二次函数y=a(xh)2k的图像与性质课件人教版九年级数学上册

二次函数——y=a(x-h)2+k的图像与性质学习目标1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用.(重点）3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2

(a≠0)之间的联系.（难点）复习导入1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:(1)y=ax2(2)y=ax2+c(3)y=a(x-h)2yyyyxxxxOOOOyyyyxxxxOOOOyyxxOO2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？3.把y=-2x2的图像向上平移3个单位y=-2x2+3向左平移2个单位y=-2(x+2)24.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？

复习导入OXy3-2Oy3-2X复习导入二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质一授人以渔

合作探究：画出二次函数

的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．…………210-1-2-3-4x解:先列表再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.512345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10直线x=－1开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1)授人以渔试一试

画出函数y=2（x+1）2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2)y=2（x+1）2-2授人以渔-22xyO-2468-424二次函数y=a（x-h)2+k的特点a＞0时，开口

,最

点是顶点;a＜0时，开口

,最

点是顶点;对称轴是

，顶点坐标是

.向上低向下高直线x=h(h,k)授人以渔顶点式授人以渔二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系二授人以渔想一想怎样移动抛物线就可以得到抛物线？向左平移1个单位12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10平移方法1向下平移1个单位12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10怎样移动抛物线

就可以得到抛物线？平移方法2向左平移1个单位向下平移1个单位授人以渔二次函数y=ax2

与y=a（x-h)2+k的关系可以看作互相平移得到的.y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.授人以渔1.请回答抛物线y=4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.2.如果一条抛物线的形状与形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.牛刀小试例题精讲二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质一、y=a(x-h)2+k的顶点、对称轴和最值问题二、y=a(x-h)2+k的图像变换问题题型归纳三、y=a(x-h)2+k

的图像性质六、二次函数y=a(x-h)2+k与一次函数综合问题四、利用y=a(x-h)2+k

的增减性比较y值大小五、

y=a(x-h)2+k

的图像问题七、y=a(x-h)2+k与几何图形的综合八、y=a(x-h)2+k实际应用等综合问题题型一、y=a(x-h)2+k的顶点、对称轴和最值问题例1：

完成下列表格:二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上(1,－2)向下向下(3,7)(2,－6)向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3,5)y=－3(x－1)2－2y=4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－6

二次函数y=a(x-h)2+k顶点与对称轴问题：画出图像，根据图像特征判断，当a>0时，开口向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k），最小值为k；当a<0时，开口向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）,最大值为k.归纳

将抛物线y=2(x-4)2-1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得的抛物线的解析式为（

）

A.y=2x2+1

B.y=2x2-3

C.y=2(x-8)2+1

D.y=2(x-8)2-3题型二、y=a(x-h)2+k的图像变换问题例2：

A

根据抛物线平移的规律，“左加右减，上加下减”，确定函数的关系式即可.归纳

对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是(﹣1，2)

D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型三、y=a(x-h)2+k

的图像性质例3：

D

抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h，k)，对称轴是直线x＝h.当a>0时，开口向上，有最小值，当x<h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，有最大值，当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而减小.归纳

已知函数y=(x-2)2的图象上有A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1题型四、利用y=a(x-h)2+k

的增减性比较y值大小例4：

B

讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．通过作图，可以根据自变量的值描出所对应的因变量的值，越向上数值越大，来判断y的值的大小.归纳

二次函数y=(x-1)2+1的大致图象是（）

A．

B．

C．

D．题型五、y=a(x-h)2+k

的图像问题例5：

B

解题技巧：二次函数y=a(x-h)2+k图像问题：先看开口方向，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下；其次看对称轴，对称轴为直线x=h；再根据顶点坐标为（h，k），判断函数最值问题；最后根据图像选择正确的答案.归纳

已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．

题型六、y=a(x-h)2+k与点坐标确定解析式例6：

已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．归纳

如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示)

题型七、y=a(x-h)2+k与几何图形的综合例7：

a+4

二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．归纳

要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?

题型八、y=a(x-h)2+k实际应用等综合问题例8：

二次函数的实际应用等综合问题，需要构建合理的直角坐标系，尽量简化表达式，根据所求表达式解决相关问题．归纳习题精练练习1：

题型精练D

二次函数y=(x+2)2-1的图象大致是（）

把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________.

练习2：

题型精练

抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为______________练习3：

题型精练练习4：抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到y=-3x2.

题型精练

已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.练习5：

题型精练练习6：

题型精练

如图是二次函数y=a(x+1)2+2的图像的一部分，该图像在y轴右侧与x轴交点的坐标是为

.(1,0)练习7：

题型精练

如图,把抛物线

平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6,0）和原点，它的顶点为P，它的对