.

•：OB=6,OC=8,

:.BC=\IOB2+OC2=10•

-OB.OC=-BC-OF,

22

24

AOF=—,

5

OE=OG=—,

5

...梯形8EGC的面积为

-(EB+GC)・(OE+OG)=-(EB+GC)・(OE+OG)=L・BC《OE+OG)=48.

222

故选：B.

【点睛】

本题主要考査切线的性质，切线长定理，梯形的面积公式，掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键.

3、D

【解析】利用NB的正弦值和正切值可求出BC、AB的长，根据旋转的性质可得AD=AB,可证明AADB为等边三角

形，即可求出BD的长，根据CD=BC-BD即可得答案.

【详解】VAC=V3»NB=60。，

/.sinB=—,即1=正，tan60°=生，即6=正，

BC2BCABAB

/.BC=2,AB=1,

•••RtABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到RtADE,

.•.AB=AD,

VZB=60°,

.,•△ADB是等边三角形，

.*.BD=AB=1,

.,.CD=BC-BD=2-1=1.

故选D.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出AABD是等边三角形是解题的

关键.

4、D

【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比

值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形.

【详解】解：设正方形的边长为2,则CD=2,CF=1

在直角三角形DCF中，DFAf+22=石

：.FG=45

.•.CG=x/5-l

.CG_V5-1

,~CD~2

.••矩形DCGH为黄金矩形

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念.解题时注意，宽与长的比是避二1的矩形叫做黄

2

金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形.

5、A

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.

【详解】从上面看易得上面一层有3个正方形，下面左边有一个正方形.

故选A.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

6、A

【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,

即S=J|k|,所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变.

【详解】解：依题意有矩形OAPB的面积=2X?|k|=3,所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变.

故选:A.

【点睛】

本题考査了反比例函数y=丄中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|,解题

X

的关键是掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即s=：|k|.

7、B

k

【分析】把点(1,3)代入y=—中即可求得k值.

x

k

【详解】解：把x=Ly=3代入y=一中得

x

3」，

1

，k=3.

故选：B.

【点睛】

本题考査了用待定系数法求反比例函数的解析式，能理解把已知点的坐标代入解析式是解题关键.

8、B

【解析】解：•••个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，

,它的一半是60。，它的邻补角也是60。，

...上面的小三角形是等边三角形，

...上面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1,

同理可知下面的（阴影部分）外轮廓线的两小段和为1,

故这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是1.

故选B.

9、D

【解析】由y=9可得xy=6,故选D.

X

10、A

【解析】利用菱形的性质，根据正切定义即可得到答案.

【详解】解：设九'J,B&O）,

VM点为菱形对角线的交点，

ABD±AC,AM=CM,BM=DM，

把I一可（m亍f小、kpm+t

代入y=一得一^—=k

x22m

••t—3m9

・•・四边形A5CD为菱形,

/•OD=AB=19

/»\2

m2+—=，解得k-2>/2m2，

\rn）

:.M（2m,6m）,

BM_V3m_1

在RtAABM中，tanZMAB=

AMV6mV2

故选A.

【点睛】

本题考査了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于运用菱形的性质.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、80。或100。

【解析】作出图形，证明RtaACE纟RtZXACF,RtABCE^RtADCF,分类讨论可得解.

【详解】VAB=BC,ZABC=100°,

二Nl=N2=ZCAD=40°,

.•.AD〃BC.点D的位置有两种情况：

如图①，过点C分别作CE丄AB于E,CF丄AD于F,

VZ1=ZCAD,

.•.CE=CF,

AC=AC

在RtZkACE与RtaACF中，＜

CE=CF

：.RtAACE^RtAACF,

.*.ZACE=ZACF.

CB=CD

在RtABCE与RtADCF中,

CE=CF

:.RtABCE^RtADCF,

/.ZBCE=ZDCF,

.,.ZACD=Z2=40°,

.,.ZBCD=80°；

如图②,

：AD‘〃BC,AB=CD',

•••四边形ABCD，是等腰梯形,

.,.ZBCD,=ZABC=100°,

综上所述，NBCD=80。或100。,

故答案为80。或100。.

【点睛】

本题考査了全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，本题关键是证明RtaACE纟Rt^ACF,

RtABCE^RtADCF,同时注意分类思想的应用.

12、60°或120°.

【分析】作AD丄BC于D,先在RtZkABD中求出AD的长，解直角三角形求出NACD,即可求出答案.

【详解】如图，作AD丄BC于D,

如图1,在RtZkABD中,NABC=30。，AB=AC=1,

.._J_币

・・ADn—AAB-------9

22

V3

在RtaACD中，sinC=AD_2_G，

7cV

ZC=60°,

即NACB=60。，

同理如图2,

同理可得NACD=60。，

二ZACB=120°.

故答案为60。或120°.

DCBC""b

图1图2

【点睛】

此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意分情况作出图形求解.

13、1

【分析】根据面积之比得出相似比，然后利用周长之比等于相似比即可得出答案.

【详解】•••两个相似三角形的面积比为9:16

•••两个相似三角形的相似比为3:4

.•.两个相似三角形的周长也比为3:4

：较大的三角形的周长为64cm

64

...较小的三角形的周长为丁x3=48a〃

故答案为：L

【点睛】

本题主要考査相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

1,I,

14、y=-(x-2\-3,y=-§(x-2)~+3

【分析】根据对称轴是直线x=2,与x轴的两个交点距离为6,可求出与x轴的两个交点的坐标为(-1,0),(5,0)；

再根据顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9,可得顶点的纵坐标为±1,然后利用顶点式求得抛物线的解析式即

可.

【详解】解：•.•对称轴是直线x=2,与x轴的两个交点距离为6,

...抛物线与x轴的两个交点的坐标为(-1,0),(5,0),

设顶点坐标为(2,y),

•••顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9,

.'•y=l或y=-l,

,顶点坐标为(2,1)或(2,-1),

设函数解析式为y=a(x-2)2+1或y=a(x-2)2-1；

把点(5,0)代入y=a(x-2)，+1得a=-g；

把点(5,0)代入y=a(x-2)2“得a=；；

.•.满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y=—(x-2)2+1或y=；(x-2)

11A

故答案为：y=§(x—2)2-3,y=—§(x—2)-+3.

【点睛】

此题考査了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式.解题的关键是理解题意，采用待定系数法求解析式，

若给了顶点，注意采用顶点式简单.

15、5(答案不唯一，只有cNO即可)

【解析】由于方程有实数根，则其根的判别式△》】，由此可以得到关于c的不等式，解不等式就可以求出c的取值范

围.

【详解】解：一元二次方程化为X2+6X+9-C=1,

VA=36-4(9-c)=4c2l,

解上式得c》l.

故答为5(答案不唯一，只有c,l即可).

【点睛】

本题考查了一元二次方程a/+bx+c=l("1)的根的判别式&於-4℃与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式

解答本题的关键.当41时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当小1时，一元二次方程有两个相等的实数根；当

时，一元二次方程没有实数根.关键在于求出c的取值范围.

16、1

【分析】根据NA的余弦值列出比例式即可求出AC的长.

【详解】解：在RtZkABC中，cosA=——=-,=8

AB4

33

：.AC=-AB=-x8=6

44

故答案为L

【点睛】

此题考査是已知一个角的余弦值，求直角三角形的边长，掌握余弦的定义是解决此题的关键.

【解析】试题分析：连结OC、OD,因为C、D是半圆O的三等分点，所以，ZBOD=ZCOD=60°,所以，三角形

1207rX447r1；■——

OCD为等边三角形，所以，半圆O的半径为OC=CD=2,S扇形OBDC=-------=>SAOBC=_x2y3x1=,

36032

S弓彩CD=Sa^oDc-SAODC=----；x2x6=——百，所以阴影部分的面积为为S=———逝—(——6)

3602333

_2乃

考点：扇形的面积计算.

18、3cm

【分析】根据三角形内角和定理求出NBAC,根据线段垂直平分线性质求出8E=AE=6cm,求出

AEAB=ZB=15°.求出/EAC,根据含30。角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】•.•在AABC中，NACB=90：ZB=15°

NBAC=90°-15°=75°

TOE垂直平分AB,BE=6cm

/.BE=AE=6cm

N£XB=NB=15°

NEU75°-15°=60°

ZC=90°

.-.ZAEC=30°

AC=—AE=—x6cm=3cm

22

故答案为：3cm.

【点睛】

本题考査了三角形的边长问题，掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30。角的直角三角形的性质是解

题的关键.

三、解答题(共66分)

19、(1)010000(l+3x),②0.6(1)；(2)x的值为01.

【分析】(1)①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第二次锻炼的

步数；

②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x,即可表示出第二次锻炼的平均步长(米/步)；

(2)根据题意第二次锻炼的总距离这一等量关系，建立方程求解进而得出答案.

【详解】解：(1)①根据题意可得第二次锻炼步数为：10000(1+3%),

②第二次锻炼的平均步长(米/步)为：0.6(l-x)；

(2)由题意，得10000(1+3x)x0.6(1-x)=7020.

17

1

解得玉=.>0.5(舍去)，%2=-

答：x的值为0」.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键.

20、宣传条幅BC的长为17.3米.

【解析】试题分析：

先由NF=30。，NBEC=60。解得NEBF=3()o=NF,从而可得BE=FE=20米，再在RSBEC中由sin/BEC=0^=正

BE2

即可解得BC的值.

试题解析：

VZBEC=ZF+ZEBF,ZF=30°,ZBEC=60°,

:.ZEBF=60o-30°=30°=ZF,

.*.BE=FE=20(米).

V在RtABEC中，sinZBEC=—=—,

BE2

.•.BC=BEX@H10*1.732=17.32=47.3（米）.

2

21、（1）见解析；（2）1.

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出NA的平分线即可；根据平行四边形的性质可知AB=CD=5,

AD〃BC,再根据角平分线的性质和平行线的性质得到NBAE=NBEA,再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即

可求解.

【详解】（1）如图所示：E点即为所求.

（2）•四边形ABCD是平行四边形，，AB=CD=5,AD〃BC,/.ZDAE=ZAEB,；AE是NA的平分线,

二NDAE=NBAE,AZBAE=ZBEA,，BE=BA=5,.*.CE=BC-BE=1.

考点：作图一复杂作图；平行四边形的性质

3

22、（1）证明见解析；（2）k>~.

4

【分析】（1）根据判别式的值得到△=（2m-l）2+3>0,然后根据判别式的意义得到结论；

13

（2）把（0,-2）带入平移后的解析式，利用配方法得到k=（m+—）2+一,即可得出结果.

24

【详解】（1）证：当尸0时2逝m—+而一1=0

Vb2—4ac=(-2-4(/n2+//r—1)

=8/w2—4/n2—4rn+4

=4m2—4m+4

=(2m-l)2+3>0

・•・方程/-2血g+源+机-1=0有两个不相等的实数根

，二次函数7=必一2五〃氏+帆2+/〃-1图像与x轴有两个公共点

(2)解：平移后的解析式为:y=%2—2血〃zx+加+机一1・元过(0,・2),

133

/.-2=0-0+m2+m-l-k,Ak=m2+m+l=(m+—)2+—,/.k>—.

244

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换以及图象与X轴交点个数确定方法，能把一个二次三项式进行配方是解题的关键.

23、(1)AB=406km；(2)160km

【分析】(1)设为或利，根据题意可用含x的代数式依次表示出AM、AC.AN的长，然后在直角△CAN中利用

解直角三角形的知识即可求出x的值，进而可得答案；

(2)由(1)的结果可得CN的长，作。”丄CN,垂足为点H,如图，根据题意易得NOCN和NONC的度数，设

HN=y,则可用y的代数式表示出C“，根据C”+“N=CN可得关于y的方程，解方程即可求出y的值，进一步即可求

出结果.

【详解】解：(1)设AB为Mm,

VZAMB=45°,

二NABM=45°,

则AM=AB=xkm,

在放AACN中，

VZANC^30°,AC=AB+BC=x+40,AN=AM+MN=x+120,

:.AN=AC.tan60°=0C，

即5/3(40+x)=120+x,

解得：X=40M，

•••AB=40百km；

(2)作。“丄CN,垂足为点”，如图，

由(1)可得，AC=40G+40,

'：ZANC=30°,

二CN=806+80，

vZACD=105°,

:.4NCD=45°,

：.CH=DH,

■:ZAND=90。,

...NCND=60。，

设HN为y,

则DH=CH=毎，

.,.0y+y=800+80,

解得：y=80,

:.ON=2y=160.

答：雷达站N到其正上方点。的距离为160册.

【点睛】

本题以“长征五号”遥三运载火箭发射为背景，是解直角三角形的典型应用题，主要考查了解直角三角形的知识，属于

常考题型，正确添加辅助线构造直角三角形、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题关键.

24、(1)lln；(1)1.

【分析】(1)因为扇形的面积就是圆锥的侧面积，所以只要求出扇形面积即可；

(1)因为扇形围成一个圆锥的侧面，圆锥的底面圆的周长是扇形的弧长，借助扇形弧长公式可以求出圆锥的底面半径.

【详解】解：(1)S=Q=空至名=12万；

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H7TK12()乃X6

(D扇形的弧长=蘭=一満上=4万，圆锥的底面圆的周长=ER=4TT,解得：R=l；

故圆锥的底面半径为1.

【点睛】

本题考査圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键.

25、(1)AM=-DE,AM丄DE,理由详见解析；(2)AM=-DE,AM±DE,理由详见解析.

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【解析】试题分析：(1)AM=-DE,AM丄DE,理由是：先证明ADAE纟△BAG,得DE=BG,NAED=NAGB,再

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根据直角三角形斜边的中线的性质得AM=』BG,AM=BM,则AM=』DE,由角的关系得NMAB+NAED=90。，所

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以NAOE=90。，即AM丄DE；(2)AM=-DE,AM丄DE,理由是：作辅助线构建全等三角形，证明△MNGg/kMAB

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和△AGN^AEAD可以得出结论.

试题解析：(1)