2024年高考二级结论速解技巧交、并、补(且、或、非)之间的关系(德-摩根定律)（教师版）

专题02交、并、补(且、或、非)之间的关系(德•摩根定律)

一、结论

交、并、补(且、或、非)之间的关系(德•摩根定律)

⑴集合形式c,(An3)=(C,A)U(C,B),C,(AUB)=(C,A)A(C,B)

(2)命题形式:Aq)=(「p)v(」q),T。vq)=(」p)A(」q)

二、典型例题(高考真题+高考模拟)

例题1.(2023•全国•高三专题练习)已知集合d三B={x|y=ln(3-x)},则(图4)“。8)=

()

A.(2,3)B.[3,4]

C.(-co,2]u[3,+00)D.(-8,3]U[4,+CO)

【答案】C

【详解】由题意得

A={X|2<X<4},8={X|X<3},AC8=(2,3),(Q,A)U([RB)=(-a),2]u[3,+o>),

故选:C

【反思】本题充分利用德摩根律&A)UQB)=4(403),解题时，可通过先求出Ac8=(2,3),再根据德

摩根律，利用结论，可以快速选出答案.

例题2.(2023春•四川泸州•高二四川省泸县第一中学校考开学考试)已知P：尤2-7尤+10<0,q：

x2-4mx+3m2<0,其中相>0.

(1)若m=4且〃人4为真，求x的取值范围；

(2)若「4是「。的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)4<x<5；(2)!<m<2

【详解】由月一7彳+10<0,解得2<尤<5,所以P：2cx<5,

又/一4蛆+3/<0,且加〉0,解得加<x<3机，所以9：m<x<3m.

(1)当m=4时，Q：4Vx<12,

因为〃八乡为真，所以，夕都为真，所以4<元<5.

(2)因为「9是可的充分不必要条件，所以2是4的充分不必要条件，

m<2

因为P：2Vx<5,Q：m<x<3m,所以<3机25,解得相42.

m>0

【反思】本例中第2问，若「9是可的充分不必要条件，等价变换为〃是q的充分不必要条件，从而通过

求出命题p：2Vx<5,q：加<x<3根根据充分性和必要性条件，求出参数机的取值范围.

三、针对训练举一反三

一、单选题

1.（2023秋・陕西宝鸡•高一统考期末）设集合M={x|0<x<4},W={x|3<x<5},则（以/1自解）=（）

A.{小<3或x24}B.{x\3<x<4}

C.{,x40或x>5}D.{x|0<x<5}

【答案】C

【详解】由已知得4知={月彳<0或x24},（；N={尤|无<3或x>5},

或x>5}.

故选：C.

2.（2022秋•上海浦东新•高一校考阶段练习）集合A,B,C是全集U的子集，且满足=则

（）

A.AnB=AnCB.B=C

C.&A）cB=&A）cCD.An&B）=An&C）

【答案】C

【详解】若C=AU8,如下图示，

由图知：AcB=AcC、B=C、An&B）=An（&C）不成立，A、B、D排除;

故选：C

3.（2022,高一课时练习）设全集U,有以下四个关系式：

甲：AnB=A；乙：AUB=B；丙：图图A；T：©⑷口④为二&4.

如果有且只有一个不成立，则该式是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

【答案】C

【详解】由题意，甲：

乙：A<^B

丙：GHUCJ7Aoet4=A

T：（G，A）u（q⑶=AS

由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个不成立，则该式是丙

故选：c

4.（2023•内蒙古赤峰•统考模拟预测）设命题）："x<0"是"Iog2（x+D<。"成立的必要不充分条件.命题公

若不等式ae*Nx恒成立，贝Me下列命题是真命题的（）

A.人4）B.Rvq

C.RAFD.RVrq

【答案】B

【详解】log2（x+l）<。，解得：-l<x<0.

因为（TO）氢-e,0）,所以"x<0"是"log2（x+l）<0"成立的必要不充分条件.故p为真命题;

若不等式—亘成立，所以。咕.

记〃力=土，只需/〃尤小.

求导得：:（司=宏,令-（力=0,解得:尤=1，列表得:

（一夕1）1(1,+°0)

尸（X）+0-

/W单增极大值单减

所以〃尤/=〃1)=:・

所以。2上故q为真命题.

e

对于A：「（。人4）为假命题.故A错误；

对于B：r7v«为真命题.故B正确；

对于C：可人小为假命题.故C错误；

对于D："vrq为假命题.故D错误；

故选：B

二、多选题

5.（2022秋•浙江•高一期中）已知集合A中含有6个元素，全集U=Au8中共有12个元素，（&A）U&8）

中有m个元素，已知加28,则集合2中元素个数可能为（）

A.2B.6C.8D.12

【答案】BC

【详解】解：因为（&A）3&B）=Q/（ACB）中有机个元素，

所以Ac8中有12-机个元素，

设集合B中元素个数为x,

又集合A中含有6个元素，

则x+6—（12—机）=12,即机=18—x,

因为机28,

所以）410,

又U=中共有12个元素，

所以xN6,

则6WxW10,

故选：BC

6.（2022秋•湖南株洲•高一校考阶段练习）设U为全集鸟，邑是U的两个非空子集，且EUS2=U,则下

列结论错误的是（）

A.S,uS2=0B.5^（^）

c.（却百卜（02）=0D.CsJcQs?）”

【答案】ABD

【详解】由题S”S2不为空集，所以S〜S2W0,；.A错误，

当每qs2,s2=u时，满足Eu邑=u旭00s2=0，，B错误,

'''S1uS2=UCu^!n=Cu（S1uS2）==0,:.C正确，D错误，

故选：ABD.

7.（2022秋•江西萍乡•高一江西省莲花中学校考阶段练习）设全集为U,在下列条件中，是B=A的充要

条件的有（）

A.AuB=AB.（Q/A）nB=0C.（Q7A）c（Q/B）D.AU（Q；B）=t/

【答案】ABCD

【详解】对于A,若Au8=A,则3=4；反过来，若则AuB=A,故互为充要条件，故正确；

对于B,如下Venn图，

若&A）c3=0,则8=A,若则（qA）cB=0,故正确;

选项C中，若@4口(18),则反过来，若BQA,则(却力^可，故互为充要条件，故正确；

选项D中,若AU&B)=U,则@A)u(jB),故BqA；反过来，若BqA,则@A)u&8),故AU@B)=U,

故互为充要条件，故正确.

故选：ABCD.

三、解答题

8.(2023春•四川泸州•高一四川省泸县第一中学校考开学考试)设全集U=R,集合A={x|2x-1N1},

e={x|x2-4x-5<0}.

(I)求AClB,(]UA)U(]UB)；

(II)设集合C={x[m+l<x<2m-l},若BCC=C,求实数m的取值范围.

【答案】(I){x|尤<1或立5},(H)(-8,3].

【详解】解：(I)•:全集U=R,集合A={尤|2尤含1}=任|应1},

B={x|X2-4X-5<0}={尤|-1<%<5}

.,.AnB={x|l<x<5},

(CUA)U(CUB)={x|x<l或应5}

(II)r集合C={x|m+1VxV2/n-l},BcC=C,

:.CUB,

当C=0时,2m-\<m+\

解得m<2

m+K2m-1

当CH0时，由。=8得<m+l>-l,解得：2c加3

Im-1<5

综上所述：机的取值范围是(-8,3]

9.(2022秋•辽宁沈阳•高一沈阳市第一二。中学校考阶段练习)已知集合&={尤卜2a+3