江西省景德镇市乐平中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

乐平中学20232024学年高二下学期第一次月考数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若函数在处的导数等于，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.【详解】由已知得．故选：D．2.记为等差数列的前项和，若，则（）A.144 B.120 C.100 D.80【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义及性质求得数列的首项和公差，利用等差数列前项和公式计算即可.【详解】因为，所以，又，所以，则，所以，故选：B.3.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A.0.14 B.0.62 C.0.72 D.0.86【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的性质进行计算即可.【详解】随机变量服从正态分布，且,所以，，所以，故选:D.4.双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程以及焦距可得，可得渐近线方程.【详解】由焦距为4可得，即，又，所以，可得，即；则的渐近线方程为.故选：B5.将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（）A.2720 B.3160 C.3000 D.2940【答案】D【解析】【分析】根据题意可知：共有两种分配方式，一种是，一种是，结合分堆法运算求解.【详解】共有两种分配方式，一种是，一种是，故不同的安排方法有.故选：D.6.已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对函数求导，用导数方法判断函数的单调性，再结合题意，列出不等式组，即可求出结果.【详解】因为（），所以，由得，所以，当时，，即单调递增；当时，，即单调递减；又函数在区间上不是单调函数，所以有，解得.故选C【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数在给定区间的单调性求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数方法研究函数单调性即可，属于常考题型.7.已知定义在R上可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意构造函数，由可得在上恒成立，所以函数在为上单调递减函数，由为偶函数，，可得，故要求不等式的解集等价于的解集，即可得到答案.【详解】由题意构造函数，则，定义在上的可导函数的导函数为，满足在上恒成立，函数在上为单调递减函数；又为偶函数，则函数，即关于对称，，则，由于不等式的解集等价于的解集，根据函数在上为单调递减函数，则，故答案选B【点睛】本题考查函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题．8.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则错误的是（）A. B.双曲线的离心率C.双曲线的渐近线方程为 D.原点在以为圆心，为半径的圆上【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义求出焦点弦长与实半轴长的关系，然后计算离心率，求渐近线方程，同时在假设D正确的情况下，出现矛盾的结论，最终得出正确选项．【详解】如图，设，则，所以，，，所以，∴，A正确；，，在中，，在中，，即，，所以，B正确；由得，，渐近线方程为，C正确；若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，，与B矛盾，不成立，D错．故选：D．【点睛】关键点睛：本题关键是利用双曲线的定义把焦点弦焦半径用表示．从而寻找到的选题关系可求得离心率和渐近线方程．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为是的中点，则正确的是（）A B.平面平面C.三棱锥的体积为 D.三棱锥的外接球的表面积为【答案】CD【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由可判断A；求出平面和平面的法向量，不存在实数λ使得．可判断B；求出三棱锥的体积可判断C；求出三棱锥的外接球的表面积可判断D.【详解】解：以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，．因为，所以与不垂直．故A错误．，，设平面的一个法向量为，则由得所以不妨取，则，所以．设平面的一个法向量为，，，则由得所以不妨取，则，所以．故不存在实数λ使得．故平面与平面不平行，故B错误．在长方体中，⊥平面，故是三棱锥的高，所以．故C正确．三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故外接球的半径．所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确．故选：CD．10.某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次取到乙级药材”，则（）A. B.C. D.事件A，B相互独立【答案】ABC【解析】【分析】对于A，由古典概型概率计算公式验算即可；对于B，由条件概率公式即可验算；对于C，由全概率公式即可验算；对于D，由独立乘法公式即可验算.【详解】对A，，故A正确；对B，，故B正确；对C，，故C正确；对D，因为，，所以事件A，B不相互独立，故D错误．故选：ABC．11.已知数列满足，，设，记数列的前项和为，数列的前项和为，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】分析与的递推关系，根据数列的奇数项、偶数项以及分组求和法求得.【详解】依题意，，A选项正确.，所以B选项错误.当为偶数时，，所以，而，所以，所以，所以C选项正确.当为奇数时，，所以，而，所以，所以，所以，所以D选项正确.故选：ACD【点睛】求解形如的递推关系式求通项公式的问题，可考虑利用配凑法，即配凑为的形式，再结合等比数列的知识来求得.求关于奇数、偶数有关的数列求和问题，可考虑利用分组求和法来进行求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中的系数为_______．【答案】15【解析】【分析】根据二项式定理分析求解.【详解】因为的展开式的通项公式为，令，可得展开式中的系数为.故答案为：15.13.若双曲线的渐近线与圆相切，则_______．【答案】或【解析】【分析】利用双曲线的方程得到渐近线方程，再利用配方法求得圆的圆心与半径，从而利用直线与圆相切得到关于的方程，由此得解.【详解】因为双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，因为双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心到渐近线的距离，解得或．故答案为：或.14.已知函数，若，不等式在上存在实数解，则实数的取值范围_______．【答案】【解析】【分析】将问题转化为在上存在实数解，令，由求解.【详解】原条件等价于：在上存在实数解．则在上存在实数解，令，则，因为时，，则，故在上单调递增，∴的最小值为，∴时，不等式在上存在实数解．所以实数的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．（1）求进行3局比赛决出冠亚军的概率；（2）若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）分甲乙全胜两种情况相加得结果；（2）利用分布列步骤求解并求得期望【小问1详解】甲3局全胜的概率为,乙3局全胜的概率为，进行3局比赛决出冠亚军的概率为【小问2详解】的可能取值为1，2，，，故的分布列为：12故．16.已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）根据等差、等比数列公式法求出通项；（2）利用等比数列前项和公式以及裂项相消法求出结果.【小问1详解】设数列的公差为，则解得所以，.【小问2详解】，则.17.如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为1的菱形，是的中点．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）60°【解析】【分析】（1）连接，由线面垂直判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）由（1）可知，平面，进而可得是二面角的平面角．解即可得到二面角的大小．【小问1详解】如图，连接，由是菱形且知，△BCD是等边三角形．因为是的中点，所以,因为，所以．因为平面，所以．因为,平面,所以平面．又平面，所以平面平面．【小问2详解】由（1）可知平面，所以，又，所以为二面角的平面角,在中，，，，所以．所以二面角的平面角为．18已知函数．（1）若，求a的取值范围；（2）证明：若有两个零点，则．【答案】（1）（2）证明见的解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.【小问1详解】[方法一]：常规求导的定义域为，则令,得当单调递减当单调递增，若,则,即所以的取值范围为[方法二]：同构处理由得：令，则即令，则故在区间上是增函数故，即所以的取值范围为【小问2详解】[方法一]：构造函数由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设要证,即证因为,即证又因为,故只需证即证即证下面证明时，设，则设所以,而所以,所以所以在单调递增即,所以令所以在单调递减即,所以；综上,,所以.[方法二]：对数平均不等式由题意得：令，则，所以在上单调递增，故只有1个解又因为有两个零点，故两边取对数得：，即又因为，故，即下证因为不妨设，则只需证构造，则故在上单调递减故，即得证【点睛】关键点点睛：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式这个函数经常出现，需要掌握19.如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．（1）求曲线C的方程；（2）若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；（3）若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）证明见解析，（3）存在，【解析】【分析】（1）设，求得D点并代入，化简求得曲线C的方程；（2）设的方程为，直线的方程为，将直线的方程与曲线C的方程联立，求得M，N的坐标，对进行分类讨论，由此证得直线过定点并求得定点坐标；（3）假设存在点使得，先求得，设出G，H的坐标，由直线SH和直线SG的方程求得P，Q两点的坐标，结合G在曲线C上求得R点的坐标．【小问1详解】设，，则，由题意知，所以，得(，所以，因为，得，故曲线C的方程为．【小问2详解】由题意可知