相似三角形应用举例课件人教版九年级数学下册

相似三角形应用举例

——第二十七章相似教学目标01.

运用相似三角形的数学模型解决实际问题

重点02.

通过例题的分析与解决,让学生进一步感受相似三角形在实际生活中的应用

03.通过从实际问题中抽象出相似三角形这一数学模型,巩固转化和建模思想,进一步培养学生分析、解决实际问题的能力

重难点

1.三个角分别相等，三边成比例的两个三角形相似学习这节知识之前大家先回忆以下几个问题1.什么是相似三角形？2.判定三角形相似的方法有哪些？3.相似三角形的性质有哪些？2.1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.2.三边成比例的两个三角形相似2.3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似2.4.两角分别相等的两个三角形相似学习这节知识之前大家先回忆以下几个问题1.什么是相似三角形？2.判定三角形相似的方法有哪些？3.相似三角形的性质有哪些？3.1相似三角形对应线段的比等于相似比3.2相似三角形周长的比等于相似比.3.3相似三角形面积的比等于相似比的平方.胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字路，被喻为“世界古代七大奇观之一”，塔的4个斜面正对东南西北四个方问，塔基呈正方形，边长约为230米.据考证，为建成大金字搭，共动用了10万人花了20年时间，原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低.在古希腊，有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.思考：泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的？探究一：根据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度思考：泰勒斯是如何测出OA的长的？思考：太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗？

金字塔的影子是等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF,又∠AOB=∠DFE=90°,两角分别相等的两个三角形相似，因此两三角形相似.如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.解：∵太阳光是平行的光线，因此∠BAO=∠EDF.又∵∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.∴，=134(m).∴因此金字塔的高度为134m.两角分别相等的两个三角形相似探究二：测量河宽的问题如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得

QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ.PRQSbTa思考：图中哪两个三角形相似，如何得到的？根据判定定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可以得到△PQR∽△PST或者根据两角分别相等的两个三角形相似得到△PQR∽△PST∴PQ×90=(PQ+45)×60.解得PQ=90.因此，河宽大约为90m.PRQSbTa∴

，解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST.即

，即45m90m60m构造相似三角形，利用相似三角形的判定定理和性质进行解答两角分别相等的两个三角形相似思考：你还有其他的方法可以测量河的宽度吗？解法二：如图，构造相似三角形EADCB例题巩固：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B

和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC

⊥BC

，用视线确定BC

和AE

的交点D．

此时如果测得BD

=80m，DC

=30m，EC

=24m，求两岸间的大致距离AB．EADCB30m24m80m解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，

∴△ABD

∽

△ECD.

∴

，即，解得AB=64.因此，两岸间的大致距离为64m.

EADCB30m24m80m两角分别相等的两个三角形相似总结：测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.探究三如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l

从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？分析：如图，设观察者眼睛的位置(视点)为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB，CD于点H，K.视线FA，FG的夹角∠AFH是观察点A的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了.由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端C.

解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E

与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.∴，即解得EH=8.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与