2023-2024学年四川省达州外国语学校高二（上）9月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省达州外国语学校高二（上）月考数学试卷（9月

份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在空间直角坐标系。―xyz中，已知点M是点N（3,4,5）在坐标平面。xy内的射影,则点M的坐标是（）

A.(3,0,5)B.(0,4,5)C.(3,4,0)D.(0,0,5)

2.一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（

正（主）视图

3.如图所示，梯形AB'C'D'是平面图形力BCD用斜二测画法画出的图形，A'D'=

2B'C'=2,=则平面图形4BCD的面积为（）

X'

A.2B.2V-2C.3D.3V-2

4.如图，如图，G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH,MN是异面直线的图形

的序号为（）

A.①②B.③④C.①③D.②④

5.下列说法正确的是（）

A.如果直线］不平行于平面a,那么平面a内不存在与/平行的直线

B.如果直线”/平面a,平面a〃平面?，那么直线〃/平面0

C.如果直线/与平面a相交，平面a〃平面.，那么直线/与平面0也相交

D.如果平面al平面y,平面0，平面y,那么平面a〃平面£

6.已知正三棱台的上、下底面的棱长分别为3和6,侧棱长为2,则该正三棱台的体积为（）

A19GB21cc19G口21口

'2'2'4'4

7.如图，球面上有4、B、C三点，Z.ABC=90°,B4=BC=3,球心。到平面ABC的

距离是|「，则球体的体积是（）

A.727r

B.367r

C.187r

D.871

8.如图正方体的棱长为1,线段反以上有两个动点E,尸且EF=好，则下列结论错误的是（）

A.4C与BE所成角为45。B.三棱锥A-BEF的体积为定值

C.EF〃平面ABCDD.二面角4-EF-B是定值

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.以下各角中可能为钝角的有（）

A.异面直线所成角B,直线和平面所成角C.二面角的平面角D.两个向量形

成的角

10.谏恋花•春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作，其下阕为：“墙里秋千墙

外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假

如将墙看做一个平面，墙外的道路、秋千绳、秋千板简单看做是直线.那么道路和墙

面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行,那么当

佳人在荡秋千的过程中（）

A.秋千绳与墙面始终平行

B.秋千绳与道路始终垂直

C.秋千板与墙面始终垂直

D.秋千板与道路始终垂直

11.如图，已知二面角A-BD—C的大小为aG,H分别是BC,CD的中点，E,F分

别在AD,上，煞=*=：,且ZC1平面BCD,则以下说法正确的是（）

ADAD6

A.E,F,G,，四点共面

B.FG〃平面ADC

C.若直线FG,HE交于点P,则P,A,C三点共线

D.若△ABD的面积为6,则△BCD的面积为3

12.优章算术/中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖席，如图,

在鳖膈P-ABC中，PA1平面ABC,AB1BC,S.AB=2.若鳖腌P-力BC外

接球的体积为36兀，则当该鳖席的体积最大时，下列说法正确的是（）

A.PA=4

B.BC=4

C.该鳖臊体积的最大值为?

B

D.该鳖臊的表面积为8+87-5

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量五=(2,-1,3),K=(-1,1,%),若五与坂垂直，则团+2而=.

14.如图，在直三棱柱4BC-4遇1的中，4C=BC=CCltAC1BC,点。是4B的中点，则直线当8和平面。)当

所成角的正切值为.

15.如图三棱柱4BC-a当6中，侧面BBiGC是边长为2菱形

NCBBi=60°,BG交&C于点0,力。1侧面BB1&C,且△力为等腰

直角三角形，如图建立空间直角坐标系0-xyz,则点儿的坐标为

16.在边长为6的菱形4BCO中，N4=申现将AHB。沿BO折起，当三棱锥4-BC。的体积最大时，三棱锥

A-BCD的外接球的表面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

如图，某几何体的下部分是长、宽均为8,高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求:

(1)该几何体的体积；

(2)该儿何体的表面积.

18.(本小题12.0分)

如图所示，已知圆柱的侧面展开图的面积为6兀，底面直径BO=2,C为底面上异于B,D的点，且NBOC=30°.

求：

(1)二面角力-CD-B的余弦值;

(2)点B到平面4CD的距离.

19.(本小题12.0分)

如图所示，底面为正方形的四棱锥P—48CD中，AB=2,P4=4,PB=PD=2<5,AC与8。相交于点。,

E为PD中点.

(1)求证：EO〃平面PBC；

(2)P4上是否存在点F,使平面OEF〃平面PBC,若存在，请指出并给予证明：若不存在，请说明理由.

20.(本小题12.0分)

在四棱锥Q—ABC。中，底面4BCD是正方形，若AD=2,QD=QA=R，QC=3.

(1)求证：平面。4。1平面4BC。；

(2)求异面直线QC与4。所成角的余弦值.

21.(本小题12.0分)

如图，在直三棱柱4BC—AiBiCi中，AB=BC=CC^=V-ABA.BC.

(1)求证:ACi1BC

(2)求Bi。与平面44。传所成的角的大小.

22.(本小题12.0分)

已知在梯形4BC。中，AD//BC,乙4BC=NBAD=*AB=BC=2AD=4,E,F分别是AB,CO上的点,

EF//BC,AE=2,沿EF将梯形ABC。翻折，使平面AEFDJ"平面EBCF(如图).

(1)证明:EF1平面ABE；

(2)求二面角。-BF-E的余弦值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：根据题意，点N(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影为(3,4,0),

结合空间中点的坐标运算可得点M的坐标是(3,4,0).

故选：C.

根据空间中点的坐标运算可解.

本题考查空间中点的坐标运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、。不正确;

几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确.

故选：B.

通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可.

本题考查三视图的画法，几何体的结构特征，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：如图，

作平面直角坐标系％-。一小使4与。重合，AD在z轴上，且4。=2,AB在y轴上，且4B=2,

过8作BC〃4D,且BC=1,则四边形ZBCD为原平面图形，其面积为S=*1+2)x2=3.

故选：C.

由题意还原原四边形，再由梯形面积公式求解.

本题考查利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，熟记画法是关键，是基础题.

4.【答案】D

【解析】【分析】

判定异面直线的方法：①根据它的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的

直线是异面直线."②定义法：不在同一个平面内的.两条直线称为异面直线；③反证法：既不平行又不

相交的直线即为异面直线.

本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力.

【解答】

解：异面直线的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线.”

根据异面直线的判定定理可知：在图②④中，直线GH、MN是异面直线；

在图①中，由G、M均为棱的中点可知：GH//MN；

在图③中，;G、M均为棱的中点，.•・四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交.

故选：D.

5.【答案】C

【解析】解：对于4,如果直线I不平行于平面a,那么当2ua时，平面a内存在与I平行的直线，故A错误；

对于B,如果直线〃/平面a,平面a〃平面处那么直线1〃平面/?或直线/u平面口，故3错误；

对于C,如果直线，与平面a相交，平面a〃平面.，那么由面面平行的性质得直线/与平面口也相交，故C正

确；

对于D,如果平面al平面y,平面01平面y,那么平面a与平面/?相交或平行，故。错误.

故选：C.

对于4,当a时，平面a内存在与I平行的直线；对于8,直线〃/平面6或直线1u平面色对于C,由面面

平行的性质得直线I与平面0也相交；对于0,平面a与平面/?相交或平行.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，

是中档题.

6.【答案】D

【解析】解：因为正三棱台的上、下底面的边长分别为3,6,

所以上下底面面积分别为S'=tx孕X32="XS=:x孕X62=9"

22422

如图，连接上下底面中心。。1，则。01即为三棱台的高，过B作BCLA01，垂

足为C,

设。。1=BC=h,AC=AO1—C01=AO1—B0,

又上下底面外接圆半径分别08=：、靠=，？，0M=；x端=2，？，侧棱长为4B=2,

所以正三棱台的高为。。1=BC=7AB2-AC?=22-马/=1，

所以其体积为v=g/i（S，+S+yTs^）=IX1X（学+9c+J空义9<3）=丐三

故选：D.

先利用勾股定理求出三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解.

本题考查正三棱台的体积计算，考查运算求解能力，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：由题意，/.ABC=90°,/.ABC=90°,BA=BC=3,贝必C=3y/~2,

球心到平面力BC的距离为|4,正好是球心到4C的中点的距离，

所以球的半径是：J（亨）2+（吗1=3,

球的体积是：［兀,33=36”，

故选：B.

由题意球心。到平面4BC的距离是|「，正好是球心到4c的中点的距离，可求出球的半径，然后求球的表

面积.

本题考查球的内接体问题，考查学生空间想象能力，是中档题.确定三角形4BC的形状以及利用球半径与

球心。到平面4BC的距离的关系，是解好本题的前提.

8.【答案】A

【解析】解：力」,在正方体中，力C1平面BDDiBi，BEu平面BDDiBi，

■.AC1BE,即4c与BE所成角为90。，故A错误，

B-AC，平面BDD1B1，4至I」平面BEF的是巨离为定值，

△BEF的底EF为定值，高为为定值，.•・三棱锥A-BEF的体积为定值，故8正确，

C.EF//BD,由线面平行的判定定理可得，EF〃平面4BCD成立，故C正确，

D二面角4-EF-B等价为二面角4-AB1-B,则二面角4一QB1一B的大小为定值，故。正确，

故错误的是4

故选：A.

根据空间直线和平面平行以及二面角，体积公式，分别进行判断即可.

本题主要考查命题的真假关系，结合空间直线和平面位置关系以及体积公式，二面角的定义是解决本题的

关键.

9.【答案】CD

【解析】解：根据异面直线、线面角、二面角、向量所成角的定义可知，对于4,异面直线所成角的范围为

(0,刍，A错误；

对于B,直线和平面所成角的范围为［0,a，B错误；

对于C,面角的平面角的范围为［0,可，C正确；

对于D,两个向量形成的角的范围为［0,可，。正确.

故选：CD.

根据异面直线、线面角、二面角、向量所成角的定义可解.

本题考查异面直线、线面角、二面角、向量所成角的定义，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面绐终平行，

但与道路所成的角在变化而秋千板与墙面垂直，

故也与道路始终垂直.

故选：ACD.

根据己知条件结合线面垂直的性质和面面垂直的性质可得结论.

本题考查了线面垂直的性质和面面垂直的性质，属基础题.

11.【答案】ACD

【解析】解：G,H分别是BC,CD的中点，可得G/7//BD,

E,F分别在AD,ABk,若=*=可得EF〃BD,

则EF〃GH,所以E,F,G,"四点共面，故A正确；

由于EF=”D,GH=加,即有EF<GH,则直线EF与直线GH相交，交

点为P,

由P在直线EH上，而P在平面ZCD内，则直线FG与平面4CD相交，故8错误；

直线EF与直线GH相交，可得P既在平面4co内，也在平面ABC内，

则P在平面4CD和平面4BC的交线4C上，故C正确；

4CJ■平面BCO,过C作CMJ.80,垂足为M,连接AM,由三垂线定理可得4M180,

则乙4MC为二倍角力-BD-C的平面角，在直角三角形ACM中，NAMC=60。，

CM=^AM,S^ABD=\BD-AM=6,则S“BD=•CM=；x6=3,故£>正确.

故选：ACD.

由中位线定理和平行线分线段成比例的判定定理，可判断4由直线和平面的位置关系可判断B；由两个相

交的公理可判断C；由三垂线定理可得二面角的平面角，结合三角形的面积公式，计算可判断D.

本题考查空间选线线、线面和面面的位置关系，主要是线面平行、垂直的判断和性质，二面角的平面角的

求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：因为四个面都为直角三角形，所以PC的中点。到四个顶点的距离都相等，

故点。是鳖膈外接球的球心，所以外接球的体积为36兀，

所以外接球半径R=3,

故PC=6.设P4=a,BC=b,

i^LPA2+AB2BC2=PC2,解得Q2+/)2=32,

土仇711oLa2+b216

故"-4BC=ox^x26xa=-ah<-x---=—»

当且仅当a=b=4时，/YBC取得最大值热

此时PB=AC=V42+22=2y/~5,

所以表面积S=2x；x2x4+2xgx4x2屋=8+8AT5.

故选：ABD.

根据鳖臊的几何特征，分别根据外接球半径求出边长判断48选项；

根据体积及表面积公式计算判断C,。选项即可.

本题主要考查几何体的表面积，属于中档题.

13.【答案】V-26

【解析】解：向量五=(2,-1,3),b=(―l,l,x)>a与其垂直,

'.a-b=-2—l+3x=0<

解得x=1，

•■a+2b=(0,1,5)，

\a+2b\=『。2+12+52=V-26.

故答案为：V26-

由，与3垂直，解得x=1,从而W+2弓=(0,1,5)，由此能求出|五+231.

本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质、向量坐标运算法则等基础知识，考查推理论证能力，是

基础题.

14.【答案】亨

【解析】解：AC=BC,。是4B的中点，所以CDLAB,

在直三棱柱中，BBiJ.CD,

由于4BnBBi=B,所以CDJ■平面4BB1人.

过8作8E1B1。，垂足为E,

则CD1BE,

由于C£)nBiD=D,所以BD_L平面COB1，

所以NB&E是直线和平面COB1所成角，

./DDcBD\AByj~2

所以直线B]B和平面。。为所成角的正切值为好.

故答案为：£2.

作出直线B1B和平面CDB1所成角，由此求得所成角的正切值.

本题主要考查线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题.

二点4的坐标为(-C,1,1).

故答案为：（―V-3,1,1）.

过点&作&E1平面BCC/i，连接BiE,GE,则BiE〃OG，CXE//OBX,AXE//AO,由此可求得点儿的坐

标.

本题考查空间中点的坐标运算，属于基础题.

16.【答案】60兀

【解析】解：边长为6的菱形ABCD,在折叠的过程中，

当平面4BD1平面BCD时，三棱锥的体积最大；

如图所示：

在平面48。中，设点尸为△ABD的中心，在平面BCD中，设点H为△BCD的中心：

由于48=AB=AD=CD=BC=6,

取BO的中点E,连接4E、CE,

所以4E=V62-32=3<3,

则EF=OH=C，CH=2<3，

故三棱锥A-BCD的外接球的半径R=J（口2+（2「）2=E，

故S球=4・兀・（C5）2=60兀.

故答案为：607r.

首先求出三棱锥的体积最大时平面ABO_L平面BCE）,进一步求出外接球的球心和半径，最后求出球的表面

积.

本题考查的知识要点：三棱锥体和外接球的半径的确定，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数

学思维能力，属于基础题.

17.【答案】解：连接&CrBi。1交于点。，取当6的中点E,连接P0,

OE,PE,

(1)V长方如=8x8x3=192,

^p-AiB1ciD1=§x8x8x3=64.

Vd=192+64=256；

(2)•；PO=3,OE=4,

•••PE=VPO2+0E2=5>

S四棱锥侧=4xgx8x5=80,

S长方体=4x8x34-8x8=160,

S总=80+160=240.

【解析】(1)按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可;

(2)先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，进而求长方体的表面积，求和即可.

本题考查了儿何体表面积和体积的计算，属于中档题.

18.【答案】解：(1)丫BD是底面的直径，C为底面上异于8,。的点，•••CD1BC,

又AB_L平面BCD,CDu平面BC。，AB1CD,

又BCCMB=B,BC,ABu平面ABC,

CD1平面ABC,又ACu平面ABC,二CD1AC,

.♦.乙4cB为二面角4-CD-B的平面角.

••・圆柱的侧面展开图的面积为6兀，底面直径BD=2,

2-rtxAB=6TT,AB=3,在RtABOC中，/.BDC=30°,所以BC=^BD=1,

在RtZiHBC中，AC=V10>所以cos/TlCB=装=="，

AC10

所以二面角4-CD-B的余弦值为哥；

(2)在平面4BC中，作BE14C于E,由(1)知CDJ_平面ABC,

又BEu平面4",则CD1BE,

•••CDQAC=C,CD,ACu平面4CD,所以BE_L平面AM

即BE为点B到平面4C。的距离,

在RtAABC中，8七=些"=型卫，

AC10

即点B到平面4CD的距离为端I

【解析】(1)依题意可得AB，CD,证明CD_L平面4BC,即可得到CD1AC,则乙4cB为二面角4一CD-B的

平面角，再由锐角三角函数计算可得；

(2)在平面ABC中，作BE1AC于E,即可证明BE_L平面ACD,即BE为点B到平面ACD的距离，在Rt△4BC中，

利用等面积法求出BE,即可得解.

本题考查二面角的求解，点面距的求解，化归转化思想，属中档题.

19.【答案】解：(1)证明：由底面为正方形的四棱锥可得。为8。的中点，再由E为PD的中点，

可得0后为4PBD的中位线，

所以。E〃PB,

而OEU面PBC,PBu面P8C,

所以可证得OE〃面PBC；入、

(2)存在P4的中点F,使得平面。EF〃平面PBC；A

因为E,F为中点，所以E/7/40,/\\

因为4O〃BC,所以EF〃BC,/A'\\..

EFC面PBC,BCu面PBC,/“。\/

所以EF〃面PBC,

再由(1)及EFnOE=E,

所以可证得面OEF〃面PBC.

【解析】(1)由题意可得。为BD的中点，及OE为APBC的中位线，可证得OE〃PB,再由线面平行的证法，

可得线面的平行；

(2)取P4的中点F,可证得EF〃BC,再由(1)可得两个面平行.

本题考查线面平行的证法及面面平行的证法，属于中档题.

20.【答案】解：(1)证明：取4。的中点。，连接QO,OC,

因为力D=2,QD=QA=C，QC=3,可得Q0J.4D,

而Q。nOC=。，

所以QO1平面/BCD,

QOu平面Q4D,

所以平面。4。1平面4BCD；

(2)因为AD〃BC,连接BO,

则BC与QC所成的角为异面直线QC与所成的角，

所以NBCQ或它的补角为所求的角，

由题意可得QC=QB=3,BC=2,

BC

所以cos/BCQ=企=*,

即异面直线QC与4D所成角的余弦值为全

【解析】(1)取4。的中点0，由题意可得Q01AD,再证得Q010C,可证得平面QA。1平面4BCD；

(2)通过平移直线可得异面直线所成的角，在三角形中求出它的余弦值.

本题考查面面平行的证法及异面直线所成的角的求法，属于中档题.

21.【答案】证明：(1)连接BC】与&C相交于点D,如下图所示

B

在直棱柱中，BBi_L平面4BC,48u平面4BC,

BB11AB,

又4B1BC,BCCBBi=B,BC,BB】u平面BBCC,

所以，ABJL平面BBiQC,

又•:BrCu平面BBiGC,二AB1BrC

•••BC=CCi，.•.四边形BCC$i为菱形，即BiC_LBG

又•；ABCBG=D,且/B,BGu平面/BQ,

•••BiC_L平面ABQ,又•；AC】u平面

JLACr.

(2)取41G的中点E，连接BiE,CE.如下图所示；

B

>11F1=B1C1,AXE=ECX,•••BXE1/11C1

又•••CG1平面GIG，BtEu平面&BiG，

:.CG1B1E,

又•••AiCiDCC]=G，且4G，CCiU平面44CC,

BXE_L平面aaqc,

CE是CBi在面Z&GC内的射影，々EC/是CBi与平面441GC所成角的平面角.

•••在Rt△CEB1中，易知B1E=1,5=2,

•••sin/ECBi—第-I，:.乙ECB[=30°

即CBi与平