高考二轮复习文科数学课件高考小题突破7直线与圆

高考小题突破7直线与圆考点一直线方程及应用例1(1)已知直线l1:(3+2λ)x+(4+λ)y+(-2+2λ)=0(λ∈R),l2:x+y-2=0,若l1∥l2,则l1与l2间的距离为(

)B(2)(2023吉林东北师大附中二模)直线l的方程为(λ+2)x+(λ-1)y-3λ=0(λ∈R),当原点O到直线l的距离最大时,λ的值为(

)A.-1 B.-5 C.1

D.5B解题技巧解决直线方程问题的三个注意点(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.(2)注意直线方程每种形式的局限性,点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直,两点式要求直线不能与坐标轴垂直,而截距式方程既不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.(3)讨论两直线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在.对点训练1(1)(2023陕西安康二模)已知直线l1:(a-2)x+ay+1=0,l2:(a-2)x+y+2=0,则“a=1”是“l1∥l2”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解析

当a=1时,l1:-x+y+1=0,l2:-x+y+2=0,所以l1∥l2.当l1∥l2时,a=1或a=2,故选A.(2)若直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x+my+1=0(m∈R)平行,则直线l1与l2之间的距离为

.

考点二圆的方程及应用例2(1)已知圆C的半径为,其圆心C在直线x+y+2=0上,圆C上的动点P到直线kx-y-2k+2=0(k∈R)的距离的最大值为,则圆C的标准方程为(

)A.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x+2)2+y2=2C.(x+4)2+(y-2)2=2 D.(x+3)2+(y-1)2=2A解析

直线kx-y-2k+2=0(k∈R)可变形为k(x-2)-(y-2)=0(k∈R),故过定点A(2,2),由题意圆C的圆心到直线kx-y-2k+2=0(k∈R)的距离的最大值为(2)(2021新高考Ⅰ,11改编)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则下列说法错误的是(

)A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时,|PB|=D.当∠PBA最大时,|PB|=B规律方法1.解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法:通过几何关系、位置求得圆的方程.(2)代数法:通过将条件列方程计算得出圆的方程.2.解决圆的问题常用的一个结论:过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点P(x0,y0)的圆的切点弦方程与过圆上一点M(x0,y0)的圆的切线方程都为(x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;若圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则结论为对点训练2(1)(2023北京顺义一模)已知点A,B在圆O:x2+y2=16上,且|AB|=4,点P为圆O上任意一点,则

的最小值为(

)A.0 B.-12C.-18 D.-24D(2)(2022全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为

.

(x-1)2+(y+1)2=5

半径为r,则r2=(3-1)2+12=5.故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.(方法二)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,则r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.考点三直线与圆的综合应用考向1直线与圆的位置关系

(2)在圆x2+y2=25上有一点P(4,3),点E,F是y轴上两点,且满足|PE|=|PF|,直线PE,PF与圆分别交于点C,D(不同于点P),则直线CD的斜率是

.

(方法二)过点P作x轴的平行线,交圆于点G,连接OG,设PG与EF交于点N,PG与CD交于点M,线段DC的延长线与y轴交于点A.显然PG⊥EF.因为|PE|=|PF|,所以△PEF为等腰三角形,所以PG是∠EPF的平分线,所以点G就是圆弧CD的中点,所以OG⊥CD.如图所示,因为∠CMN和∠GON都和∠A互余,所以∠CMN=∠GON.所以直线CD的斜率kCD=tan∠CMN=tan∠GON(方法三)如图,过点P作x轴的平行线,交圆于点G,连接OG,则点G的坐标为(-4,3),PG⊥EF.因为|PE|=|PF|,所以△PEF为等腰三角形,所以PG是∠EPF的平分线,所以点G就是圆弧CD的中点,所以OG⊥CD.设直线CD的斜率是kCD,直线OG的(方法四

应用极限的思想)由于点E,F是在y轴上运动,当E,F两点向它们的中点靠拢时,C,D两点也在圆弧上向圆弧的中点靠拢,即弦CD的长度变小,当E,F两点重合时,弦CD就变成了圆弧CD的中点,直线CD的斜率就等于圆在圆弧CD中点的切线的斜率,圆弧CD的中点坐标为(-4,3),所以在点(-4,3)的圆的切线方程为-4x+3y=25,所求直线CD的斜率为

.规律方法1.直线与圆位置关系判断的三种方法

2.例3(1)中的方法二的解题思路是:联立直线与圆的方程,想得到关于x,y的二次齐次方程,为此将圆的一般式方程中x,y的一次项乘1,常数项乘12,再把直线方程变成一端为1的形式,然后代入圆的一般式,整理可得二次齐次方程Ax2+Bxy+Cy2=0.对点训练3(1)(2023新高考Ⅰ,6)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sinα=(

)B(2)(2023新高考Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值

.

2考向2直线与圆中的最值问题

例4(1)(2023全国乙,文11)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(

)C解析

(方法一)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为3的圆.设x-y=u,则x-y-u=0,且由题意知直线x-y-u=0与圆(2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-4,0),B(0,4),从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC,PD,切点分别为C,D.设线段CD的中点为M,则线段AM长的最大值为

.

解析

(方法一)由题意知直线AB的方程为y=x+4,设点P(x0,y0),则y0=x0+4.①如图,由OD⊥DP,OC⊥CP,得点C,D在以OP为直径的圆上.OP的中点即该(方法二)由题意知直线AB的方程为y=x+4,设点P(x0,x0+4),点P对应的切点弦CD的方程为x0x+(x0+4)y-4=0,即x0(x+y)+4y-4=0,所以直线CD过定点N(-1,1),因为M是中点,连接圆心O与点N,则点M在以ON为直径的圆上,即解题方法直线与圆中的最值问题,常见类型及解题思路

常见类型解题思路μ=型转化为动直线斜率的最值问题t=ax+by型转化为动直线截距的最值问题,或用三角代换求解m=(x-a)2+(y-b)2型转化为动点与定点的距离的平方的最值问题对点训练4C(2)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0.若直线l:y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是

.

解析

(方法一)圆C的方程变形为(x-4)2+y2=1,则圆心C(4,0),其半径r=1.设直线l:y=kx-2上一点M(m,km-2),由两圆的位置关系,得|MC|≤1+1=2,即(方法二)