余弦定理课件高一下学期数学人教A版(1)4

第一课时余弦定理余弦定理、正弦定理引入探究1

在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c?那么c＝a－b，①我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，联想到数量积的性质c·c＝|c|2，可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算.由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosC.所以c2＝a2＋b2－2abcosC，同理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB.1.余弦定理语言叙述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的余弦的__________.2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有a2＝__________________，b2＝__________________，c2＝__________________.知识梳理平方的和积的两倍b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC温馨提示：(1)适用范围：任意三角形.(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.(3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可以做到“知三求一”.√A.2 B.4

C.6

D.8√√利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.小结：1.已知两边及其夹角解三角形的方法：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.2.已知两边及其中一边的对角解三角形的方法：用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.根据题意，由余弦定理可得因为a>b>c，所以A>B>C，即A为最大角.√探究2

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别是a，b，c，如何解三角形？知识梳理余弦定理的推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cosA＝__________________，cosB＝

___________________，cosC＝

____________________.例3若△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝3c，则cosB＝√变式训练

如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为设该等腰三角形为△ABC，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶角为C，周长为l，因为l＝5c，所以a＝b＝2c，由余弦定理的推论，得√探究3

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？提示

A为直角⇔a2＝b2＋c2；A为锐角⇔b2＋c2>a2(前提是b，c是两个较小边)；A为钝角⇔b2＋c2<a2.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两个思路：(1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系；(2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理.例5在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是A.直角三角形

B.钝角三角形C.等腰直角三角形

D.等边三角形由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accosB，而B＝60°，b2＝ac，即(a－c)2＝0，所以a＝c.又B＝60°，所以△ABC一定是等边三角形.√A.直角三角形

B.锐角三角形C.等边三角形

D.等腰直角三角形所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.√1.在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则角A等于A.30° B.45° C.60° D.90°由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，所以△ABC为直角三角形，A＝30°.√随堂小练√3.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝