高考数学复习专题二函数与导数2.2.4.3利用导数证明问题及讨论零点个数文市赛课公开课一等奖省名师优

2.4.3利用导数证实问题

及讨论零点个数1/35-2-考向一考向二考向三考向四证实不等式(多维探究)例1(全国卷1,文21)已知函数f(x)=aex-lnx-1.(1)设x=2是f(x)极值点,求a,并求f(x)单调区间;(2)证实:当a≥时,f(x)≥0.2/35-3-考向一考向二考向三考向四3/35-4-考向一考向二考向三考向四解题心得证实f(x)≥g(x)(x∈I,I是区间),只需证实f(x)min≥g(x)max.证实f(x)>g(x)(x∈I,I是区间),只需证实f(x)min>g(x)max,或证实f(x)min≥g(x)max且两个最值点不相等.4/35-5-考向一考向二考向三考向四对点训练1(高考信息卷六,文21)已知函数,a∈R.(1)若f(x)在定义域内无极值点,求实数a取值范围;(2)求证:当0<a<1,x>0时,f(x)>1恒成立.解

(1)由题意知令g(x)=ex(x-1)+a(x≠0),则g'(x)=ex·x,当x<0时,g'(x)<0,g(x)在(-∞,0)上单调递减,当x>0时,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(0)=a-1,f(x)在定义域内无极值点,∴a>1.又当a=1时,f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递增也满足题意,所以a≥1.5/35-6-考向一考向二考向三考向四6/35-7-考向一考向二考向三考向四例2(河北保定一模,文21节选)已知函数f(x)=x+.(1)略;(2)设函数g(x)=lnx+1,证实:当x∈(0,+∞)且a>0时,f(x)>g(x).7/35-8-考向一考向二考向三考向四解:(1)略.所以F(x)在(1,+∞)上为增函数.又∵F(1)=2-0-2=0,∴F(x)>0,即h(x)min>0,所以,当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x).8/35-9-考向一考向二考向三考向四解题心得欲证函数不等式f(x)>g(x)(x∈I,I是区间),设h(x)=f(x)-g(x)(x∈I),即证h(x)>0,为此研究h(x)单调性,先求h'(x)零点,依据零点确定h(x)在给定区间I正负,若h(x)在区间I内递增或递减或先递减后递增,只须h(x)min>0(x∈I)(若h(x)min不存在,则须求函数h(x)下确界),若h(x)在区间I内先递增后递减,只须区间I端点函数值大于或等于0;若h'(x)零点不好求,可设出零点x0,然后确定零点范围,进而确定h(x)单调区间,求出h(x)最小值h(x0),再研究h(x0)正负.9/35-10-考向一考向二考向三考向四对点训练2(四川德阳模拟,文21)已知函数f(x)=a+lnx2且f(x)≤a|x|.(1)求实数a值;10/35-11-考向一考向二考向三考向四11/35-12-考向一考向二考向三考向四12/35-13-考向一考向二考向三考向四13/35-14-考向一考向二考向三考向四判断、证实或讨论函数零点个数例3(全国卷2,文21)已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)单调区间;(2)证实:f(x)只有一个零点.14/35-15-考向一考向二考向三考向四15/35-16-考向一考向二考向三考向四解题心得相关函数零点问题处理方法主要是借助数形结合思想,利用导数研究函数单调性和极值,利用函数单调性模拟函数图象,依据函数零点个数要求,控制极值点函数值正负,从而解不等式求出参数范围.16/35-17-考向一考向二考向三考向四对点训练3(山东济宁一模,文21节选)已知函数f(x)=alnx+x2(a∈R).(1)略;(2)当a>0时,证实函数g(x)=f(x)-(a+1)x恰有一个零点.17/35-18-考向一考向二考向三考向四18/35-19-考向一考向二考向三考向四例4已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)切线;(2)用min{m,n}表示m,n中最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点个数.19/35-20-考向一考向二考向三考向四20/35-21-考向一考向二考向三考向四21/35-22-考向一考向二考向三考向四解题心得1.假如函数中没有参数,一阶导数求出函数极值点,判断极值点大于0小于0情况,进而判断函数零点个数.2.假如函数中含有参数,往往一阶导数正负不好判断,这时先对参数进行分类,再判断导数符号,假如分类也不好判断,那么需要对一阶导函数进行求导,在判断二阶导数正负时,也可能需要分类.22/35-23-考向一考向二考向三考向四对点训练

4已知函数f(x)=alnx+-(a+1)·x,a∈R.(1)当a=-1时,求函数f(x)最小值;(2)当a≤1时,讨论函数f(x)零点个数.23/35-24-考向一考向二考向三考向四24/35-25-考向一考向二考向三考向四25/35-26-考向一考向二考向三考向四与函数零点相关证实问题例5(福建宁德质检二,文21)已知函数f(x)=x3-3ax2+4(a∈R).(1)讨论f(x)单调性;(2)若函数f(x)有三个零点,证实:当x>0时,f(x)≥6(a-a2)ea.解

(1)由f(x)=x3-3ax2+4,则f'(x)=3x2-6ax=3x(x-2a),令f'(x)=0,得x=0或x=2a,当a=0时,f'(x)≥0,f(x)在R上是增函数;当a>0时,令f'(x)>0,得x>2a或x<0,所以f(x)在(-∞,0),(2a,+∞)上是增函数,在(0,2a)上是减函数.当a<0时,令f'(x)>0,得x>0或x<2a,所以f(x)在(-∞,2a),(0,+∞)上是增函数,在(2a,0)上是减函数.26/35-27-考向一考向二考向三考向四(2)由(1)可知,当a=0时,f(x)在R上是增函数,此时函数f(x)不可能有三个零点;当a<0时,f(x)在(-∞,2a),(0,+∞)是增函数,在(2a,0)是减函数.又由f(x)极小值为f(0)=4>0,则函数f(x)不可能有三个零点;当a>0时,f(x)min=f(2a)=4-4a3,要满足f(x)有三个零点,则需4-4a3<0,即a>1,当x>0时,要证实f(x)>6(a-a2)ea等价于要证实f(x)min>6(a-a2)ea.即要证4-4a3>6(a-a2)ea.因为a>1,故等价于证实1+a+a2<aea.证实:结构函数g(a)=3aea-2-2a-2a2(a∈(1,+∞)),g'(a)=(3+3a)ea-2-4a,令h(a)=(3+3a)ea-2-4a.27/35-28-考向一考向二考向三考向四∵h'(a)=(6+3a)ea-4>0,函数h(a)在(1,+∞)单调递增,则h(a)min=h(1)=6e-6>0,∴函数g(a)在(1,+∞)单调递增.则g(a)min=g(1)=3e-6>0,则有1+a+a2≤aea,故有f(x)>6(a-a2)ea.解题心得证实与零点相关不等式,函数零点本身就是一个条件,即零点对应函数值为0,证实思绪普通对条件等价转化,结构适当新函数,利用导数知识探讨该函数性质(如单调性、极值情况等),再结合函数图象来处理.28/35-29-考向一考向二考向三考向四对点训练

5(四川绵阳南山中学二模,理21节选)已知函数f(x)=alnx-bx-3(a∈R且a≠0)(1)略;(2)当a=1时,设g(x)=f(x)+3,若g(x)有两个相异零点x1,x2,求证:lnx1+lnx2>2.29/35-30-考向一考向二考向三考向四解:(1)略.(2)当a=1时,g(x)=f(x)+3=ln

x-bx,函数定义域为x>0,设x1>x2>0,∵g(x1)=0,g(x2)=0,∴ln

x1-bx1=0,ln

x2-bx2=0,∴ln

x1-ln

x2=b(x1-x2),ln

x1+ln

x2=b(x1+x2).要证ln

x1+ln

x2>2,即证b(x1+x2)>2,30/35-31-考向一考向二考向三考向四利用导数处理存在性问题例6(四川内江一模,文21)已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R).(1)讨论f(x)单调性;(2)设a>1,是否存在正实数x,使得f(x)>0?若存在,请求出一个符合条件x,若不存在,请说明理由.解:(1)f(x)定义域为R,f'(x)=ex-a,当a≤0时,f'(x)>0,故f(x)在R上单调递增;当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln

a,当x<ln

a时,f'(x)<0,故f(x)单调递减,当x>ln

a时,f'(x)>0,故f(x)单调递增,总而言之,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;当a>0时,f(x)在(-∞,ln

a)上单调递减,在(ln

a,+∞)上单调递增.31/35-32-考向一考向二考向三考向四(2)存在正数x=2ln

a,使得f(x)>0,即f(2ln

a)=a2-2aln

a-1>0,其中a>1.证实以下:设g(x)=x2-2xln

x-1(x>1),则g'(x)=2x-2ln

x-2.设u(x)=x-ln

x-1(x>1),则u'(x)=1->0,故u(x)在(1,+∞)上单调递增.∴u(x)>u(1)=0,故g'(x)=2x-2ln

x-2=2u(x)>0.∴g(x)在(1,+∞)上单调递增