2024届天津市蓟县名校九年级数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

2024届天津市蓟县名校九年级数学第一学期期末教学质量检测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，五边形"CDE内接于一。，若NC4D=35°,则N3+NE的度数是（）

A.210°B.215°C.235°D.250°

2.二次根式J工与中，x的取值范围是（）

A.x>3B.x>3C.x<3D.x<3

3.如图，点A,B,C在。O上，NA=50°,则NBOC的度数为（）

5.如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=8,过对角线交点。作砂_LAC交AO于点E，交.BC于苴F,则OE

的长是（）

Afr-------，D

B

712

A.1D.—

45

NB=70。，AB=3,以AO为直径的。。交CZ）于点E,则弧OE的长为（

274

-7T—nD.—7T

3363

7.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1,贝!JtanNBAC的值为（)

A/3

A.RD.百

23

8.方程（x+1）2=4的解是（)

A.C•Xi=-1,Xz=lD.Xi=l,Xz~3

C3

9.如图，在RjABC中，NACB=90°,CD1AB,垂足为点O,如果/出江二^，4）=9,那么BC的长是（）

L丛CDB,

c.2V13D.3回

10.如图，在AABC中，过点A作射线AD〃BC,点D不与点A重合，且AD^BC,连结BD交AC于点O,连结CD,

设AABO、AADO、ACDO和ABCO的面积分别为：9.和：，则下列说法不正确的是（）

A.

S>=5$

D.

11.如图，把一个直角三角板AACB绕着30。角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接

CD,则NBDC的度数为（）

O

A.15°C.25°D.30°

12.已知函数y=&的图象经过点（2,3）,下列说法正确的是（

A.y随x的增大而增大B.函数的图象只在第一象限

C.当x<0时，必y<0D.点（-2,-3）不在此函数的图象上

二、填空题（每题4分，共24分）

13.P是等边AABC内部一点，NAPB、NBPC、NCPA的大小之比是5：6：7,将AABP逆时针旋转，使得AB与

AC重合，则以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角NPCQ：ZQPC：ZPQC=.

14.反比例函数y=—的图象分布在第一、三象限内，则k的取值范围是

15.若二次函数产M+Zur+c（W0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0,1）和（-1,0）.则5="+）+<；的值的变

化范围是.

16.如图，在平面直角坐标系中，四边形OAibiG,AxAzBzCi,A2A353C3,…都是菱形，点4,A2,A3,…都在x轴

上，点G,C2,C3,…都在直线y=^x+@上，且NGQ4i=NC241A2=/j243=〜=60。，04=1,则点。6

33

的坐标是一.

17.已知关于x的方程(左一2)%2一%+1=0有两个不相等的实数根，则攵的取值范.

18.如图是一个圆锥的展开图，如果扇形的圆心角等于90。，扇形的半径为6cm,则圆锥底面圆的半径是<

三、解答题(共78分)

19.(8分)阅读理解：

如图，在纸面上画出了直线1与0O,直线1与。O相离，P为直线1上一动点，过点P作。O的切线PM,切点为M,

连接OM、OP,当AOPM的面积最小时，称AOPM为直线1与。O的“最美三角形”.

解决问题：

(1)如图1,0A的半径为1,A(0,2),分别过x轴上B、O、C三点作(DA的切线BM、OP、CQ,切点分别是M、

P、Q,下列三角形中，是x轴与。A的“最美三角形”的是.(填序号)

®ABM；②AOP；(3)ACQ

(2)如图2,OA的半径为1,A(0,2),直线y=kx(k#)与。A的“最美三角形”的面积为求k的值.

(3)点B在x轴上，以B为圆心，百为半径画。B,若直线y=J5x+3与。B的“最美三角形”的面积小于正，

2

请直接写出圆心B的横坐标XB的取值范围.

----------*-----------------------■]

*一♦

20.（8分）小明手中有一根长为5cm的细木棒，桌上有四个完全一样的密封的信封.里面各装有一根细木棒，长度分

别为：2、3、4、5（单位：cm）.小明从中任意抽取两个信封，然后把这3根细木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角

形的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

21.（8分）已知关于x的一元二次方程o?+法+_L=o.

2

（1）若x=l是方程的一个解，写出。、匕满足的关系式；

（2）当。=。+1时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（3）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的。、。的值，并求出此时方程的根.

22.（10分）期中考试中，A,B,C,D,E五位同学的数学、英语成绩有如表信息：

ABCDE平均分中位数

数学7172696870——

英语8882948576——

（1）完成表格中的数据;

（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分=（个人成

绩-平均成绩）+成绩方差.

从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？

23.（10分）一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，

记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的

球都是黄色的概率.

24.（10分）关于X的一元二次方程办2+陵+。=0（。>0）有两个不相等且非零的实数根，探究C满足的条件.

小华根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度研究一元二次方程的根矽行巧。下面是小华的探究过程：第一

步：设一元二次方程<XV2+bx+c=0（a>0）对应的二次函数为y=ax2+hx+c（a>0）；

第二步：借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次方程中。，4c满足的条件，列表如下表。

方程两根的情况对应的二次函数的大致图象满足的条件

ka>0,

△=〃-4ac>0,

V

方程有两个不相等的负实根上<0,

2a

c>0.

ci>0,

①_______\

%-Lc<0.

方程有两个不相等的正实根②___________________③______________________

（1）请将表格中①②③补充完整；

（2）已知关于X的方程f一（2攵-1）%+42一%=0,若方程的两根都是正数，求上的取值范围.

25.（12分）某商场经销一种布鞋，已知这种布鞋的成本价为每双30元.市场调查发现，这种布鞋每天的销售量y（单

位：双）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=-x+60（30<xW60）.设这种布鞋每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数解析式；

（2）这种布鞋销售单价定价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

26.某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/kg,市场调查发现，在一段时间内该产品每天的

销售量W（kg）与销售单价x（元/kg）有如下关系：W=-2x+80,设这种产品每天的销售利润为m元）.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少？

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、B

【分析】利用圆内接四边形对角互补得到NB+NADC=180°,NE+NACD=180°,然后利用三角形内角和求出NADC

+ZACD=180°-ZCAD,从而使问题得解.

【详解】解：由题意：ZB+ZADC=180",ZE+ZACD=180"

AZB+ZADC+ZE+ZACD=360°

又ZC4E>=35°

.,.ZADC+ZACD=180°-ZCAD=180°-35°=145°

.,.ZB+ZE+1450=360°

.*.ZB+ZE=215°

故选：B

【点睛】

本题考查圆内接四边形对角互补和三角形内角和定理，掌握性质正确推理计算是本题的解题关键.

2、A

【解析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数解答即可.

【详解】是二次根式，

Ax-3>0,

解得x>3.

故选A.

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件.熟记二次根式的被开方数是非负数是解题关键.

3、D

【分析】由题意直接根据圆周角定理求解即可.

【详解】解：•••NA=50°,

.•.ZBOC=2ZA=100°.

故选：D.

【点睛】

本题考查圆周角定理的运用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

4、B

【解析】先根据Nl=35°，求出NQAB的度数，再由。即可得出答案.

【详解】解：4=35°，

•••NQA3=N1=35°.

OA±OB,

Z2=/OBA=90°-NOAB=55°.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键.

5、B

【分析】连接CE,由矩形的性质得出NADC=90，CD=AB=6,AD=BC^8,OA^OC,由线段垂直平分

线的性质得出AE=CE,设DE=x,则CE=AE=8—x,在RtACDE中,由勾股定理得出方程，解方程即可.

【详解】如图：连接CE,

•四边形ABCD是矩形，

ZADC—90，CD=AB=6，AD—BC—8，OA=OC,

•••EFA.AC,

:.AE=CE,

设。E=x,则CE=A£=8-x,

在RfACDE中,由勾股定理得：X2+62=（8-X）2,

故选B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关

键.

6、A

【分析】连接OE,由菱形的性质得出NO=NB=70。，AD=AB=3,得出04=00=1.5,由等腰三角形的性质和三

角形内角和定理求出NOOE=40。，再由弧长公式即可得出答案.

【详解】连接0E,如图所示：

••・ND=NB=70。,AD=AB=39

OA=0D=1.5,

•：OD=OE,

:・NOED=ND=70。,

：.NDOE=180。-2x70°=40°,

,,"40)xl.51

/.DE的长=---------=一兀.

以1803

故选:A.

【点睛】

此题考查菱形的性质、弧长计算，根据菱形得到需要的边长及角度即可代入公式计算弧长.

7、B

【分析】连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长，利用勾股定理的逆定理得到AABC为等腰直角三角形，即可求出

所求.

【详解】如图，连接BC,

由网格可得AB=BC=6，AC=V10»BPAB2+BC2=AC2,

.•.△ABC为等腰直角三角形,

.•.ZBAC=45°,

贝!]tanZBAC=l,

故选B.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

8、B

【解析】利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案.

【详解】(x+1)2=4

则x+l=±2,

解得：xi=T-2=-3,X2=-1+2=1.

故选B.

【点睛】

此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键.

9、C

【分析】证明AADCsaCDB,根据相似三角形的性质求出CD、BD,根据勾股定理求出BC.

【详解】VZACB=90°,

.•.ZACD+ZBCD=90°,

VCD±AB,

.•.ZA+ZACD=90°,

AZA=ZBCD,又NADC=NCDB,

.'.△ADC^ACDB,

.ADCDCADCAD

Ccdb-CD'

.AD393

..——=一，即——=—,

CD2CD2

解得，CD=6,

•••9一_―6，

6BD

解得，BD=4,

：,BC=yJcD2+BD-=A/62+42=2招，

故选：C.

【点睛】

此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

10、D

【解析】根据同底等高判断AABD和AACD的面积相等，即可得到；,s_=s即；.=j，同理可得AABC和

△BCD的面积相等，即-..

【详解】•••△A3。和4人。同底等高，

S+S；=S?+Sj

啊=Sj

AABC和AD3C同底等高，

=$me♦

**S+5；=S?+5；

故A,B,C正确，D错误.

故选：D.

【点睛】

考查三角形的面积，掌握同底等高的三角形面积相等是解题的关键.

11、A

【分析】根据图形旋转的性质得出AABC^^EBD,可得出BC=BD,根据图形旋转的性质求出NEBD的度数，再由

等腰三角形的性质即可得出NBDC的度数.

【详解】•..△EBD由AABC旋转而成，

.,.△ABC^AEBD,

...BC=BD,NEBD=NABC=30°,

.♦.NBDC=NBCD,ZDBC=180-30°=150°,

I、

:.NBDC=-（z180°-150°）=15°；

2

故选：A.

【点睛】

本题考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键.

12、C

【解析】•••图象经过点（2,3）,...k=2x3=6>0,；.图象在第一、三象限....只有C正确.故选C.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、3：4：2

【分析】将aAPB绕A点逆时针旋转60。得AAQC,显然有△AQCgAAPB,连PQ,可得AAQP是等边三角

形，ZiQCP的三边长分别为PA,PB,PC,由NAPB+NBPC+NCPA=36（r,NAPB:ZBPC:NCPA=5:6:7,可得

ZAPB=100°,ZBPC=120°,ZCPA=140°,可得答案.

将aAPB绕A点逆时针旋转60°得△AQC,显然有△AQCgZkAPB,连PQ,

AAQ=AP,ZQAP=60°,

・•・ZXAQP是等边三角形，

:.PQ=AP,

QC=PB,..AQCP的三边长分别为PA,PB,PC,

ZAPB+ZBPC+ZCPA=360°,ZAPB:ZBPC:ZCPA=5:6:7,

・•.ZAPB=100°,ZBPC=120°,ZCPA=140°,

・•・ZPQC=ZAQC-ZAQP=ZAPB-ZAQP=100°-60°=40°,

ZQPC=ZAPC-ZAPQ=1400-60°=80°,

ZPCQ=180°-（40°+80°）=60°,

..ZPCQ:ZQPC:ZPQC=3:4:2,

故答案为34:2.

【点睛】

本题主要考查旋转的性质及等边三角形的性质，综合性大，注意运算的准确性.

14、k>0

【详解】・・•反比例函数的图象在一、三象限，

/.k>0,

15、1<S<2

【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，得出c的值及a、b的关系式，代入S=a+b+c中消元，再根据对称轴

的位置判断S的取值范围即可.

【详解】解：将点（L1）和（-1,1）分别代入抛物线解析式，得c=La=b-19

:.S~方+c=2b9

由题设知，对称轴x=--—>0Ktz<0,

2a

又由b=a+l及a<l可知2b=2a+2<2.

A1<S<2.

故答案为：1<S<2.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，运用了消元法的思想，对称轴的性质，需要灵活运用这些性质解题.

16、(47,16百)

【分析】根据菱形的边长求得Ai、Az、A3…的坐标然后分别表示出Cl、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标.

【详解】解：TOALI,

.,.OC1=1,

...NC1OA1=NC2A1A2=NC3A2A3=…=60°,

/71

...Ci的纵坐标为：sim60°.OCi=—,横坐标为cos60°.OCi=一，

22

.•.c】d,骂，

22

•••四边形OAiBiCi,A1A2B2c2,A2A3B3c3,…都是菱形，

.,.AIC2=2,A2c3=%A3c4=8,-

...C2的纵坐标为：sin60°AIC2=G，代入y求得横坐标为2,

.,.C2(2,6),

.••C3的纵坐标为：sin60°A2c3=2j5,代入y求得横坐标为5,

.,.C3(5,2百)，

.,.C4(11,4G),Cs(23,873)»

re(47,1673);

故答案为(47,166).

【点睛】

本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长,

得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键.

9

17-.%<—且左。2；

4

【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出不等式组，求出不等式组的解集即可.

【详解】•••关于x的方程(k-1)xLx+l=0有两个不相等的实数根，

，k-l邦且△=(-1)'-4(k-1)»l=-4k+9>0,

左一200

即<，

[-4Z+A0

9

解得：kV—且醉1,

4

9

故答案为k<7且导1.

4

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式组是解此题的关键.

3

18、一

2

【分析】把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解.

【详解】设此圆锥的底面半径为r,

根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，

c90rx6

2nr=,

IHO

解得：r=3cm,

2

故答案为③.

2

【点睛】

本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长,

扇形的半径等于圆锥的母线长.

三、解答题(共78分)

19、(1)②；(2)±1；(3)2-73<^B<—<^<-2->/3

33

【分析】(1)本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角

形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题.

(2)本题根据k的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF,利用勾股定理求解AF,进一步确定NAOF

度数，最后利用勾股定理确定点F的坐标，利用待定系数法求k.

(3)本题根据。B在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定NNDB的度数，继而按照最美

三角形的定义，分别以aiiND,ZkBMN为媒介计算BD长度，最后与OD相减求解点B的横坐标范围.

【详解】(1)如下图所示：

••,PM是。。的切线,

.,.ZPMO=90°,

当。O的半径OM是定值时，PM=y/0P2-0M2，

,:SPMO=；・PM・OM，

要使必加。面积最小，则PM最小，即OP最小即可，当OPJJ时，OP最小，符合最美三角形定义.

故在图1三个三角形中，因为AO_Lx轴，故AAOP为。A与x轴的最美三角形.

故选：②.

(2)①当kVO时，按题意要求作图并在此基础作FM_Lx轴，如下所示：

按题意可得：4AEF是直线y=kx与。A的最美三角形，故4AEF为直角三角形且AF_LOF.

则由已知可得：SAEF=^AE»EF=^XIXEF=^,故EF=1.

在4AEF中，根据勾股定理得：AF=4iAE=叵.

VA(0,2),即OA=2,

,在直角△AFO中，OF=、Ol-A尸2=0=A。,

，NAOF=45°,即NFOM=45°,

故根据勾股定理可得：MF=MO=1,故F(-l,l),

将F点代入y=kx可得：上=—1.

②当k>0时，同理可得k=l.

故综上：k=±\.

(3)记直线y=J§x+3与x、y轴的交点为点D、C,则。(一百,0),C(0,3),

①当。B在直线CD右侧时，如下图所示:

在直角△COD中，有OC=3,OD=6故tan/O0C=而=百，即NODC=60。.

•••△BMN是直线y=gx+3与。B的最美三角形，

.♦.MNJLBM,BN1CD,即NBND=90。，

BN

在直角△BDN中，sinZBDN=——，

BD

优BNBN2百DM

sinZBDNsin60?3

•••OB的半径为括,

ABM=6

当直线CD与。B相切时，BN=BM=杷,

因为直线CD与。B相离，故BN>G，此时BD>2,所以OB=BD-OD>2-6.

由已知得：SRMN='♦MN・BM=」MN•坦=^~MN<B，故MNVL

BMN2222

在直角4BMN中'82时次=而/<而=2,此时可利用勾股定理算得BD（孚'

OB=BD-OD<逑一百=立，

33

贝!12-6</<且.

3

②当。B在直线CD左侧时，同理可得：一逋</<_2-G.

3

故综上：2—6<立或一拽</<一2-6.

33

【点睛】

本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分

类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，

求解几何线段时勾股定理极为常见.

【分析】根据题意画出树状图，然后结合概率的计算公式求解即可.

【详解】解：画树状图如下：

2345

AAAA

345245235234

由树状图可知，共有12种等可能结果，其中能围成三角形的结果共有10种，

所以能搭成三角形的概率为那条

14O

【点睛】

本题考查了三角形三条边的关系及概率的计算,，解题的关键是正确画出树状图，然后用符合条件的情况数，”除以所

有等可能发生的情况数n即可，即P=~.

n

21、（1）a+b+^0；（2）原方程有两个不相等的实数根；（3）a=2,b=2,玉=々=一（（答案不唯一）.

【分析】（1）把方程的解代入即可；

（2）根据根的判别式及力=。+1计算即可；

（3）根据方程根的情况得到根的判别式，从而得到力的值，再代入方程解方程即可.

【详解】解：（1）把X=1代入方程可得=0,

故a、b满足的关系式为“+人+Q=0;

（2）A=b2-4ax-=b2-2a,

2

b=a+\,

二△=（a+1）~—2a=/+2。+1—2a=a?+1>0,

•••原方程有两个不相等的实数根；

（3）•.•方程有两个相等的实数根，

：.A=h2-2a=O,即必=2a,

取a=2,b=2（取值不唯一），

则方程为2d+2XH—=0,

2

_1_

解得玉=&

2

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，解法，及根的判别式，熟记根的判别式，掌握一元二次方程的解法是解题的关键.

22、(1)70,70,85,85；(2)数学.

【分析】（1）由平均数、中位数的定义进行计算即可

（2）代入公式：标准分=（个人成绩-平均成绩）+成绩方差计算，再比较即可.

【详解】（1）数学平均分是：（x（71+72+69+68+70）=70分,

中位数为：70分;

英语平均分是：（88+82+94+85+76）=85分,

中位数为：85分；

故答案为:70,70,85,85；

(2)数学成绩的方差为：1[(71-70)2+(72-70)2+(69-70)2+(68-70)2+(70-70)2]=2；

英语成绩的方差为：|[(88-85)2+(82-85)2+(94-85)2+(85-85)2+(76-85)2]=36；

71-70_1

A同学数学标准分为:----------=-J

22

88-85_1

A同学英语标准分为:

-^612

11

因为7>二,

212

所以A同学在本次考试中，数学学科考得更好.

【点睛】

本题考查了平均数和方差的计算，正确把握方差的定义是解题关键.

4

23、

9

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是黄球的情况，再利用概

率公式即可求得答案.

【详解】解：画树状图得:

开始

红黄黄

44/N

红黄黄

•••共有9种可能的结果，两次摸出的球都是黄球的有4种情况,

4

...两次摸出的球都是红球的概率为：

9

【点睛】

此题考查了用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；

树状图法适合两步或两步