2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学高一（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学高一（上）开学数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若双曲线y=”的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（）

A.fc<1B.fc>1C.0<fc<1D.k<1

2.如图，一次函数为=x+l的图象与反比例函数为=：的图象交于4、B两点，

过点4作AClx轴于点C,过点B作BO_Lx轴于点C,连接4。、BO,下列说法正

确的是（）

A.4和点B关于原点对称

B.当％<1时，y]>y2

C.SMOC=SABOD

D.当x>0时，yi、丫2都随x的增大而增大

3.如图，△力BC中，点。是边BC上一点，下列条件中，不能判定△力BC与

△力相似的是（）

A.AB2=BDBC

B.ABDA=ABAC

C./.ADC="+NB

D.AD-BC=AB-AC

4.如图，反比例函数y=，与y=《的图像上分别有一点4,B,且4B〃x轴，AD1.x

轴于D,BC_Lx轴于C,若矩形4BCD的面积为8,则a=（）

A.-2

B.-6

C.2

D.6

5.如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是4D、4B的中点，EF交4;于

点G,那么47：GC的值为（）

A.1：2B.1：3C.1：4D.2：3

6.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则

sinA的值为()

A3

A5

4

B3

cl

4

D.

5

7.已知，直角坐标系中，点E(-4,2),点以。为位似中心，按比例尺2：

1把AEF。缩小，则点E的对应点E'的坐标为()

A.(2,-1)或(-2,1)

B.(8,-4)或(-8,4)

C.(2,-1)

D.(8,-4)

8.如图，△480的面积为10,BCVAB,AC1DE,A8=5,点E在AB上，则空的值女

是

1

-

AB.2

2

-

c5

4

-

D5

5

4-

二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)

9.如图，在△ABC中，点。，E分别在边AB,4c上，HDE//BC,若S*DE=S四边形DBCE，

唬=

10.若反比例函数y=(rn+l)x3-m2的图象在第二、四象限，巾的值为.

11.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME14M,ME交CD于点F,交4。的延长AD

线于点E,若28=4,BM=2,则ADEF的面积为

BMC

12.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网(网高1m),而且落在

离网47n位置上，则根据图中的数据可知，球拍击球的高度八为

m.

13.如图，点4,£)是反比例函数y=g(k>0)上的点，过D作CDlx轴，连接。4交CD

于点B,若OB=24B,且A/ICD的面积为5,则k的值为.

14.如图，点4(-3,4)在反比例函数y=：(/c羊0)的图象上，点B在坐标轴上，若△OAB是

以04为腰的等腰三角形，则AAOB的面积为.

三、解答题(本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15.(本小题12.0分)

如图，在平面直角坐标系中，己知AABC三个顶点的坐标分别为4(一4,4),5(-6,-2),C(-4,0).

⑴以点0为位似中心，将△4BC缩小为原来的,得到MiBiCi，在y轴的右侧画出AAiBiG；

(2)在(1)的条件下，写出点4、B、C的对应点&、B］、G的坐标.

16.(本小题12.0分)

如图，等边△4BC的边长为5,点P为BC上的一点，点。为4c上的一点，连接4P、PD/APD=60。.若PC=3,

求CO的长.

17.(本小题12.0分)

如图，函数y=隹(:荔|郛图象与双曲线y=0)相交于点2(3,m)和点艮

(1)求双曲线的解析式及点8的坐标；

(2)若点P在y轴上，连接P4PB,AB,求当△PAB周长的值最小时点P的坐标.

18.（本小题12.0分）

青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，这里有最齐全的樱花品种.小丽和小华在阳光明媚的周末去青龙寺赏樱

花，他们看到一棵正在盛开的樱花树，想用所学知识测量这棵樱花树的高度.方法如下：如图，小华在某一

时刻测得站立在E处小丽的影长EG=1.6m,在同一时刻测量樱花树的影长时.，因树靠近墙面，影子有一部

分落在墙上，他测得落在墙上的影长CD=2m；然后，小华在樱花树和墙面之间平放一平面镜，在镜面上

做了一个标记，这个标记在直线CE上的对应位置为点M,镜子不动，小华看着镜面上的标记来回走动，走

到点N时，恰好在镜面标记点处看到樱花树顶端4,这时测得小华的眼睛距地面的距离HN=1.5m,CN=

0.6m,MN=0.8m.已知点G、B、N均在直线EC上，EF1EC,HN1EC,AB1EC,CD1EC,小丽的身

高EF=1.6机，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出樱花树

4B的高（结果精确到0.1m）.

19.（本小题12.0分）

通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣

激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的

函数图像如图所示，当0<x<10和10<x<20时，图像是线段；当20<x<45时，图像是反比例函数图

像的一部分.

(1)求图中点A的坐标；

(2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合

题讲解时，注意力指标都不低于36?请说明理由.

0102045H（分钠

20.(本小题12.0分)

如图，等腰RtZiABC,44cB=90。，分别以AB,4c为边长在4B同侧作等边△4BD和等边△4CE,AD^jCE

相交于点F，连接DE,DC.

(1)求证：BC=DE；

(2)求证：CD2=AC-FC；

(3)已知AB=2,求线段EF的长.

21.(本小题12.0分)

已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=:的图象相交于4(一1,2),B(2,n)两点.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求△AOB的面积；

(3)根据图象直接写出当kx+b<?时，％的取值范围.

22.(本小题12.0分)

抛物线、=。/+学X-6与％轴交于4«,0),8(8,0)两点，与y轴交于点C,直线y=此一6经过点B.点P在抛

物线上，设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的表达式和3k的值；

(2)如图1,连接AC,AP,PC,若A/IPC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；

(3)如图2,若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQLBC,垂足为Q,求CQ+gpQ的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为双曲线y=”的图象的一支位于第三象限，

所以4一1>0,所以k>1,所以k的取值范围是k>l.

故选：8.

反比例函数y=£的图象是双曲线，当k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，可求解.

本题考查反比例函数的图象，属基础题.

2.【答案】C

【解析】解：对于选项4、联立y=x+1和y=把y=x+1代入y=夕导：x+1=|.

解得：%i=-2,x2=1-

代入y=x+1得：yi=-1，y2=2f

・・・/、8关于原点不对称，故本说法错误.

对于选项B、由图象知，当0<%V1时，一次函数yi=%+1的图象在反比例函数丫2=（的图象下方，即为<

y2,故本说法错误.

对于选项C、1S&AOC=2x1x2=1，S&BOD=]X]-2|x|-1|=1,

・',S^AOC=S^BOD，故本说法正确•

对于选项。、当久>0时，yi随工的增大而增大，为随汇的增大而减小，故本说法错误.

故选：C.

求出两函数式组成的方程组的解，即可得出4、B的坐标，即可判断.

本题考查函数图象的运用，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：A.vZ.B=又AB?=BD•BC,・.・黑=器，

BDAB

••△BAD〜ABCA,A项不符合；

B-Z.BDA=Z.BAC,乙B=,:ABAD八BCA,B项不符合；

C.vZ.ADC=(C+乙B,Z.ADC=乙BAD+乙B,••Z-C=乙BAD,

,:乙B=乙B,BAD~ABCA,C项不符合；

AnAC

O.・・・4D=48•AC,・•.当=熬,•:乙B牛乙BAD,

ABBC

・•,不能判定△ABC^^4BD相似.

故选：D.

根据三角形相似的判定定理依次判断各个选项即可.

本题考查三角形相似的判定定理，属于中档题.

4.【答案】C

【解析】解：根据反比例函数y=-?与丫=:的图像上分别有一点力，B,且AB〃x轴，力。1x轴于D,BCA.X

轴于C,

设B的纵坐标为b,横坐标为。，则4的纵坐标为b,横坐标为-?，

bb

矩形ZBCD的面积为：+关）=a+6=8,

Q—2.

故选：C.

设出B的纵坐标，求解横坐标，求解4的坐标，利用矩形的面积转化求解即可.

本题考查函数的图象的应用，面积的求法，是基础题.

5.【答案】B

【解析】解：连接80,与4C相交于0,

•••点E、F分别是4。、力B的中点，

•­•EF//DB,且EF=^DB,

AEF^b.ADB,

AE_AGEF_AE_1.AG_1

"AD=Ad'"'DB=AD=2,■•而=2'

即G为力。的中点，--AG=GO,又。4=0C,.-.AG：GC=1：3.

故选:B.

根据平行四边形的性质，得出两个三角形相似，利用相似比即可得出答案.

本题考查平行四边形的性质，三角形相似的性质，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：如图所示：作CD1AB交于。，贝i]AD=3,CD=4,

由勾股定理得4c=VAD2+CD2=5.

^RtLACD^,sinA=^=l

故选：D.

作C014B交于D,可得AD,CO的值，由勾股定理可得4c的值，进而求出s讥力的值.

本题考查勾股定理的应用，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：•••点E（-4,2）,

故点E的对应点E'的坐标为（-4x；,2X；）或（-4x（-今,2x（一今），即（2,—1）或（一2,1）.

故选：A.

根据已知条件，结合中点坐标公式，即可求解.

本题主要考查中点坐标公式，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：作。尸1AB交4B于F,

•••△ABD的面积为10,AB=5,

1-

・'•S^ABD—2AB•DF=10,・•・DF=4,

•••BCLAB,AC1DE,设DE交AC于M,则四边形BCME为圆内接四边形,

・•・Z-ACB=乙DEF,

•••乙DFE=4ABC=90°,DFEfABC,

£F_£F_4

~AC~~AB~S'

故选：C.

作DF_LAB交AB于尸，由△ABD的面积，可得DF的值，由对角互补，可得BCME为圆内接四边形，可证得

△DFEsXABC,进而可得装的大小.

/1C

本题考查三角形相似的性质的应用及四点共圆的性质的应用，属于中档题.

9.【答案】1

【解析】解：•­•DE//BC,/!£)£,-△ABC,

又'JS^ADE=S四边形DBCE，

*'•SfDE:ABC=1：2，

由相似三角形的面积之比等于对应边比的平方的性质可知：AD：AB=1：

•••*AD：DCB=T1：(<2-1),

故答案为：y/~2—1.

由DE〃BC,可得△可得面积之比等于对应边之比的平方，再由=S四边形DBCE，可得SA.DE：

S—BC=1：2,可得4D：AB=1：\T~2I进而可得病的大小.

本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的面积之比等于对应边比的平方的性质应用，属于基础题.

10.【答案】-2

【解析】解：y=(m+1)/-7nz是反比例函数，...3—源=-1,解得：m=+2.

•••函数图象在第二、四象限，m+1<0,解得：m<-l..-.m=-2.

故答案为：-2.

利用反比例函数的定义，结合图象的特征，转化求解即可.

本题考查反比例函数的定义的应用，是基础题.

11.【答案】9

【解析】解：,••四边形4BC0是正方形，AB=4,BM=2,

:•CD=BC=AB=4,NB="=^ADC=90°,AD//BC,

:.CM=BC—BM=2,

vME1AM,即乙4ME=90。,

•••LAMB+Z.CMF=90°,

BMC

VNB=90°,

•••4AMB+/.BAM=90°,ZCMF=/.BAM,

在ACMF和△BAM中，zC=ZB=90°,

：.4CMF~4BAM,:.空=与,

ABBM

即★容解得CF=1；

・・・DF=CD-CF=3,

XvAD//BC,即DE//CM,

DEDF

—=—,

CMCF

即与詈，解得DE=6.

•・•乙EDF=90°,

则^DEF的面积为•OF=：x6x3=9.

故答案为：9.

由题意可得MC的值，再由NAME=90°,可得△CMF-△BAM,进而可得CF的值，可得DF的值，再由DE〃CF,

可得对应比成比例，可得。E的值，进而求出AOEF的面积.

本题考查相似三角形的性质的应用，属于基础题.

12.【答案】2

【解析】解：由题意简化图形如图所示，其中DE=BD=4m,CC=lm,（、_一一）

AB=h,

E------D-----------------B

因为CO1BE,AB1BE,

所以CD〃人B,

所以AECO〜AE4B,

因为DE=DB,

所以££=££=1

EBAB2

所以48=2CD=2m,

即球拍击球的高度九为2m.

故答案为：2.

根据题意简化图形，利用三角形相似求出球拍击球的高度.

本题考查了解三角形的简单应用问题，是基础题.

13.【答案】20

【解析】解：如图，过点4作力EJ.y轴于点E,

x

「COJ.X轴，4EJ.X轴,

t01B_0C

•,屈=前’

vOB=2AB,

OBOCp110c2

・•・——=—=o21,贝1J—=:

ABEC0E3

•・•点4是反比例函数y=+(k>0)上的点，

,，设4(a，，

OE=-,则OC=弓飞="，

a3Q3a

将y卷代入y=；(k>°)得样/

解得：%=

・"Ga第

•••△AC。的面积为5,

・《x^axg-第=5,

解得k=20.

故答案为：20.

过点A作4Ely轴于点E,设4(吟，分析可知0(%刍，结合MCD的面积为5,可得：x|ax(：-刍=5,

进而得解.

本题考查反比例函数的性质，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题.

14.【答案】12或10或学

【解析】解：因为点4(一3,4)在反比例函数y=；(kH0)的图象上，

所以k—xy——12,

当4为顶点时，由三角形的面积公式和反比例函数的图象与性质可知，

S&OAB~冈=12;

当。为顶点时：OA=OB=732+42=5,

当B在其轴上时，S^OAB=gx5x4=10,

当B在y轴上时，S^0AB=jx5x3=y.

故答案为：12或10或容

根据已知条件，结合反比例函数的性质，先求出k的值，再分情况讨论即可.

本题考查了反比例函数的图象和性质，三角形的面积问题，属基础题.

15.【答案】解：(1)以点。为位似中心，将△力BC缩小为原来

的,可得如图所示：

(2)根据题意，可得△ABC与AAiBiG的位似比为今

71(-4,4),8(-6,-2),C(-4,0),

&(2,-2),Bi(3,l),G(2,0).

【解析】(1)由位似三角形的比例，可得△AB'C'的图形的画

法；

(2)由图知，三角形4BC的点的坐标，再由相似三角形的性质

可得△4B'C'的各个顶点的坐标.

本题考查位似三角形对应边成比例的性质的应用，属于基础题.

16.【答案】解：・♦・△ACB是等边三角形，••.NB=NC=4BAC=60。,

vZ.APD=60°,

在△APB中，/.BAP=Z.CPD,

DDAD

.,•△ABP〜。办•,•瓦=》.

•.•等边△力CB的边长为5,PC=3,

AB=5,BP=BC-CP=5-3=2,

...A=5

CD3

CD=

【解析】由等边三角形及乙4PD=60。可得，LBAP=LCPD,可得AABP〜△PCD,进而可得弯=卷再由

各边的值可得CD的值.

本题考查相似三角形的性质的应用，属于基础题.

17.【答案】解：(1)将43,加)代入丫=2%(03%33)中，得：y=2x3=6.

即4点坐标为4(3,6).

又•••点4在双曲线y=5(k40,x>0).h,

•••6=g,解得:k—18.

即双曲线的解析式为y=?.

联立卜(=1^8

ly=-%+9(%>3)

解得：｛济•

即B点坐标为(6,3).

(2)由⑴可知4(3,6),B(6,3),

•••AB的长为定值.点P在y轴上，连接PA,PB,AB,

即当PA+PB最小时，△PAB的周长最小.

如图，作点4关于y轴的对称点4,连接P4.

PA'=PA,

PA+PB=PA'+PB,

根据两点之间线段最短可知当点A、P、B共线时PA+PB最小.

由轴对称的性质可知点4'的坐标为(-3,6).

设经过点4、B的直线解析式为丫=1％+6,

••・经过点A'、B的直线解析式为y=-1x+5,

令x=0,得：y=5.

•1•P点坐标为(0,5).

【解析】(1)求出直线方程，求解双曲线方程，然后求解B的坐标.

(2)利用对称性，转化求解三角形的周长的最小值即可.

本题考查曲线与方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.

18.【答案】解：如图，过点。作DP_L4B于点P,

由题意可得PC=BC,PB=CD=2m,

点G、B、N均在直线EC上，EF1EC,HN1EC,AB1EC,CD1EC,小丽的身高EF=1.6m,

则4力PO=乙FEG=90°,Z.ADP=乙FGE,EF=EG=1.6m,

故樱花树4B的高约为7.3m.

【解析】过点。作DP1AB于点P,利用△APC-AFEG和△即可求解.

本题考查了利用三角形的相似知识求解高度问题，属于中档题.

19.【答案】解：(1)设当20sxs45时，反比例函数的解析式为y=将C(20,45)代入得:

4=45,解得k=900,

所以反比例函数的解析式为y=等，

当久=45时，？=绊=20,

所以“45,20),

所以4(0,20),即4对应的指标值为20；

(2)设当0<x<10时，的解析式为y=mx+n,

将4(0,20)、B(10,45)代入得：

{712f解得［m=l,

ll0m+n=451rl=20

所以ZB的解析式为y=|x+20,

当y236时，|x+20>36,解得x2等，

由(1)得反比例函数的解析式为y=第，

当y236时，y=229>36,解得％<25,

所以当WxS25时，注意力指标都不低于36,

而25一等=胃必=等>16,

所以张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.

【解析】(1)求出函数在［20,45］上的解析式，再代入。点的横坐标即可求解；

(2)求出函数在［0,10)上解析式，令y236,解出x的范围，即可判断.

本题考查了求一次函数、反比例函数的解析式及根据解析式求解不等式，属于中档题.

20.【答案】解：⑴证明：・••△ABD和ZMCE都是等边三角形,

•••AB=AD,AC=AE,乙DAB=Z.EAC=Z.AEC=60°,

・♦・Z-EAC—Z-DAC=Z-DAB—Z-DAC,

・•・Z-EAD=乙CAB,

(AB=AD

在△4BC1与△4DE中,=

\AC=AE

•••△ABC三△ADE(SAS),

・•・BC=DE.

(2)证明：・・•△力8。是等边三角形，

・•.AD=BD,乙ADB—60。，

在腰/?£△”四：AC=BC,

AD=BD

在△ADC与△BDC中，小。=。。，

AC=BC

.*.△ADC会△BDC(SSS),

^ADC=ABDC=力OB=30°.

即："DC=30。，

由(1)得：AAED=AACB=90°,

乙CED=乙AED-Z.AEC=30°,

・••乙CED=乙FDC,

又・・•乙DCE=乙FCD,

・••△DCEFCD,

J，~FC=CDf

0PCD2=CE,CF,

又•・•CE=ACf

■■■CD2=ACFC.

(3)如图，延长DC交AB于G,因为△ABD等边三角形，△ABC为等腰直角三角“产\

•豚■•48=2,二CG।=》B=1,DG「=faB=CV__j__AR

2\AZA

G

:.DC=C-1,AC=/,

•••由(2)可知：CD2=AC-FC,二FC=(之=2c-R,

v2

又CE=AC=。，

AEF=EC-FC=C—<2.

【解析】⑴△ABD和△ACE都是等边三角形可得NE力。="AB,可证得△48CW△4DE(S4S),进而可证

得BC=DE；

(2)由题意可证得△4C0三△BDC,可得NFOC=30。，可证得△OCE^AFCO,可证得C”=•CF；

(3)由4B=2,等腰Rt△4BC,乙4cB=90。，可得AC的大小及4B的中线长，等边AABD中，可得AB的中

线长,进而可得CD的值,再由(2)可得FC的大小，再由△4EC为等边三角形,可得EF=EC-FC=AC-FC,

即求出EF的大小.

本题考查等边三角形的性质及等腰直角三角形的性质的应用，属于基础题.

21.【答案】解：(1)因为4(一1,2)在反比例函数y=£的图象上，所以m=-lx加

2=-2,所以y=_g

又因为B(2,n)在y=—1的图象上，所以n=-1=—1,--------(广、f-----3

把A、B两点代入一次函数的解析式中，得仁防?=2

12k+b=-1

解得k=-1,6=1,

所以反比例函数的解析式为y=-：，一次函数的解析式为y=-x+l.

(2)设一次函数与x轴的交点为C,则C(l,0),

1

所以△40C的面积为〃40c=/1x2=1,

11

=

^ocBmms.ocB2-2-

,1Q

所以△40B的面积为SA.08=1+-=-；

(3)从图象上知，当-l<x<0或x>2时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，

所以x的取值范围是(一1,0)U(2,+8).

【解析】⑴把点4的坐标代入反比例函数的解析式求出m的值，把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的

值，再求一次函数的解析式；

(2)利用分割补形法计算△4。8的面积；

(3)结合图象求出不等式成立时x的取值范围.

本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

22.【答案】解：(1)将B(8,0)代入y=ax2+号尤—6,二64a+22—6=0,

11,11v

...y=__x2+_x_6,

当y=0时，-；t