第2节匀变速直线运动的规律

第一章运动的描述匀变速直线运动第2节匀变速直线运动的规律目录CONTENT立足“四层”·夯基础着眼“四翼”·探考点聚焦“素养”·引思维020301锁定“目标”·提素能04Part01立足“四层”·夯基础⁠一、匀变速直线运动的规律1.基本公式（1）速度公式：

v＝v0＋at

⁠。

v＝v0＋at

2.重要推论

（2）任意两个连续相等时间间隔（T）内的位移之差

相等

⁠，即Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2。

（4）初速度为零的匀加速直线运动的比例式①1T末、2T末、3T末、……、nT末的瞬时速度之比：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝

1∶2∶3∶…∶n

⁠。中间

一半

相等

1∶2∶3∶…∶n

②第1个T内、第2个T内、第3个T内、……、第n个T内的位移之比：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝

1∶3∶5∶…∶（2n－1）

⁠。③通过连续相等的位移所用时间之比：

1∶3∶5∶…∶（2n－1）

二、自由落体和竖直上抛运动的基本规律自由落体运动竖直上抛运动速度公式v＝gtv＝

v0－gt

⁠位移公式速度与位移关系式v2＝2ghv0－gt

gt2

－2gh

⁠

为了保障通行安全，雾天驾驶机动车在高速公路上行驶时，应当降低行驶速度。雾天视线受阻，应该打开雾灯。对于汽车的起动过程和遇到紧急情况刹车的过程，判断下列描述的正误。（1）机动车做匀加速直线运动时，其在任意两段相等时间内的速度变化量相等。

（

√

）（2）机动车在匀变速直线运动中，某段时间内中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度。

（

√

）√√（3）机动车遇到险情刹车做匀减速直线运动直至停止的过程中一共用时nT，则第1个T内、第2个T内、第3个T内……第n个T内的位移之比为（2n－1）∶…∶5∶3∶1。

（

√

）√Part02着眼“四翼”·探考点⁠考点一

匀变速直线运动基本公式的应用

[互动共研类]1.基本公式的比较题目中所涉及的物理量（包括已知量、待求量和为解题设定的中间量）没有涉及的物理量适宜选用公式v0，v，a，txv＝v0＋atv0，a，t，xvv0，v，a，xtv0，v，t，xa2.运动学公式中正、负号的规定直线运动可以用正、负号表示矢量的方向，一般情况下，规定初速度v0的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值，当v0＝0时，一般以加速度a的方向为正方向。【典例1】

（2022·全国甲卷）长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v0，要通过前方一长为L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v（v＜v0）。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为（

）

答案

C⁠1.[速度与时间关系式的应用]假设某次深海探测活动中，“蛟龙号”完成海底科考任务后竖直上浮，从上浮速度为v时开始匀减速并计时，经过时间t，“蛟龙号”上浮到海面，速度恰好减为零，则“蛟龙号”在t0（t0＜t）时刻的速度为（

）

2.[速度与位移关系式的应用]如图所示，国产某品牌汽车装备了具有“全力自动刹车”功能的城市安全系统，系统以50Hz的频率监视前方的交通状况。当车速v≤10m/s且与前方静止的障碍物之间的距离接近安全距离时，如果司机未采取制动措施，系统就会立即启动“全力自动刹车”，加速度大小约为5m/s2，使汽车避免与障碍物相撞。则“全力自动刹车”系统设置的安全距离约为多少？

答案：10m考点二

分析匀变速直线运动的常用方法

[互动共研类]常用方法适用情况解决办法逆向思维法末速度为零的匀减速直线运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动比例法常用于初速度为零的匀加速直线运动且运动具有等时性或等距离性由连续相邻相等时间（或长度）的比例关系求解逐差法适用于“纸带”类问题由Δx＝aT2求加速度常用方法适用情况解决办法中间时刻速度法常用于“等分”思想的运动，把运动按时间（或距离）等分之后求解根据中间时刻的速度为该段位移的平均速度来求解问题图像法常用于加速度变化的变速运动由图像的斜率、面积等条件判断

方法二

比例法对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）。

方法三

中间时刻速度法

答案

t⁠1.[中间时刻速度法]如图所示，一辆汽车在平直公路上做匀加速直线运动，从树A开始，在相等的时间内依次经过B、C、D、E四棵树，已知树A、B间距为x1，树D、E间距为x2，则树B、D间距为（

）A.x1＋x2B.2x1＋x2C.x1＋2x2D.2（x1＋x2）

2.[逐差法]一物体以初速度为v0做匀减速直线运动，第1s内通过的位移为x1＝3m，第2s内通过的位移为

x2＝2m，又经过位移x3，物体的速度减小为0，则下列说法中不正确的是（

）A.初速度v0的大小为2.5m/sB.加速度a的大小为1m/s2D.位移x3内的平均速度大小为0.75m/s

3.[逆向思维法]

4.[图像法]如图所示，甲、乙两车同时由静止从A点出发，沿直线AC运动。甲以加速度a3做初速度为零的匀加速运动，到达C点时的速度为v。乙以加速度a1做初速度为零的匀加速运动，到达B点后做加速度为a2的匀加速运动，到达C点时的速度也为v。若a1≠a2≠a3，则（

）A.甲、乙不可能同时由A到达CB.甲一定先由A到达CC.乙一定先由A到达CD.若a1＞a3，则甲一定先由A到达C解析：A

根据速度—时间图线得，若a1＞a3，如图1所示，因为末速度相等，位移相等，即图线与时间轴所围成的面积相等，则t乙＜t甲。若a3＞a1，如图2所示，因为末速度相等，位移相等，即图线与时间轴所围成的面积相等，则t乙＞t甲。通过图线作不出位移相等、速度相等、时间也相等的图线，所以甲、乙不能同时到达。故A正确，B、C、D错误。考点三

自由落体和竖直上抛运动

[互动共研类]1.自由落体运动规律的快捷应用可充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题。（1）从运动开始连续相等时间内的下落高度之比为1∶3∶5∶7∶…。

（3）连续相等时间T内的下落高度之差Δh＝gT2。2.研究竖直上抛运动的两种方法（1）分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。（2）全程法：将全过程视为初速度为v0、加速度a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性。3.竖直上抛运动的对称性时间对称物体在上升过程中经过某两点之间所用的时间与下降过程中经过该两点之间所用的时间相等速度对称物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等、方向相反物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反

题眼点拨题眼信息获取水火箭从地面静止出发经过5

s到达离地面高40

m处时水恰好喷完水火箭在竖直方向上做匀加速直线运动，运动了5

s接着水火箭向上做匀减速运动向上做竖直上抛运动恰好喷完水时水火箭的速度大小求第一阶段的末速度大小（1）恰好喷完水时水火箭的速度大小；

答案

（1）16m/s

（2）水火箭离地面的最大高度；

答案

（2）52.8m

答案

（3）9.85s（3）水火箭从发射到残骸落回到地面过程的总时间。⁠1.[自由落体运动]（2023·江苏苏州模拟）利用手机的照相功能可以研究自由落体运动。实验者从某砖墙前的高处使一个石子自由落下，拍摄石子在空中的照片如图所示。由于石子的运动，它在照片上留下了一条径迹，已知手机照相的曝光时间为0.02s，每块砖的平均厚度为6cm，估算石子释放点距地面的高度最接近（

）A.2.3mB.2.5mC.1.8mD.2.0m

2.[竖直上抛运动]（2023·江苏南京二模）广场喷泉是城市一道亮丽的风景。如图，喷口竖直向上喷水，已知喷管的直径为D，水在喷口处的速度为v0。重力加速度为g，不考虑空气阻力的影响，则在离喷口高度为H时的水柱直径为（

）A.D

考点四

匀变速直线运动的多过程问题

[互动共研类]1.基本思路如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的纽带。可按下列步骤解题：（1）画：分清各阶段运动过程，画出草图。（2）列：列出各运动阶段的运动方程。（3）找：找出交接处的速度与各段间的位移—时间关系。（4）解：联立求解，算出结果。2.解题关键：多过程运动的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，转折点速度的求解往往是解题的关键。【典例4】

据统计，开车时看手机发生事故的概率是安全驾驶的23倍，一辆小轿车在平直公路上以某一速度行驶时，司机低头看手机t＝2s，相当于匀速盲开x＝50m，该车遇见紧急情况，紧急刹车的距离（从开始刹车到停下来汽车所行驶的距离）至少是x0＝25m，根据以上提供的信息：（1）求汽车匀速行驶的速度v1和刹车的最大加速度a的大小；

答案

（1）25m/s

12.5m/s2

（2）若该车以v2＝108km/h的速度在平直高速公路上行驶时，前方s＝100m处道路塌方，该司机因低头看手机，t＝2s后才发现危险，司机的反应时间为Δt＝0.5s，则小轿车还可以直线运动的距离Δx有多长；若刹车加速度与（1）问中的a大小相等，判断（不需计算）汽车是否会发生交通事故。解析

（2）v2＝108

km/h＝30

m/s，司机看手机时，汽车发生的位移x1＝v2t＝60

m反应时间内发生的位移x2＝v2Δt＝15

m则小轿车还可以直线运动的距离Δx＝s－x1－x2＝25

m由于v2＞v1，而加速度相同，则（2）中司机从开始刹车到停下的距离比（1）中的大，故汽车会发生交通事故。答案

（2）见解析⁠1.[先加速后减速的运动问题]如图所示，很小的木块由静止开始从斜面下滑，经时间t后进入一水平面，两轨道之间用长度可忽略的圆弧连接，再经2t时间停下，则木块在斜面上与在水平面上位移大小之比x1∶x2和加速度大小之比a1∶a2为（

）A.1∶2

2∶1B.1∶2

1∶2C.2∶1

2∶1D.2∶1

1∶2

2.[往返运动问题]一质点做匀变速直线运动，已知初速度大小为v，经过一段时间速度大小变为2v，加速度大小为a，这段时间内的路程与位移大小之比为5∶3，则下列叙述正确的是（

）A.这段时间内质点运动方向不变D.再经过相同时间质点速度大小为3v

Part03聚焦“素养”·引思维⁠“形异质同”快解题⁠两类匀变速直线运动中的“形异质同”问题什么是“形异质同”和“形同质异”

“形异质同”是指遵循的物理规律相同，但情境新颖、信息陌生、物理过程独特的题目，对这类问题同学们往往感觉难度大，无从下手。这类问题看似陌生，实则与我们平时练习的题目同根同源，只不过是命题人巧加“改头换面”而已。这类问题我们称之为“形异质同”。

“形同质异”是指物理情境比较熟悉，物理过程似曾相识的题目，对于这类问题，又往往因审题不严、惯性思维，不注意题中所给条件的细微区别，而解答失误。这类问题我们称之为“形同质异”。类型一

水平刹车与沿粗糙斜面上滑【典例1】

汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是x＝24t－6t2，则它在前3s内的平均速度为（

）A.6m/sB.8m/sC.10m/sD.12m/s

答案

B【典例2】

如图所示，木板与水平地面间的夹角θ＝30°，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑。若让该小木块从木板的底端以初速度v0＝10m/s沿木板向上运动，取g＝10m/s2。则以下结论正确的是（

）B.小木块经t＝2s沿木板滑到最高点C.小木块在t＝2s时速度大小为10m/s，方向沿木板向下D.小木块滑到最高点后将静止不动

答案

D｜反思领悟｜

汽车在水平路面上的刹车问题和物体沿粗糙斜面上滑问题，表面上看是两种不同的问题，但是，若物体在斜面上满足mgsin

θ≤μmgcos

θ，则物体的运动规律与汽车在水平路面上的刹车问题是相同的。类型二

竖直上抛运动与沿光滑斜面上滑【典例3】

一物体自空中的A点以一定的初速度竖直向上抛出，3s后物体的速率变为10m/s，则关于物体此时的位置和速度方向的说法可能正确的是（不计空气阻力，g＝10m/s2）（

）A.在A点上方15m处，速度方向竖直向上B.在A点下方15m处，速度方向竖直向下C.在A点上方75m处，速度方向竖直向上D.在A点上方75m处，速度方向竖直向下

答案

C【典例4】

如图所示，一物块（可视为质点）以一定的初速度从一足够长的光滑固定斜面的底端开始上滑，在上滑过程中的最初5s内和最后5s内经过的位移之比为11∶5。忽略空气阻力，则此物块从底端开始上滑到返回斜面底端一共经历的时间是（

）A.8sB.10sC.16sD.20s

答案

C｜反思领悟｜

物块沿光滑斜面上滑时先做匀减速运动再反向做匀加速运动，且加速度的大小和方向均相同，其运动规律与竖直上抛运动规律相同。Part04锁定“目标”·提素能⁠1.（2023·南京检测）一辆汽车在平直公路上做刹车实验，从t＝0时刻起汽车运动过程的位移与速度的关系为x＝（10－0.1v2）m，下列说法中正确的是（

）A.上述过程的加速度大小为0.2m/s2B.刹车过程持续的时间为2sC.t＝0时刻的速度为5m/sD.刹车过程的位移为5m

2.如图所示，一辆长为14m的公交车出站后做加速度大小为1.5m/s2的匀加速直线运动，公交车先后通过地面上的两条标线A、B，所用时间分别为4s和2s，则两条标线A、B之间的距离为（

）A.30mB.20mC.12.25mD.10m

3.一个质点正在做匀加速直线运动，用固定在地面上的照相机对该质点进行频闪照相，闪光时间间隔为1s，分析照片得到的数据，发现质点在第一次、第二次闪光的时间间隔内移动了2m，在第三次、第四次闪光的时间间隔内移动了8m，由此可以知（

）A.质点运动的初速度为0B.质点运动的加速度大小为6m/s2C.第一次闪光时质点的速度大小为1m/sD.从第二次闪光到第三次闪光这段时间内质点的位移大小为5m

4.一旅客在站台8号车厢候车线处候车，若动车一节车厢长25m，动车进站时可以看作匀减速直线运动。他发现第6节车厢经过他时用了4s，动车停下时旅客刚好在8号车厢门口，如图所示。则该动车的加速度大小约为（

）A.2m/s2B.1m/s2C.0.5m/s2D.0.2m/s2

5.如图所示，建筑工人常常徒手抛砖块，地面上的工人以10m/s的速度竖直向上间隔1s连续两次抛砖，每次抛一块，楼上的工人在距抛砖点正上方3.75m处接砖，g取10m/s2，空气阻力可以忽略，则楼上的工人两次接砖的最长时间间隔为（

）A.4sB.3sC.2sD.1s

6.如图所示，某同学在直线跑道上测试一辆汽车的加速和制动性能，汽车从t＝0时刻开始加速直到速度v＝108km/h，立即紧急制动，t＝13.5s时汽车停下。已知刹车位移为67.5m，加速过程和减速过程均看成匀变速运动。关于此汽车加速和减速过程说法正确的是（

）A.汽车的刹车时间为10sC.汽车加速过程、减速过程的时间之比为1∶2D.汽车加速过程、减速过程的位移之比为2∶1

7.（2023·南京高三模拟）高速公路的ETC电子收费系统如图所示，ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离。某人驾驶汽车以6m/s的速度匀速进入识别区，ETC天线用了0.3s的时间识别车载电子标签，识别完成后发出“滴”的一声，司机发现自动栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，汽车刚好紧贴栏杆停下。已知司机的反应时间为0.7s，刹车的加速度大小为5m/s2，则该ETC通道的长度约为（

）A.3.6mB.5.4mC.6.0mD.9.6m

⁠8.一辆汽车遇到险情紧急刹车，刹车过程做匀