高中数学 幂函数 知识点精讲及重点题型训练

3.3幕函数

❽知识导图

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0桌函数-

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事函数与二次函数

!二次函数

•知识点精讲

重难点暴函数

(1)幕函数的定义

一般地，形如的函数称为基函数，其中x是自变量，a为常数.

(2)常见的5种暴函数的图象

(3)募函数的性质

①幕函数在(0,十℃)上都有定义；

②当a>0时，塞函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当a<0时，幕函数的图象都过点(1,1),且在(0,+oo)上单调递减.

重点题型

重难点题型突破1求幕函数的解析式

嘉函数的解析式是一个累的形式，且需满足：

（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.

例1.（1）、（2022•江苏•无锡市教育科学研究院高二期末）已知幕函数＞=/（无）的图像过点，,字］,则〃16）=

A.—B.—C.—4D.4

44

【答案】B

【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再代入计算可得；

【详解】解：设/（x）=x",依题意/（2）=2。=苧=2U，所以。=一5，

所以所以/（16）=162=（不）2="

故选：B

（2）.（2022秋•云南曲靖•高一校考期末）己知幕函数/（x）=（k+2）x”的图象过点（2,：,则左-a的值为

（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】C

【分析】根据幕函数定义求得也再根据图象过的点求得即可得答案.

【详解】由题意〃x）=（左+2）x。是幕函数，则后+2=1,;"=-1,

即=X。，将（2,£|代入可得2a=1,.-.«=-1,

故左一a二0,

故选：C

【变式训练1-1】、（2022•江苏•扬州中学高二阶段练习）若塞函数=的图象经过点倒,亚可，则函数

〃x）的解析式是（）

4I

A.=/

_42

C・=D./(%)=/

【答案】A

【分析】根据嘉函数/(x)=x"的图象经过点(2,标)求解.

【详解】解：因为募函数〃x)=x"的图象经过点(2,游)，

4,4

所以”=2"，解得。=§，

4

所以/(X)=户.

故选：A)

【变式训练1-2】、(2023•全国•高三专题练习)(多选题)已知幕函数〃x)的图象经过点(2,收)，则()

A./(x)的定义域为［0,+“)B./(x)的值域为乩+。)

C.是偶函数D.“X)的单调增区间为［0,+功

【答案】ABD

【分析】根据已知条件求出幕函数/(x)的解析式，然后利用幕函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选

项.

【详解】设〃x)=/(aeR),则〃2)=2"=正，可得。=；,则/卜)=£=6，

对于A选项，对于函数=有x20,则函数/(x)的定义域为［0,+功，A对；

对于B选项，/(x)=V^>0,则函数/(x)的值域为［0,+功，B对；

对于C选项，函数/(x)=«的定义域为［0,+s),定义域不关于原点对称，

所以，函数为非奇非偶函数，C错;

对于D选项，的单调增区间为［0,+司，D对.

故选：ABD.

重难点题型突破2悬函数的图像及其性质的应用

累函数的图像及其性质的应用

1.寝函数的图象与性质，由于a值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

①a的正负：当a>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当a<0时，图象不过原点，在第一象限

的图象下降，反之也成立.

②幕函数的指数与图象特征的关系

当今0,1时，塞函数产球在第一象限的图象特征如下:

aa>l0<«<1a<0

a；片Vk

图象1

()\17?|ixi士

特殊点过(0,0),(1,1)过(0,0),(1,1)过(1,1)

凹凸性下凸上凸下凸

单调性递增递增递减

尸2

举例y=x2y=x—1、y=x92

例2.（1）、（2023秋•辽宁葫芦岛•高一校考期末）（多选题）已知哥函数/（X）在（-8,0）上单调递减，则/（X）

的解析式可能为（）

A./（x）=1B.f（x）=x3C.=fD./（x）=x2022

【答案】ACD

【分析】根据暴函数的单调性即可求解.

【详解】幕函数〃x）=J/（x）=x2,〃x）=/°22均在（一巩0）上单调递减，

募函数〃x）=d在（_巩0）上单调递增.

故选：ACD.

（2）.（2023・全国•高三专题练习）如图，下列3个幕函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）

A.[B.l,②y=

@y=X~,®y=x2,（S）y=x3®y=X~（S）y=x2

C.®L®^③y=xTD.①u=G，®y=x~\③u—C

Vy=*X/vyv=jvxy人y人

【答案】A

【分析】根据指函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.

【详解】由函数>!是反比例函数，其对应图象为①；

函数了=苫3=«的定义域为（°，+6），应为图②；

因为了=）的定义域为R且为奇函数，故应为图③.

故选：A.

【变式训练2-1】、（2023•高一课时练习）函数y=（x-iy在（-叫⑼上是减函数，则加的取值范围

是.

【答案】（-8,1]

【分析】依题意函数y=（x-l）4是由》=/向右平移1个单位得到，再由幕函数的性质判断了=尤4的单调性,

即可得到y=（x-1）4的单调性，从而求出参数的取值范围.

【详解】因为函数y=（x-l）4是由y=/向右平移1个单位得到，

函数了=，为偶函数，且函数在（0,+。）上单调递增，则在（-。⑼上单调递减，

所以函数y=（x-l）4在（L+⑹上单调递增，则在上单调递减，

又函数y=（x-l）4在（-巩M上是减函数，所以“£1,即机的取值范围是（-叫1].

故答案为：（-8,1]

【变式训练2-2】、（2023•全国•高三专题练习）给定一组函数解析式：

3232311

@y=;②>=③®y=x;⑤）二l5；⑥>=%]；⑦y=

如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是（）

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

【答案】C

【分析】根据暴函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.

【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故y一尤T满足；

y-x

2

图象（2）关于丁轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故y=满足；

图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故了满足；

2

图象（4）关于丁轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故＞满足；

1

图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故丫_/满足；

图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随x增大递减，故了=«满足;

3

图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随x增大递增，故丫一工?满足;

y-A

故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.

故选：C

2.利用基函数的单调性比较暮值大小的技巧：

结合暴值的特点利用指数嘉的运算性质化成同指数累，选择适当的募函数，借助其单调性进行比较.

例3.(1)、(2023•全国•高一专题练习)已知幕函数［(x)的图象过点(2,32),若++>0,贝

的取值范围为()

A.(2,+co)B.(1,+co)C.(0,+(»)D.(-l,+°o)

【答案】C

【分析】利用待定系数法求出幕函数的解析式，可得其为奇函数，且在R上单调递增，/(«+1)+/(-1)>0

可转化为〃根据单调性即可求解.

【详解】设幕函数V=/(》)=x",其图象过点(2,32),所以2a=32,解得c=5,

所以f(x)=x5.

因为y(_x)=(T)5=_/(x),所以/(力=，为奇函数,且在R上单调递增，

所以/(4+1)+/(-1)>0可化为+=

可得。+1>1,解得。>0,所以。的取值范围为(0,+。).

故选:C.

(2).(2020•全国高一专题练习)下列关系中正确的是

【答案】D

【分析】

利用指数函数的单调性和赛函数的单调性比较即可.

【详解】

/、X1/

因为是单调递减函数，1<|,所以

211

因为幕函数了=工3在(0,+8)上递增，-<-；

即电—，故选D

【点睛】

同底指数幕比较大小常用的方法是利用指数函数的单调性，不同底数指数幕比较大小一般应用事函数的单

调性.

【变式训练3-1】、(2019•江西九江•高二期末(理))设"=ee,b=-c=e^,则。也c大小关系是

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】c

【分析】

由幕函数的单调性可以判断出。力的大小关系，通过指数函数的单调性可以判断出a，c的大小关系，比较仇C

的大小可以转化为比较eln兀与兀的大小，设/(x)=elnx-x求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可

以判断出eln兀与兀的大小关系，最后确定三个数的大小关系.

【详解】

7Ie

解:由累函数和指数函数知识可得7te>ee,e>e,即c>a.

下面比较瓦c的大小,即比较eln兀与兀的大小.设〃x)=elnx-x,则/8)==，

在(0,e)上单调递增，在(e,+00)上单调递减，

/(e)>/(7t),gpelne-e>elnjt-Tt,即eIn兀<兀,

■<兀,即c>b,即c>6>a,故选C.

【点睛】

本题考查了幕函数和指数函数的单调性，通过变形、转化、构造函数判断函数值大小是解题的关键.

22

【变式训练3-2】、(2022秋・湖南郴州•高一安仁县第一中学校考阶段练习)若(〃?+1尸<(3-2机>，则加的取

值范围是.

【答案】(一°°，|JU(4,+8)

【分析】根据题意，由基函数的性质列出不等式，求解即可得到结果.

【详解】函数丫一蓝为偶函数，且当X>0时，单调递增，

则(m+1)3<(3-2mY可得|加+[<|3-2时,

2

解得根或机>4

即加的取值范围是1=°,|)口(4,+00)

故答案为：

重难点题型突破3易函数型复合函数

例4.(2022秋•山西高一校联考阶段练习)己知哥函数〃x)=(苏一加一11卜1在(0,+◎上是减函数，meR.

⑴求/(x)的解析式；

⑵若(3_0)±>(3。-1)上，求实数。的取值范围.

【答案】(l)/(x)=4

(2)1<a<3

【分析】(1)根据幕函数的定义和单调性进行计算；(2)结合(1)中的参数，根据嘉函数的单调性和定义

域计算.

7/?2-—11—1

一一,

{m-l<0

解得m=-3,于是/(x)=%-4

(2)根据幕函数的单调性，/在定义域(0,+8)上单调递减，

由(3-〃)於>(3a-1)^o(3-a尸>(3a-Ip，

即h(3-a)>h(3a-1),于是0<3-。<3〃一1,

解得l<a<3