武汉大学高等数学31中值定理省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数处理实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第二节)推广微分中值定理与导数应用第1页一、罗尔(Rolle)定理第一节机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理MeanValueTheoremforDerivatives

第三章第2页费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在证:

设则费马目录上页下页返回结束证毕第3页罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,则所以在(a,b)内最少存在一点机动目录上页下页返回结束第4页若M>

m,则M和m

中最少有一个与端点值不等,不妨设则最少存在一点使Remarks:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.比如,则由费马引理得机动目录上页下页返回结束第5页使2)定理条件只是充分.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内最少存在一点证实提醒:

设证

F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.机动目录上页下页返回结束第6页例1.

证实方程有且仅有一个小于1正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1正根2)唯一性.假设另有为端点区间满足罗尔定理条件,最少存在一点但矛盾,故假设不真!设机动目录上页下页返回结束第7页例2.

设且在内可导,证实最少存在一点使提醒:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设机动目录上页下页返回结束第8页求证存在使例3.

设可导，且在连续，证：所以最少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得机动目录上页下页返回结束第9页二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导最少存在一点使思绪:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知最少存在一点即定理结论成立.拉氏目录上页下页返回结束证毕第10页拉格朗日中值定理有限增量形式:令则机动目录上页下页返回结束拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理第11页推论1:若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.证:

在

I

上任取两点日中值公式,得由任意性知,在

I

上为常数.机动目录上页下页返回结束推论2:若函数在区间

I内每一点导数都相等，则这两个函数在I内仅相差一个常数。推论3:第12页例4.

证实等式证:

设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在

I

上机动目录上页下页返回结束第13页例5.

证实不等式证:

设中值定理条件,即因为故所以应有机动目录上页下页返回结束第14页三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内最少存在一点使满足:要证柯西目录上页下页返回结束第15页证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,最少存在一点思索:

柯西定理下述证法对吗?两个

不一定相同错!机动目录上页下页返回结束上面两式相比即得结论.第16页柯西定理几何意义:注意:弦斜率切线斜率机动目录上页下页返回结束第17页例6.设最少存在一点使证:

结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,所以在(0,1)内最少存在一点

,使即证实机动目录上页下页返回结束第18页内容小结1.微分中值定理条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理应用(1)证实恒等式(2)证实不等式(3)证实相关中值问题结论关键:

利用逆向思维设辅助函数费马引理机动目录上页下页返回结束第19页思索与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间机动目录上页下页返回结束上.方程第20页2.

若可导,试证在其两个零点间一定有零点.提醒:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.机动目录上页下页返回结束第21页作业P129-131A类:2;5(3,4);6(3);7;9;11B类:1;4提醒:B1.A11.考虑第二节目录上页下页返回结束第22页费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他业余兴趣.他兴趣广泛,博览群书并善于思索,在数学上有许多重大贡献.他尤其兴趣数论,他提出费马大定理:至今还未得到普遍证实.他还是微积分学先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值方法中提炼出来.第23页拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了主要贡献,近百余年来,数学中许多成就都直接或间接地溯源于他工作,他是对分析数学产生全方面影响数学家之一.第24页柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最主要是为巴黎综合学校编写《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学影他是经典分析奠人之一,他为微积分所奠定基础推进了分析发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,第25页设证实对任意有证：1.不妨设机动目录上页下页返回结束备用题第26页2.

试证最少存在一点使证:

法1

用柯西中值定理.则f(x),F(