全等三角形（教师版）-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步讲义（浙教版）

第4课全等三角形

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学习目标

1.理解全等三角形及其对应边、对应角的概念;能准确辨认全等三角形的对应元素.

2.掌握全等三角形的性质;会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.

极知识精讲

冷

军、知识点01全等图形

全等图形：能够完全重合能够完全重合的两个图形叫做全等图形.

望、知识点02全等三角形相关概念

1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

2.对应项点，对应边，对应角定义

两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

要点诠释：

在写两个三角形全等时，通常把_对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角

如下图，AABC与4DEF全等，记作AABC丝ADEF,其中点A和点D,点B和点E,点C和点F是

对应顶点；AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边;ZA和ZD,ZB和ZE,ZC和ZF是对应角.

2.找对应边、对应角的方法

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边，

(2)全簧三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

(3)有公共边的，公共边是对应边；

(4)有公共角的，公共角是对应角；

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；

(6)两个金等三角彩中一对量长的边(或最大的角)是对应边(或角),一对最短的边(或最小的角)

是对应边(或角),等等，

拿知识点03全等三角形的性质

全等三角形的性质：全等三角形的对应边，对应角相等

能力拓展

考点01全等图形

【典例1］下列图形是全等图形的是（）

【思路点拨】根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断.

【解析】解：4两个图形不全等，错误；

8、两个图形不全等，错误；

C、两个图形不全等，错误；

。、两个图形全等，正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了全等图形的定义，是基础题，比较简单，准确识图即可.

【即学即练1】观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（）

②

3

A.3组B.4组

【思路点拨】根据全等图形的定义进行判断即可.

【解析】解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形,

故选：B.

【点睛】考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大.

考点02全等三角形的相关概念

【典例2】如图，AABC^ACDA,ZBAC=ZDCA,则的对应边是（)

D.AC

【思路点拨】根据全等三角形的性质进行判断即可.

【解析】解：:△ABC纟△CDA,ZBAC=ZDCA,

J.BC^AD,

：.AD的对应边为BC,

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.

【即学即练2】△ABCg△BA。，A和8、C和。是对应点，/CAB的对应角是（）

A.ZDABB.ZDBAC.ZDBCD.ZCAD

【思路点拨】画出图形，根据全等三角形的性质得出即可.

【解析】解:

:△ABCdBAD,A和2、C和。是对应点，

：.ZCAB=ZDBA,

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等.

考点03全等三角形的性质

【典例3】如图，△ABE经△QCE,点E在线段上，点尸在C。延长线上，ZF=ZA,求证：AD//BF.

【思路点拨】根据△ABE四△£＞（?£得到/A=NADC,然后利用//=NA得到NB=/EDC,利用同位

角相等，两直线平行证得结论.

【解析】证明：:△ABE纟△OCE,

/.ZA=ZADC,

；NF=NA,

/.NF=AEDC,

C.AD//BF.

【点睛】考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等，难度不大.

【即学即练3】如图，△ABCgZkQEF,点A对应点。，点8对应点E,点8、F、C、E在一条直线上，Z

A=85°,NE=50°,AB=4,EF=6.

（1）求NACB的度数；

（2）求AC边的取值范围.

【思路点拨】（1）根据全等三角形的性质得到/B=NE=50°,根据三角形的内角和定理即可得到结

论；

（2）根据全等三角形的性质得到BC=EF=6,根据三角形的三边关系即可得到结论.

【解析】解：（1）；Z\ABC注ADEF,

：.ZB=ZE=50°,

VZA=85°,

：.ZACB=1800-ZB-ZA=45°；

(2)•；AABC空ADEF,

:・BC=EF=6,

•・・A8=4,

A6-4<AC<6+4,

・・・AC边的取值范围为：2VAeV10.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角

形的性质定理是解题的关键.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.下列四组图形中，与如图图形全等的是（）

【思路点拨】认真观察图形，根据全等形的定义，能够重合的图形是全等形，可得答案.

【解析】解：A、与已知图形不能重合，故此选项不合题意；

8、与已知图形能完全重合，故此选项符合题意；

C、与已知图形不重合，故此选项不合题意；

。、与已知图形不重合，故此选项不合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查的是全等图形，属于较容易的基础题，做题时要认真观察图形，同时还要想到是否能

够重合.

2.如图所示，△ABC经△CD4,且AB与C。是对应边，那么下列说法错误的是（）

1

B

A./I与/2是对应角B.NB与/。是对应角C.BC与AC是对应边D.AC与CA是对应边

【思路点拨】根据全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等解答.

【解析】解：•.,△ABC丝△CD4,

；.A、/I与/2是对应角，正确，不符合题意；

B、与ND是对应角，正确，不符合题意；

C、与ZM是对应边，故错误，符合题意；

D、AC与C4是对应边，正确，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是

解题的关键.

【思路点拨】根据△A2C段从而推出对应角相等求解.

【解析】解：:,△ABC纟△DEF,

/.ZA=ZD=30°,ZB=Z£=80°,ZC=ZF,

,：ZD+ZE+ZF=180°,

:.NF=70°.

故选：B.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，对应边相等.

4.如图，已知纟RtZ\CDB,则/AZ)8+/C=()

D.无法确定

【思路点拨】利用全等三角形的性质求得/A的度数，然后利用直角三角形的性质求得答案即可.

【解析】解：VRtAABD^RtACDB,

，NC=NA,

ZADB+ZC=ZADB+ZA=90°,

故选：C.

【点睛】考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等，难度不大.

5.如图，AB,C。相交于O,△0CA纟△03。，49=6,3。=4,则CZ）的长为（）

【思路点拨】直接利用全等三角形的性质得出AO=OO=6,CO=BO=4,进而得出答案.

【解析】解：•.,△OCA丝△08。，AO=6,BO=4,

：.AO=DO=6,CO=BO=4,

：.DC=DO+CO=6+4=10.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边关系是解题关键.

6.如图，△AB8ADBE,ZABC=80°,ZD=65°,则NC的度数为35°.

【思路点拨】根据全等三角形的对应角相等得到N8AC=/。，根据三角形内角和定理计算，得到答案.

【解析】解：,:△AB8ADBE,ZD=65°,

：.ZBAC=ZD=65°,

VZABC=80°,

AZC=180°-AABC-ZBAC^35a,

故答案为：35°.

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的

关键.

7.如图，AABC出ADEC,点、B,C,。在同一条直线上，且CE=2,C£)=4,则BD的长为6

A

/E

【思路点拨】根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可.

【解析】解：；△ABC/ADEC,CE=2,CD=4,

:.BC=CE=2,

：.BD=BC+CD=4+2=6,

故答案为：6.

【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应边相等解答.

8.如图，AB,CD相交于点O,AAOB^ADOC,且乙4=80°,ZDOC=30°,8。=23,AO=18,求/

DCO的度数和BD的长度.

【思路点拨】根据三角形全等的性质和三角形内角和可以解答本题.

【解析】解：vAAOB^ADOC,/A=80°,OA=18,BO=23,

：.ZD=ZA=SO°,DO=AO=1S,

：.ZDCO=1SO°-ZD-ZDOC=180°-80°-30°=70°,

.,.80=80+00=23+18=41,

即NQCO=70°,BD的长度是41.

【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件，利用数形结合的思想解答.

9.如图，△ABC出LADE,AC和AE,AB和4。是对应边，点E在边BC上，A8与。E交于点

(1)求证：ZCAE^ZBAD；

(2)若N8AO=35°,求N8E。的度数.

【思路点拨】（1）根据全等三角形的性质得出NBAC=NZME,再求出答案即可；

（2）根据全等三角形的性质得出根据对顶角相等和三角形内角和定理得出

ZD+ZBAD+ZAFD=180°,ZB+ZEFB+ZBED=180°,求岀/BE£>=NBA。即可.

【解析】（1）证明：:△ABC四△AOE,

ZBAC=ZDAE,

：.ABAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE,

：.ZCAE=ZBAD；

（2）解：VAABC^AADE,

：.ZD=ZB,

VZAFD=ZEFB,ZD+ZBAD+ZAFD=1?,O°,ZB+ZEFB+ZBED=180°,

：.ZBED=ZBAD,

'：ZBAD^35°,

：.ZBED=35°.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键,

注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等.

题组B能力提升练

10.如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（）

【思路点拨】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，图形重合的是全等形，不重合的不是全等形,

进行判断.

【解析】解：根据四个图片可以看出C选项中图形与其他三个不同,

故选：C.

【点睛】本题考查了全等形的概念，判定是不是全等形主要看图形是不是能够重合.

11.如图，AADF出LCBE,有以下结论：®AF=CE；②/1=/2；③BE=CF；®AE=CF.其中正确的

B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】根据全等三角形的性质结合全等三角形得出对应边以及对应角即可.

【解析】解：•.,△AO戸纟△CBE,

：.@AF^CE；②N1=N2；③BE=DF；®AE^CF,故只有③错误.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，根据题意得出对应点点是解题关键.

12.如图，已知厶人?'纟△ACM,则下列结论不正确的是（）

A.NB=NCB./BAM=/CANC./AMN=/ANMD./AMC=/BAN

【思路点拨】根据全等三角形的对应角相等判断即可.

【解析】解：A、:△ABN四△ACM,

ZB=ZC,本选项说法正确，不符合题意；

B、,:AABN沿AACM,

：.ZBAN=ZCAM,

：./BAN-NMAN=ZCAN-/MAN,

ZBAM=ZCAN,本选项说法正确，不符合题意；

C、:△ABN纟△ACM,

/.ZAMN=ZANM,本选项说法正确，不符合题意;

D、V/\ABN^/\ACM,

ZAMC=ZANB,本选项说法错误，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.

13.如图，已知△ABC纟△•DBE,ZA=36°,ZB=40°,则的度数为76°.

【思路点拨】根据全等三角形的性质得到NA=ND=36°,根据三角形的外角的性质即可得出答案.

【解析】解：；△ABCgADBE,

，—。=36°,

,/ZAED是△BDE的外角，

ZAED=ZB+ZD=400+36°=76°.

故答案为：76。.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.

14.一个三角形的三边为2、4、无，另一个三角形的三边为y、2、5,若这两个三角形全等，则x+y=9

【思路点拨】根据全等三角形的性质得出x=5,y=4,再代入x+y求出答案即可.

【解析】解：•••一个三角形的三边为2、4、x,另一个三角形的三边为y、2、5,两三角形全等，

'.x—5,y=4,此时x+y—9,

故答案为：9.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的对应边相等是解此题的关键.

15.如图，点A、B、C、。在同一直线上，AACE^ADBF,AD=8,BC=2.

(1)求AC的长；

(2)求证：CE//BF,AE//DF.

【思路点拨】(1)根据全等三角形的对应边相等解答即可;

(2)根据全等三角形的对应角相等和平行线的判定解答即可.

【解析［解：(1)；AACE咨ADBF,

J.AC^DB,

"：AC+BD=AD+BC,

：.2AC=AD+BC,

VAD=8,BC=2,

.•.2AC=8+2=10,

：.AC=5；

(2)V

AZECA=ZFBD,ZA=ZD,

J.CE//BF,AE//DF.

【点睛】此题主要考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等解答.

16.如图，AACF^ADBE,/E=NF,若A£>=11,BC=7.

(1)试说明AB=CD

(2)求线段AB的长.

【思路点拨】(1)根据全等三角形对应边相等可得AC=Q8,然后推出AB=CD,

(2)代入数据进行计算即可得解.

【解析】解：(1),:4ACF丝ADBE,

：.AC=DB,

:.AC-BC=DB-BC,

即AB=CD

(2)：AO=11,BC=7,

：.AB=1-CAD-BC)=-Lx(11-7)=2

22

即AB=2

【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据图形以及全等三角形对应顶点的字母写在对应

位置上准确找出AC、是对应边是解题的关键.

题组C培优拔尖练

17.已知△A8C纟△OERAB=2,AC=3,若△。所周长为偶数，则EF的取值为（）

A.2或3或4B.4C.3D.2

【思路点拨】因为两个全等的三角形对应边相等，所以求的长就是求BC的长.

【解析】解：•..AB：2,AC=3,

/.3-2<BC<3+2,

：.1<BC<5.

若周长为偶数，BC也要取奇数所以为3.

AABgADEF,

C.AB^EF,

的长也是3.

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，以及三角形的三边关系.

18.△ABC中，NB=/C,若与AABC全等的三角形中有一个角是92°,则这个角在△ABC中的对应角

是（）

A.ZAB.NA或/BC.ZCD.NB或/C

【思路点拨】根据三角形内角和定理和已知得出和/C必须都是锐角，根据全等三角形的性质得出

即可.

【解析】解：•.•在△A8C中，ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

和NC必须都是锐角，

若与△A2C全等的一个三角形中有一个角为92°,那么92°的角在△口□□中的对应角一定是NA,

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质进行推理

是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等.

19.如图，在2X2的方格纸中，N1+/2等于（

C.120°D.150°

【思路点拨】标注字母，然后利用“边角边”求出AABC和△DE4全等，根据全等三角形对应角相等可

得N2=N3,再根据直角三角形两锐角互余求解.

【解析】解：如图，在△ABC和△£>£?1中，

fAB=DE

>ZB=ZAED=90°，

BC=EA

.♦.△ABC纟△DEA(SAS)，

；./2=/3,

在RtzXABC中，Nl+N3=90°,

.,.Z1+Z2=9O°.

【