湖北省襄阳市襄州区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

湖北省襄阳市襄州区2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷(解析版)一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答.1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）小明的作业本上有以下四题，做错的题是（）A． B．•＝ C． D．3．（3分）下列二次根式中，与能合并的二次根式的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（）A．a＝1，，c＝2 B．a＝1，，c＝1 C．a＝1，b＝2，c＝2 D．a＝3，b＝4，c＝55．（3分）在四边形ABCD中，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A．6种 B．5种 C．4种 D．3种6．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE7．（3分）如图，点A表示的实数是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，F是对角线AC上的一个动点，则FE+FB的最小值是（）A．1 B． C．2 D．10．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G．下列结论：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，其中正确结论有（）个A．2 B．3 C．4 D．1二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上.11．（3分）二次根式中字母x的取值范围是．12．（3分）若□＝3，则“□”表示的运算符号是．13．（3分）如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝8，则S3＝．14．（3分）如图，平行四边形ABCD中，顶点A、B、D在坐标轴上，AD＝5，AB＝9，点A坐标为（﹣3，0），则点C坐标为．15．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边的长为．16．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，则GF的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共72分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在17．（8分）计算：（1）；（2）；（3）．18．（8分）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．（1）求长方形ABCD的周长；（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，则通道的面积是多少？（结果化为最简二次根式）19．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC＝2，求菱形ABCD的面积．20．（8分）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠AOB：∠ODC＝8：5，求∠ADO的度数．21．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1中．请参考此方法按下列要求作图：（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为17的正方形ABCD，并标出字母；（2）在图2中以格点为顶点画一个△EFG，使EF＝5，，，并标出字母；（3）猜想△EFG是何种特殊三角形？并说明理由．22．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．（1）其中正确结论的序号为；（2）请你选择一个正确的结论进行证明．23．（10分）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，DE∥BC且DE＝BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．24．（12分）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6cm，AD＝10cm，BC＝14cm，点P从点A出发以1cm/s的速度在边AD上向点D运动；点Q从点C同时出发以2cm/s的速度在边CB上向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一动点也随之停止运动．设运动时间为ts．（1）当四边形ABQP是矩形时，t的值是；（2）在运动过程中，当PQ＝CD时，t的值是；（3）如图2，若∠DPQ＝2∠C，求t的值．

参考答案与试题解析一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答.1．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．【解答】解：（A）原式＝，故A不是最简二次根式；（B）原式＝，故B不是最简二次根式；（D）原式＝2，故D不是最简二次根式；故选：C．【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型．2．（3分）小明的作业本上有以下四题，做错的题是（）A． B．•＝ C． D．【分析】根据二次根式混合运算的计算法则进行解答．【解答】解：（﹣）2＝2，故A选项不符合题意；，故B选项不符合题意；，故C选项不符合题意；，不是同类项，不能进行相加，故D选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据计算法则来解答．3．（3分）下列二次根式中，与能合并的二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】将各选项最简化，再比较即可．【解答】解：A、＝3，B、＝，C、＝2，D、＝，∴与能合并的二次根式的是2，故选：C．【点评】本题考查的是同类二次根式，将各选项进行化简是解题的关键．4．（3分）下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（）A．a＝1，，c＝2 B．a＝1，，c＝1 C．a＝1，b＝2，c＝2 D．a＝3，b＝4，c＝5【分析】利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵12+（）2＝4，22＝4，∴12+（）2＝22，∴能构成直角三角形，故A不符合题意；B、∵12+12＝2，（）2＝2，∴12+12＝（）2，∴能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵12+22＝5，22＝4，∴12+22≠22，∴不能构成直角三角形，故C符合题意；D、∵32+42＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴能构成直角三角形，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．5．（3分）在四边形ABCD中，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A．6种 B．5种 C．4种 D．3种【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定进行逐一验证即可．【解答】解：任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（1）（2）；（3）（4）；（1）（3）；（2）（4）共四种．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定；平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．6．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出选项A、B、C正确；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，选项D错误；即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE＝DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE＝∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．7．（3分）如图，点A表示的实数是（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理可求得OA的长为，再根据点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．【解答】解：如图，OB＝＝，∵OA＝OB，∴OA＝，∴点A在数轴上表示的实数是﹣．故选：D．【点评】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．8．（3分）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为xm，过点C作CB⊥AD于B，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即旗杆的高度为17米．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．9．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，F是对角线AC上的一个动点，则FE+FB的最小值是（）A．1 B． C．2 D．【分析】连接BD，则AC垂直平分BD，FD＝FB，当D，F，E在同一直线上时，FE+FB的最小值等于DE的长，再根据△ABD是等边三角形，即可得到AE的长，进而得到FE+FB的最小值是．【解答】解：如图所示，连接BD，则AC垂直平分BD，FD＝FB，∴FE+FB＝FE+FD，∴当D，F，E在同一直线上时，FE+FD的最小值等于DE的长，∵AD＝AB，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，AE＝1，∴Rt△ADE中，DE＝＝＝，∴FE+FB的最小值是，故选：D．【点评】此题主要考查了最短路线问题以及菱形的性质，熟悉菱形的基本性质是解决本题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．10．（3分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G．下列结论：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，其中正确结论有（）个A．2 B．3 C．4 D．1【分析】通过条件可以得出Rt△ABE≌△RtADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方形的性质就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC＝x，由勾股定理就可以表示出BE+DF与EF即可判断．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．∵△AEF等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．∴∠BAE+∠DAF＝30°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE＝DF（故①正确）．∠BAE＝∠DAF，∴∠DAF+∠DAF＝30°，即∠DAF＝15°（故②正确），∵BC＝CD，∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，∵AE＝AF，∴AC垂直平分EF．（故③正确）．设EC＝x，由勾股定理，得EF＝x，CG＝x，∴AG＝AE•sin60°＝EF•sin60°＝2×CG•sin60°＝x，∴AC＝x+x，∴AB＝，∴BE＝，∴BE+DF＝x﹣x≠x，（故④错误），故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理是解题的关键．二.填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上.11．（3分）二次根式中字母x的取值范围是x≤4．【分析】根据二次根式有意义的条件可得4﹣x≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：4﹣x≥0，解得：x≤4，故答案为：x≤4．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．12．（3分）若□＝3，则“□”表示的运算符号是÷．【分析】分别用“+”、“﹣”、“×”、“÷”逐个判断，判断出若□＝3，则“□”表示的运算符号即可．【解答】解：+＝4，﹣＝2，×＝6，÷＝3，∴若□＝3，则“□”表示的运算符号是÷．故答案为：÷．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确实数加减乘除的运算方法．13．（3分）如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝8，则S3＝12．【分析】根据勾股定理的几何意义解答．【解答】解：∵△ABC直角三角形，∴BC2+AC2＝AB2，∵S1＝BC2，S2＝AC2，S3＝AB2，S1＝4，S2＝8，∴S3＝S1+S2＝12．【点评】解决本题的关键是根据勾股定理得到三个面积之间的关系．14．（3分）如图，平行四边形ABCD中，顶点A、B、D在坐标轴上，AD＝5，AB＝9，点A坐标为（﹣3，0），则点C坐标为（9，4）．【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD＝9，再根据勾股定理求出OD的长，以此即可求出点C坐标．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD＝9，∵点A坐标为（﹣3，0），∴OA＝3，在Rt△OAD中，由勾股定理得，∴点C的坐标为（9，4）．故答案为：（9，4）．【点评】本题主要考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理算出OD时解题关键．15．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边的长为5或．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：设第三边为x，（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42＝x2，∴x＝5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2＝42，∴x＝；∴第三边的长为5或．故答案为：5或．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．16．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，则GF的长为6．【分析】延长GE交CB的延长线于M．只要证明△AEG≌△BEM，推出AG＝CM＝2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．【解答】解：如图，延长GE交CB的延长线于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE＝∠M，∵E为AB边的中点，∴AE＝BE，在△AEG和△BEM中，，∴△AEG≌△BEM（AAS），∴GE＝EM，AG＝BM＝2．又∵EF⊥MG，∴EF垂直平分GM，∴FG＝FM．∵BF＝4，∴MF＝BF+BM＝4+2＝6，∴GF＝FM＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．三、解答题（本大题共8个小题，共72分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在17．（8分）计算：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接将根号下的数相乘，再进行二次根式的化简即可；（2）先将二次根式进行化简，再进行计算即可；（3）根据平方差公式来进行计算．【解答】解：（1）＝＝6；（2）＝3＝；（3）＝5﹣3﹣2＝0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据计算法则和平方差公式来解答．18．（8分）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为．（1）求长方形ABCD的周长；（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，则通道的面积是多少？（结果化为最简二次根式）【分析】（1）根据长方形的周长公式进行列式，计算出结果；（2）根据长方形的面积公式，用大长方形的面积减去阴影部分的面积；再进行化简，计算出结果．【解答】解：（1）长方形ABCD的周长：＝18+16；（2）通道的面积：﹣（+1）×（）＝72﹣13．【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是根据长方形周长和面积公式来列式计算．19．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC＝2，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；（2）利用勾股定理可求出OB的长，得出BD的长，由菱形面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴BC＝CD＝AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝8；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝1，∴OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2，∴形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×2＝2．【点评】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．20．（8分）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠AOB：∠ODC＝8：5，求∠ADO的度数．【分析】（1）证四边形ABCD是平行四边形，再证AC＝BD，即可得出结论；（2）由矩形的性质得到AB∥CD，再由平行线的性质得到∠ABO＝∠CDO，然后由三角形的内角和求出∠ABO＝50°，即可求解．【解答】（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，∴∠DAO＝∠ADO，∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠AOB：∠ODC＝8：5，∴∠AOB：∠ABO＝8：5，∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝5：8：5，∴∠ABO＝50°，∵∠BAD＝90°，∴∠ADO＝90°﹣50°＝40°．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明AC＝BD是解题的关键．21．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1中．请参考此方法按下列要求作图：（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为17的正方形ABCD，并标出字母；（2）在图2中以格点为顶点画一个△EFG，使EF＝5，，，并标出字母；（3）猜想△EFG是何种特殊三角形？并说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理结合网格作出图形即可；（2）根据勾股定理结合网格作出图形即可；（3）由勾股定理的逆定理可得出结论．【解答】解：（1）如图1所示，正方形ABCD即为所求；（2）如图2所示，△EFG即为所求；（3）三角形EFG是直角三角形，理由如下：∵FG2+EG2＝25＝EF2，∴三角形EFG是直角三角形．【点评】本题考查了作图﹣应用设计作图，正方形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记各性质定理是解题的关键．22．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．（1）其中正确结论的序号为①②④；（2）请你选择一个正确的结论进行证明．【分析】（1）根据正方形的性质进行判断即可；（2）①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△DPF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，即可得结论；②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，即可得结论；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；④四边形PECF为矩形，通过正方形的轴对称性，即可得AP＝EF．【解答】解：（1）正确结论的序号为①②④，故答案为：①②④；（2）①正确，理由如下：∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，∴PF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝DF2+DF2＝2DF2，∴PD＝DF，∴PD＝EC，②正确，理由如下：∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8；③错误，理由如下：∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形；④正确，理由如下：如图，连接PC，∵四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，∵正方形为轴对称图形，∴AP＝PC，∴AP＝EF．【点评】此题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．（10分）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，DE∥BC且DE＝BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．【分析】（1）由DE＝BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；（2）在Rt△ACD中只要证明∠ADC＝60°，AD＝2即可解决问题．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形；（2）解：连接AC．∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝1，∵AD＝2BC＝2，∵E为AD的中点，∴AE＝BE＝DE＝1，∴△ABE是等腰三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，∵AD＝2，∴CD＝AD＝1，AC＝＝．【点评】本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．24．（12分）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6cm，AD＝10cm，BC＝14cm，点P从点A出发以1cm/s的速度在边AD上向点D运动；点Q从点C同时出发以2cm/s的速度在边CB上向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一动点也随之停止运动．设运动时间为ts．（1）当四边形ABQP是矩形时，t的值是；（2）在运动过程中，当PQ＝CD时，t的值是或6；（3）如图2，若∠DPQ＝2∠C，求t的值．【分析】（1）由题意得AP＝t，CQ＝2t，BC＝14cm，当四边形ABQP是矩形时，则AP＝BQ，可列方程t＝14﹣2t，解方程求出t的值即可；（2）当PQ＝CD，且PQ∥CD时，则四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，可列方程10﹣t＝2t，解方程求出t的值；当PQ＝CD，且PQ与CD不平行时，