2021-2022学年辽宁省名校联盟高二下学期6月份联合考试数学试题（解析版）

2021-2022学年辽宁省名校联盟高二下学期6月份联合考试数学试题一、单选题1．函数在区间上的平均变化率为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】根据平均变化率的定义计算即可【详解】由题，函数在区间上的平均变化率为故选：D2．已知四组不同数据的两变量的线性相关系数如下：数据组①的相关系数；数据组②的相关系数；数据组③的相关系数；数据组④的相关系数.则下列说法正确的是（

）A．数据组①对应的数据点都在同一直线上B．数据组②中的两变量线性相关性最强C．数据组③中的两变量线性相关性最强D．数据组④中的两变量线性相关性最弱【答案】B【分析】根据线性相关系数的性质逐个判断即可【详解】对A，数据组①的相关系数，故数据组①对应的数据点无线性关系，故A错误；对BC，数据组②的相关系数为4组中绝对值的最大值，故数据组②中的两变量线性相关性最强，故B正确，C错误；对D，数据组①的相关系数为4组中绝对值最小，故数据组①中的两变量线性相关性最弱，故D错误故选：B3．某校高二（3）班安排学生参加该校的“学雷锋活动周”，星期一至星期日每天安排人数如下：，，因不慎丢失星期六的数据，根据数据的规律，则星期六的数据为（

）A．17 B．19 C．21 D．25【答案】C【分析】易得从第3项起，每项均为前2项之和即可判断【详解】易得从第3项起，每项均为前2项之和，故星期六的数据为故选：C4．在等差数列中，若，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根据等差数列的下标和性质即可解出．【详解】因为，解得：，所以．故选：D．5．曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】B【分析】根据导数的几何意义可求得曲线在处的切线，再分别求解切线与坐标轴的交点即可求得围成的三角形面积【详解】由题，，故，又，故曲线在处的切线方程为，即，故切线与轴的交点分别为，故切线与坐标轴围成的三角形的面积为故选：B6．已知函数，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，再利用导数的定义可得，进而代入求解即可【详解】因为，则，所以，故，故，解得故选：B.7．设等比数列的各项均为正数，已知，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设等比数列的公比为，根据题意得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，又因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：C.8．已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式，再设，根据基本不等式求最小值即可【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号.故选：A.二、多选题9．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由基本初等函数的导数公式和导数的运算法则计算判断.【详解】为常数，，A错误；，，B正确；，C正确；，D错误.故选：BC10．记为等差数列的前项和，已知，则（

）A．是递增数列 B．C． D．的最小值为3【答案】BCD【分析】设等差数列的公差为，再根据与的公式可得，进而求得与的通项公式，再逐个判定即可【详解】设等差数列的公差为，则，解得，故，.故是递减数列，A错误；，B正确；，，故C正确；，当时，，因为函数的对称轴为，开口向下，故当时，取得最小值；当时，，函数的对称轴为，开口向上，故当时，取得最小值，综上有的最小值为3，故D正确；故选：BCD11．经市场调查，某产品宣传费用（单位：万元）与销售量（单位：万吨）的数据如下表所示：宣传费用1销售量6由表中数据得出关于的回归直线方程为，用回归方程进行预测，当宣传费用为2万元时，销售量为万吨，则（

）A．与之间呈正相关关系B．C．当宣传费用每提高2万元时，销售量估计增加了万吨D．当宣传费用为3万元时，销售量一定超过了10万吨【答案】AC【分析】由已知条件结合回归直线过样本点中心的性质，可计算出回归直线为.则A选项正确；B选项错误；因为一次项的系数为，结合回归直线的实际含义知C选项正确；回归直线只是一个预测的函数模型，不能断定当宣传费用为3万元时其销售量一定超过10万元，则D选项错误.【详解】由已知数据得，因为回归直线过样本点中心，结合已知条件可列出方程组，解得.则B错误，因为，所以A正确；因为，由回归直线的实际含义知C正确；回归直线只是一个预测的函数模型，只能预测而不能断定当宣传费用为3万元时其销售量一定超过10万元，则D错误.故选：AC.12．已知函数，则（

）A．在上单调递增B．在上单调递减C．D．的极小值大于0【答案】ACD【分析】分析可得得到关于对称，故可考虑设，分析的单调性，数形结合分析的正负区间，从而得到的单调性，进而得到的单调性与极值即可【详解】因为，故，即，故关于对称.故可设，即，为偶函数，则，画出与，考虑时的情况，易得两图象交点为与，当时，在上方，故，当时，在下，故.故当时，单调递增，当时，单调递减.又，故为的图象往左平移个单位，故当时，单调递增，当时，单调递减.又关于对称，故当时，单调递增，当时，单调递减.故A正确，B错误；又最大值，故C正确；又极小值，故D正确故选：ACD三、填空题13．已知数列满足，且，则___________.【答案】【分析】根据递推式倒推即可解出．【详解】因为，且，所以，解得，，解得，，解得．故答案为：．14．已知函数的定义域为为的导函数，若具有下列性质：①的值域为；②为奇函数；③对任意的，且，都有.则的一个解析式为___________.【答案】(答案不唯一)【分析】根据③可取函数为二次函数，再结合②①可确定函数解析式.【详解】由③知可为不含常数项的一次函数，所以函数可为二次函数，由②可知由①知所以满足题意，故答案为：(答案不唯一)15．某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各50名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男市民女市民当时，若没有的把握认为男､女市民对大会的评价有差异，则的最小值为___________.附：，其中【答案】【分析】根据定义算出的表达式，由题意得，结合可得出的最小值.【详解】由题意得并令，即，近似解得，即，注意到，故的最小值为.故答案为：.四、双空题16．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为，在图①中取的中点，以为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则___________；___________.【答案】

；

．【分析】依题可知，各等边三角形的面积成等比数列，公比为，首项为，即可求出以及，再根据分组求和法以及错位相减法求出．【详解】依题可知，各等边三角形的面积形成等比数列，公比为，首项为，所以，即；，而，设，，作差得：，所以，所以．故答案为：；．五、解答题17．2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织了团史知识测试，测试成绩分为优秀与非优秀两个等级.随机抽查了高一年级､高二年级各100名学生的测试成绩，统计如下表：高一年级成绩优秀非优秀女生人数3614男生人数3218高二年级成绩优秀非优秀女生人数446男生人数3812(1)根据给出的数据，完成下面的列联表：优秀非优秀合计女生男生合计(2)根据（1）中列联表，判断能否有的把握认为男､女生测试成绩的等级有差异？附，其中.【答案】(1)列联表见解析(2)没有的把握认为男､女生测试成绩的等级有差异【分析】（1）根据高一二的表格人数，逐项相加分析即可；（2）求出卡方再对比表格判断即可【详解】(1)由表格可知，高一年级､高二年级总共优秀女生人数为，优秀男生人数为，非优秀女生人数为，非优秀男生人数为，故优秀非优秀合计女生8020100男生7030100合计15050200(2)由（1）可得，故没有的把握认为男､女生测试成绩的等级有差异18．设数列是等比数列，其前项和为.(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求的通项公式；①是等比数列；②.(2)在（1）的条件下，若，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】设等比数列的公比为（1）若选①，根据是等比数列可知，再化简求解即可；若选②，根据两式相减可得公比，再代入求得即可（2）代入（1）中可得，再根据等比数列的前项和公式求解即可【详解】(1)设等比数列的公比为，若选①，根据是等比数列可知，又，故，，故，，，故，即，解得，故，此时，故即为等比数列符合题意，故若选②，由可得，即，故，故，解得，故(2)，故19．已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）对函数求导，解导数不等式可得函数的单调性.（2）有两个零点，即在上有两个不等的实数根，对函数求导，判断单调性极值，画出图像，结合图像可得答案.【详解】(1)函数的定义域为，当时，易知，在上为减函数，所以在上为减函数，且当时，当时，故函数的递增区间为，递减区间为.(2)有两个零点，所以在上有两个不等的实数根，即在上有两个不等的实数根，即直线与有两个交点，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，则的极大值为又，当时，，当时，由图可得要使直线与有两个交点，则，故实数的取值范围为.20．某企业积极响应“碳达峰”号召，研发出一款性能优越的新能源汽车，备受消费者青睐.该企业为了研究新能源汽车在某地区每月销售量（单位：千辆）与月份的关系，统计了今年前5个月该地区的销售量，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中.(1)根据散点图判断两变量的关系用与哪一个比较合适？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（的值精确到），并预测从今年几月份起该地区的月销售量不低于万辆？附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）结合散点图可知合适；（2）由题中所给的数据及公式计算回归方程，并进行估计即可.【详解】(1)比较合适(散点图中点的分布不是一条直线,相邻两点的纵坐标的差值是增大趋势,所以比较合适)(2)设,则，先建立y关于t的回归方程则所以y关于t的回归方程为，因此y关于x的回归方程为令，解得或（舍去），故估计从今年8月份起该地区的月销售量不低于万辆.21．设各项均不等于零的数列的前项和为，已知.(1)求的值，并求数列的通项公式；(2)证明：.【答案】(1)，，(2)见解析【分析】（1）当和时，可以求出，；当时，，两式相减化简得：，讨论为偶数和奇数时，数列的通项公式即可求出；（2）求出，令，再由裂项相消法求出，要证明，即证明，即证即可.【详解】(1)因为，当时，，所以，当时，，所以，又因为，当时，，两式相减得：，又因为，所以，当为偶数时，的奇数项是以为首项，公差为4的等差数列，所以，当为奇数时，的偶数项是以为首项，公差为4的等差数列，所以，所以，.(2)因为为等差数列，所以，所以，所以令，要证明，即证明，则，所以，即证，即证，即证，因为在上单调递减，所以.所以.22．已知函数.(1)求的极大值；(2)设、是两个不相等的正数，且，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得函数的极大值；（2）由已知条件可得出，设，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，可推导出，再利用函数在上的单调性可证得结论成立.【详解】(1)解：因为的定义域为，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，函数的极大值为.(2)证明：因为，则，即，由（1）知，函数在上单调递增