2023-2024学年无锡市江阴四校高一数学上学期期中联考试卷附答案解析

2023-2024学年无锡市江阴四校高一数学上学期期中联考试卷

2023-11

(试卷满分150分.考试用时120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项

是正确的).

1.集合A={X|2MX<4},B={X|3X-7>8-2X}(则()

A.P，4)B[2,+oo)c.(/3]D[2,3]

2.命题：“V〃eZ,"eQ„的否定是()

A.任Z,B.V〃任Z,〃任QQ三〃任Z,〃任QD.3HGZ,

3.函数y=/(x)，xe[-l,a](a>-l)是奇函数，则a等于

A.1B.0C.-1D.无法确定

4.下列命题为真命题的是()

A.若a>A>0,贝IJ4<?>6C2B.若a>b,则

1>1

C.若则D.若"<〃，贝ijab

5.已知点(饵8)在基函数“x)=(mT)x”的图像上，则“5=()

11

--

98U89

A.B.D.

6.已知函数g("+2)=x+4«-6,则g(x)的最小值是()

A.*B.一8c.-9D.T°

11

0<a<--H-----

7.若2,则。1-2〃的最小值为)

A.3+2及B.3-2忘c.40D.4

8.已知函数“X)为R上的单调递增函数，〃°)=夜，任意x,yeR,都有/(x)/(y)=〃x+y+l).

则不等式/REX)”一3k+4x-2)>4的解集为()

A.{x|x<l或x>4}B.{XH<X<4}C{x|x<-l或x>4}D{x|-l<x<4}

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得。分)

9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有()

A.(x)=l与g(/n)=l

1

B〃x）=x2与g（x）=谬

C"力=若与g（x）=0

D.〃x）=x2-l与g（x）=（x+l『—2（x+l）

10.下列说法正确的是（）

A.若x>。，则*x的最小值为2-4百

B.已知集合A,B均为实数集R的子集，且”“，则（4A）UB=8

C.对于函数卜=/（力，xeR,"y=."x+l）是偶函数，，是“y=〃x）的图象关于直线x=l轴对称，，的充要

条件

D.若命题“HxeR,x?-，加+1<。”的否定是真命题，则实数加的取值范围是-2<〃?<2

11.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,而

且这个比值越大，采光效果越好.则（）

A.当一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2,则这所公寓的窗户面积至少应该为22m2

B.若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好

C.若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的3倍，公寓采光效果一定

会变差

D.若窗户面积和地板面积都增加原来的0％,其中。>。，公寓采光效果不变

\x-ir^,x<m

〃x）=

—-+4如-3，7/>”，则下列说法正确的是（）

12.已知函数

A.当初=1时，/（X）的单调减区间为（Y°』32，”）

B.函数/（"）为R上的单调函数，则加4°

C.若〃xT）>f（x）恒成立，则实数m的取值范围是10°'

AX,+X2>/（^,）+/（x2）

D.对“，毛叩〃,”），不等式（2J2恒成立

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）.

X2+l,x<1

/W='2x>]

13.设函数I，,则/⑶=

14.已知函数/（力=9-"-8在（5,6）上具有单调性，则实数”的取值范围是

2

15.若函数的定义域为（°'8）,则函数底%7的定义域为

16.函数的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/a）为奇函数，有同学发

现可以将其推广为：函数的图像关于点尸（“力）成中心对称图形的充要条件是函数

y=为奇函数根据以上结论，函数""一3"f,则/（x）的对称中心是

;若“为

正整数，贝1.（一"）+〃-"+D+f（一"+2）+…+/（。）+/（1）+…+/（馥+2）=

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

9(-0-9)°27

17.(1)计算:

(2)已知出+。2=3,求a+a'+2

=布住-A={x|343Y27)降入B=+x+2>°},设全集U=R.

1O8.已知集合।,，集合

⑴求A,B,&（ACB）；

（2）已知关于x的不等式f-如＜2X-2机的解集为c,若C=A,求实数m的取值范围.

19.已知。、b、c、d号R.

⑴试比较（"2+/22+"2）与3+的大小，并给出证明；

（2）利用（1）的结论求函数/（司=67+后五的最大值.

20.如图，P是矩形A8CZ）对角线8。上一点，过P作物，A8,PN'AD,分别交48、于M、

N两点.

⑴当舫=3,4）=2时，设PM=x,PN=y,找出》、y的关系式，求四边形4WW面积的最大值，并

指出此时P点的位置；

（2）当矩形A3。的面积为6时，四边形AA/PN的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有,请说

3

明理由.

21.已知偶函数“X）的定义域为{幻》*°},当苫«°，内）时，函数‘°）一"7.

⑴当初=1时，求函数/（X）在区间（-8,0）上的解析式；

⑵函数y=/（x）在（°，1）上单调递减，在Q+00）上单调递增，求m的值；

⑶在（2）的条件下，不等式e］在（0,+8）上有解，求实数a的取值范围.

（注：其中“e”为自然常数,约为2.718281828459045）

22.己知二次函数〃力=加+"1,且〃x）T（x-l）=4I

（1）求/“）的解析式；

⑵若g（x）=/（x）-侬在［，2］上的最大值为T,求加的值以及g（x）的最小值；

⑶若心）=〃力”―/+,集合A={y|y=/z（x）,xe［（V］},集合8=}|丫=〃（〃（力），、€。宿，是

否存在实数〃、f,使得A=8,若存在，请求出所有符合条件的〃和f的值；若不存在，请说明理由.

1.B

【分析】根据题意先求集合B,再结合并集运算求解.

【详解】由题意可得:B={x|3x-728-2x}={x|x?3},

所以AUB=［2,E）.

故选:B.

2.D

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解.】命题："V〃eZ,"cQ”为全称量词命题，

其否定为：立eZ,〃£Q.

故选：D

3.A

【分析】根据奇偶性的定义域关于原点对称，可直接得出结果.

【详解】因为函数）'=/。）"€［-1，03＞一1）是奇函数，所以定义域关于原点对称，

即一l+a=O,所以4=1.

故选：A

【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，熟记函数奇偶性的特征即可，属于基础题型.

4.C

4

【分析】对于ABD：举反例分析判断；对于C：根据不等式的性质分析判断.

【详解】对于选项A：若c=。，则"2=庆2=°,故A错误；

对于选项B：若满足则/"'I,故B错误；

对于选项C：若a<b<0,则:>血">〃,即储>龙>/，故c正确;

1,,I

—=-1<[=—

对于选项D：若"T/=l满足则。b,故D错误；

故选：C.

5.A

【解析】根据幕函数的系数为1可求得机的值，再将点(‘"'8)的坐标代入函数“X)的解析式，求出”的

值，进而可求得〃"'的值.

【详解】由于函数〃x)=(mT)x”为基函数，则加一1=1,解得也=2,则f(x)=x",

-in_o-2_2.

由己知条件可得/(2)=2"=8,得〃=3,因此，一-~9

故选：A.

6.A

【分析】设'=五+2。22),换元得到g(f)=Jo(d2),计算最小值得到答案.

【详解】8(4+2)=»4五-6,设/=«+2(壮2);“=(f-以

g(r)=(z-2)2+4r-8-6=f2-10(/>2)

26

故S(Omin=<?()=-,即当x=0时,有最小值Y

故选：A

【点睛】本题考查了换元法求解析式，函数的最小值，换元法忽略定义域是容易发生的错误.

7.A

—I--------=।1---------][2Q+(1-2〃)]

【分析】由已知可得。l-2a12〃1-267；化简后利用基本不等式可求得结果

八1

0<4<一

【详解】因为2,所以1-2a>0,

11信+匕》“+。一2初

—I--------

所以“\-2a

c2(1-2a)2a,

2a1—2〃

>3+2卢至工=3+2a

V2al-2a

5

2(1-2。)2a2-yf2

当且仅当2a-匚五,即"2时取等号，

[

所以a1-2〃的最小值为3+2&,

故选：A

8.B

【分析】根据题意利用赋值法可得/⑶=4,将不等式化为/(一/+5*-1)>“3),结合函数单调性运算

求解.

【详解】因为〃x)〃y)=/(x+y+i),则有：

令x=y=O,可得〃1)=/(0)/(°)=2；

令x=y=i,可得/⑶=/⑴/⑴=4；

且不等式f(2x-+x)f(一3-『+4x-2)>4可化为：/(一/+5》-1)>“3),

又因为函数“X)为R上的单调递增函数，则-x2+5x-1>3,

g[jx2-5x+4<0,解得l<x<4,

所以不等式的解集为卜"<*<4}

故选：B.

9.ABD

【分析1根据函数相等的定义逐项分析判断.

【详解】对于选项A：因为〃力=1与g(优)=1的对应关系相同，定义域均为R,

所以〃x)=l与g(相)=1是同一个函数，故A正确；

对于选项B：因为/(”=/与8⑺=疗二/的对应关系相同，定义域均为R,

所以/(x)=V与g(x)="是同一个函数，故B正确；

Z-7\__X—1______

对于选项C：因为"G的定义域为(Lx°),g(x)=K1的定义域为[L2),

两者定义域不同，所以不是同一个函数，故C错误；

对于选项D：因为“6=*-1与g(x)=(x+—2(x+l)=x2-1的对应关系相同，定义域均为R,

所以“X)4-1与g(x)=(x+l)--2(x+l)是同一个函数，故D正确;

故选：ABD.

6

10.BC

【分析】举反例可判断A；利用集合的交并补运算可判断B；根据偶函数的性质结合图象平移可判断C；

写出命题的否定，再由△<()求得用的范围可判断D；从而得解.

441r~

2-3x——=2-300---=-298——<2-4>/3

【详解】对于A：取x=10«,则x10025，故A错误；

对于B：因为a8=人，所以皆(RB)&?RA,即

所以=

故B正确；

对于c：当y=/a+i)是偶函数时，其对称轴为x=°,

将y=/(x+l)图象向右平移一个单位可得y=/(x)的图象，

所以“y=/(x)的图象关于直线x=l轴对称，即充分性成立；

当》="X)的图象关于直线x=1轴对称时，

将y=/(x)图象向左平移一个单位可得)'=〃x+l)的图象，

则y=/(x+i)的图象关于x=°对称，故y=/(x+i)是偶函数，即必要性成立；

所以“y=〃x+i)是偶函数，，是“尸/("的图象关于直线x=i轴对称”的充要条件，故c正确；

2

对于D：命题"xeR,f771r+]<o"的否定是VxeR,x-mx+\>0,

若否定为真命题，则△=(一吟TSO,可得-2MY2,故D错误.

故选：BC.

11.BD

【分析】设该公寓窗户面积为x,依题意列出不等式组求解可判断A；记窗户面积为a和地板面积为b,

同时根据B,C,D设增加的面积，表示出增加面积前后的比值作差比较即可判断B,C,D.

【详解】对于A,设该公寓窗户面积为x,则地板面积为220-x,

依题意有U<220-x,解得2()4x<110,

所以，这所公寓的窗户面积至少为20m,故A错误；

对于B,记窗户面积为a和地板面积为b,同时增加的面积为c.

aa+c

由题可知，°<a8，c)°,增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为了'瓦7,

7

a+ca_8(a+c)-a(b+c)_c{b-ci)

因为6+c~bb(b+c)帅+c),且0(a8，c〉0,6_4)0

a+ca八。+ca

-->0--->—

所以人+ch,即b+cb,

所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，故B正确;

对于C,记窗户面积为a和地板面积为b,同时窗户增加的面积为c,同时地板增加的面积为3c,

aa+c

由题可知，0<aM0,增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为拜五，

a+ca_b(a+c)-a(b+3c)_bc-3ac_c(b-3a)

因为b+3cbb(O+3c)b(b+3c)b(b+3c)

口0<〃("c)0

a+caa+ca

----->——-----=一

若。-3。>0即b+3cb.若人-3。=0即Z?+3cb.

a+ca

-----<一

若b-3a<0即8+3cb,所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故C错误；

对于D,记窗户面积为a和地板面积为b,同时窗户增加的面积为。％“，同时地板增加的面积为。％力，

aa+a°/o-a_a(l+a%)_a

由题可知，0<a(^c)°,增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为D+"%为6(1+"%1%,

所以公寓采光效果不变，故D正确.

故选：BD.

12.BCD

【分析】A选项，画出机=1时的函数图象，得到A错误；B选项，分析得到若加>°,函数不单调，若〃?40,

比较端点值后得到函数单调递减；C选项，在B选项基础上，加40满足要求，当徵>°时，再分X4”?,

0C<rn<—1

和帆三种情况，求出x—12加时要想满足要求，求出2,再检验其在

机<x<7"+l时满足要求，故C正确；D选项，根据函数为上凸函数，得到D正确.

〃力=忙1，产

【详解】当〃?=1时，S+4x-3,x>l,画出其图象，如下:

8

/（x）的单调减区间为（r°，l］，［2，”），不能用，A错误；

B选项，当加时，〃力=卜一时=机一了，单调递减，

当x＞加时，/（*）=—£++nr—3加2,对称轴为x=2m,开口向下，

若加＞0时，2m＞m,故〃x）在上单调递减，在（'4加）上单调递增,

在（25,内）上单调递减，不合要求，

当机40时，2加工机，且‘（"0=°,

将％=m代入'=一丁+4mx-3m2中，得y=+4/n2-3m2=0,

故/（X）在R上的单调递减，满足要求

故机40,B正确；

C选项，由B选项可知，

当mVO时，“X）在R上的单调递减，满足）（XT）〉""）恒成立，

当加＞0时，〃x）在（一间上单调递减，在（'%2〃?）上单调递增，

在（2以及）上单调递减，

当x4帆时，满足〃xT）＞f（x）恒成立,

当犬-12机，即转机+1时，要想〃xT）＞/（x）恒成立，

则要一（彳_］『+4??7（x-l）-3m2＞-x2+4/??^-3/n2

解得4m＜2x-l,

因为xNm+l,故痴＜2（祖解得

当v机且uptn＜x＜m+\时，

要想/（x—1）＞/（x）恒成立，则要〃-GT）＞—d+4/7^-3m2

即入一（1+46）x+3切+6+1＞°在m根+1恒成立，

八11+4/w

\)<m<—x=------

检验当2时，对称轴为2,

l+4/n/1、14-4m—2tn-22m-1_1+4/H

«--^+1>­―2—=—<0,故》=丁在(,MM之间,

9

1+4〃?

故3)=人(1+4〃以+3病+加+1在入=二处取得最小值，

1+4/nA(1+4/wV/[.+1(1丫]

1/1+4〃。(111A1

0<m<—R---=-,n+T+1>°0<m<—

因为2,所以I2JI2J，故2满足要求,

故实数m的取值范围是1S']]C正确；

D选项，当x>%时，—『+4〃式-3"为上凸函数，

以加>0时为例，画出图象，如图所示,

于(X1+X2]2/(3)+〃彳2)

满足不等式I2J-2恒成立，口正确.

故选：BCD

【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含

有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是

讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数

图像确定条件.

2

13.3

【分析】根据题中分段函数解析式运算求解.

/(3)=-2

【详解】由题意可得：3.故答案为：3.

14(-oo,10]u[12,+»)

【分析】利用二次函数单调性，比较对称轴与区间的位置关系即可解得实数4的取值范围是

(-OO,10]U[12,-KX>)

0-4

【详解】由题意可知，二次函数一"一8的对称轴为“一5,

10

若在（5,6）上单调递增可知”一5一，解得2410；

若“X）在6,6）上单调递减可知，一5泌，解得心12；

所以实数女的取值范围是（—』°]312，内）

故答案为：（Y°/°]U[12，+8）

5（0,3）

f0<2x<8

【分析】由函数"力的定义域可知18-2,>0,解出x的取值范围，即可得到函数g（x）的定义域.

g（v）—

【详解】解：函数“力的定义域为（°阴，

2x<8〃2x)

0<g（x）=4^X

8-2’>0,解得0<x<3,即函数，8-2、的定义域为（°，3）.

故答案为：（°3

4〃+6

16.3

【分析】根据题意可设函数'"一3"一"的对称中心为（“力），由/（*+"）一”为奇函数代入化简即可得

4

f（X4-1）+f（~X+1）=---

其对称中心为;利用对称中心可知3,分组计算可得

+1)+/(-〃+2)+…+〃0)+/(1)+…+/(〃+2)=一^^

【详解】设函数、""=针r的对称中心为（区”

根据题意可知f（x+"）-0为奇函数，

322

即/（x+a）-Z?=；（x+a），一（x+a）2=^x+（a-l）x+（«-2a）2

x+-1a3-a-b1

3为奇函数,

"1=0。=1

32b=_2

-a-a-b=O5;所以/（*）的对称中心是

可得3,解得

即可知尸小+鸿为奇函数，所以小+泻+/5>l=°,即/（金+〃一川）/

因此“一〃）+/（—九+1）+〃一〃+2）+…+”0）+/⑴+…+/（〃+2）=

11

卜(_”)+/(〃+2)]+["-”+1)+/(〃+1)]+〃T+2*..+[〃0)+/(2)]+"1)=

41\24/2+6

=—(zn+1)—=---------

3、,33.

/(-«)+./(-«+l)+/(-«+2)+---+/(O)+/(1)+-•-+/(n+2)=-^-1^

所以3.

故答案为：I3.

13

17.(1)2(2)3

【分析】(1)根据指数幕运算求解；

JL_1

,o—]2—2

(2)根据e+“，。+"，。+”之间的平方关系运算求解.

(2)因为.+/5=3,则4+«T+2=9,可得a+〃T=7,

♦+才2+1_+_72-1_3

所以Q+QI+2CIa1+27+23

18.⑴AR],8=(T，2),2⑷5)=S，T)U[2,同⑵[1,3]

【分析】(1)根据指数函数单调性求集合A,利用一元二次不等式求集合B,再根据集合的交集和补集

运算求伞.B)；

(2)整理可得(X—2)(x-〃?)<0,分类讨论加与2的大小关系，解不等式，结合题意分析求解.

2

【详解】⑴由题意可得：4={"'3"27}=[1,3],B={X|-X+X+2>0)=(-1,2)；

所以AB=[l,2),6(AI3)=(­T)U[2,M)

(2)由(1)可知：C[A=[1,3],

_

-mx<2x-2m;gp(-V2)(x-/n)<0,

令(x-2)(x-㈤=0,解得*=2或x="j

若机=2,则不等式的解集C=0,满足题意；

若加>2,则不等式的解集C=(Z加),则2<加43；

12

若加<2,则不等式的解集C=(九2),则14机<2；

综上所述：实数m的取值范围为0J].

19.(1)(〃+⑹(八/卜3+网>证明见解析.⑵函数“X)的最大值为4.

【分析】(1)利用作差法可得出⑹('+])与(℃+””的大小关系；

(2)利用(1)中的结论可得出[""I'(l+l)(3r+5+x),由此可求得/(x)的最大值

【详解】⑴解：(。2+从解+/)2(的+")[理由如下：

(以2+fe2)(c2+J2)-(ac+M)2=(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)-(a2c2+2abcd+b2d2)

=a2d2—2abcd+b2c2=(ad-be)2>0

当且仅当〃=历时，等号成立.

⑵解：因为小)=心+际20,

则[〃x)]2=(l->/r^+l.>/my4(l+l)(3-x+5+x)=16即〃x)44

当且仅当3-x=5+x时，即当户-1时，等号成立，

因此，函数/(X)的最大值为4.

WA

20.(1)23；点P在BD中点时，四边形WN面积S取最大值2.

3

(2)点P在BD中点时，四边形AMPN面积S取最大值5

42=1

【分析】(1)根据相似三角形可得23，结合基本不等式求最值；

上+上…力士上=2户

(2)利用基本不等式可得A。AB、ADAB'6,由此可求出四边形AMPN的面积的最大

值.

【详解】（1）在矩形A8CO中，PM1AB,PN~AD,

PM//AD,PNHAB,yAB=3,AD=2,

yDPxy,

—x=BP-=一+±二]

2BD,3BD,：,23,

2+2=1"叵=2回<2

因为x,y>0,所以23V23、6,所以》-2,

13

xy1i3

—x=l,y=—

当且仅当232取等号，此时.2点p在BD中点，

2

即点P在BD中点时，四边形40PN面积S取最大值5.

—x工।—丁=一1

（2）由⑴可知AOAB,

因为x，y>°,所以而+而一出4茄,茄一2石,所以孙s',

xy1ADAB

———：———x——>y=—

当且仅当A。AB2取等号，此时2-2点p在BD中点,

3

即点P在BD中点时，四边形4WPN面积S取最大值2.

f[x}=-x+—12a,+<»)

21.(1)X(2)，"=-1(3)L>

【分析】（1）根据偶函数的定义分析求解；（2）根据函数单调性的定义分析求解；

2<

（3）利用换元法令，=e*-er>°,原题等价于：存在‘«°，田），使得不等式‘+：一”成立，根据存在

性问题结合基本不等式运算求解.

f（x]=x一■-

【详解】（1）当机=1时，.X,

f（-x]=-x———=-x+—

当XV。时，则一%>0,可得一1X,

因为“X）为偶函数，所以"X）="T）=T+（,即当*W（-8,0）时，“加T+嚏.

（2）任取与々e（°」），且玉<W,

（占一天）（%々+加）

/(%)一/(动=^，-―-x2~—

则v\xi)x}x2

因为y=〃x）在（0,1）上单调递减，则。<玉<三<1,且“办）一/（超）>°,又3一々<°,。<玉々<1,

可得不々+“<0恒成立，即〃?<-x也恒成立，所以64—1：

同理：若丁=/（力在爪+8?上单调递增，可得，心一1；

综上所述：，〃=T.

（3）由⑵可知小旧，贝尸『+2,

因为函数y=Hy=-e-v在（°，y）上单调递增，

则、=6'-尸在（0,+8）上单调递增，且yk°=0,可得e'_e*>0,

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4-?=ev-e-t>0,则(型？+="+,

2

2

对于不等式?葭)，Bpt+2<at,可得,T",

r+l<a

可知原题等价于：存在’4QE),使得不等式+：一“成立，

tH—22、，•-=2A/2t――I—

又因为»'»，当且仅当t,即：=12时，等号成立，

所以。之20,即实数a的取值范围为卜"内).

_27

22.(1)/(幻=2/+犬+1⑵帆=6,g(x)的最小值为8(3)〃=一1或"=-2,’2

【分析】(1)直接代入函数解析得到2奴-。+1=叙-1,从而求出。的值，即可求出函数解析式；

(2)由(1)可得g(x)=2x2+(l-%)x+l,分4-5和4>5两种情况讨论，求出加的值，从而求

出且⑺的最小值；

厂+_t=pih(x\—x~—x-hA.4ri14之—

(3)首先求出A,令1+〃="2，则-2,再分工

A<—<丸+〃2+,<—

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