2023-2024学年天津市高一年级下册期中数学试题

2023-2024学年天津市高一下册期中数学试题

第I卷选择题

一、单选题(共9题，每题5分，共45分).

/={-2,-1,0,1,2},6=1X|0VX<31

1.设集合121，则,06=()

A(0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{152}

【正确答案】A

【分析】根据集合的交集运算即可解出.

【详解】因为4={-2,-1,0,1,2},8=卜|0〈》<4，所以/08={0,1,2}.

故选：A.

rr

2.已知向量Z=(2,l)Z=(-2,4),则。一匕()

A.2B.3C.4D.5

【正确答案】D

rr

【分析】先求得B，然后求得。一6.

【详解】因为Z—书=(2,1)—(—2,4)=(4,—3),所以归―B卜#H=5.

故选：D

3.已知某圆柱的高为10,底面周长为8%，则该圆柱的体积为()

A.640万B.250乃C.160万D.120乃

【正确答案】C

【分析】根据给定条件，求出圆柱的底面圆半径，再利用圆柱体积公式求解作答.

【详解】设圆柱底面圆半径为r，由2M=8兀，得/'=4,

所以圆柱的体积为16兀'10=160兀.

故选：C

4.设xeR,则“sinx=l"是"cosx=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充

分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.

【详解】因为sin?x+cos?x=l可得:

当sinx=l时，cosx=0,充分性成立；

当cosx=0时，sinx=±1,必要性不成立；

所以当XER,sinx=l是cosx=0的充分不必要条件.

故选：A.

(兀'

5.为了得到函数歹=2sin3x的图象，只要把函数歹=2sin3%+工图象上所有的点

()

A.向左平移g个单位长度B.向右平移1个单位长度

C.向左平移△个单位长度D.向右平移。个单位长度

【正确答案】D

【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出.

【详解】因为y=2sin3x=2sin3^x-,所以把函数y=2sin(3x+图象上

7T

的所有点向右平移后个单位长度即可得到函数y=2sin3x的图象.

故选：D.

6.长方体48CQ-44GA的体积是240,若石为CG的中点，则三棱锥E—BCD的体

积为()

A.10B.20C.30D.40

【正确答案】B

【分析】利用三棱锥的体积公式结合已知求解即可.

【详解】长方体Z8C。一4耳G2的体积为8c・CO・CG=240,

三棱锥£一BCD的体积为V_=-S^-EC=--5C.CP.-CC,=—x240=20,

cEoBvCzDz3CD322।]2

故选：B

7.己知四面体的棱长都等于2,那么它的外接球的表面积为()

A—7tB.V6?rC.671D.12兀

•2

【正确答案】C

【分析】根据正四面体的特征可知球心在高上，根据勾股定理8〃2+0"2=8。2,即可求

解半径，进而根据表面积公式即可求解球的表面积.

【详解】如图，正四面体48CZ)棱长为2,AH_L平面BCD于“，则〃是△BCD中心,

BH=Bx2=空,AH_L平面88，BHu平面BCD,则

33

设外接球球心为。，则。在ZH，则。1=08=R为外接半径，

由BH?+OH?=B0?得(半丫+(当-R¥=片，解得R=咚,

所以其外接球的表面积为4兀叱=4兀x$=6兀，

4

故选：C.

3

8,关于X的不等式2履27+h—三<0的解集为R,则比的取值范围是().

8

A.(-3,0)B.(-3,0]C,[-3,0]D.

(-oo,-3)U[0,+oo)

【正确答案】B

【分析】分左=0以及左。0,结合二次函数的性质，列出不等式组，求解即可得出答案.

3

【详解】当左=0时，原不等式可化为-一<0在R上恒成立；

,3

当左时，由不等式2A^+日——<0的解集为R,

8

'2左<0

可知应有《人，2,C,（3、,2一八，解得一3〈左<0.

△=《2-4X2"|-§J=F+3A:<0

综上所述，％的取值范围是（-3,0].

故选：B.

9.为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，

四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器

33

C,2（5+3V3）7icm3D,8（5+3石）兀加3

【正确答案】B

【分析】根据四个小球和容器的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之

间的关系即可得到容器的半径.

【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示：

正视图

俯视图

正视图中小球球心B,半球球心。与切点4构成直角三角形,则有042+232=032,

俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心到球心的距离O|A1与正视图中

的04相等，设半球半径为几已知小球半径尸1,・・・04=应，AB=i,OB=0

R—OB+尸=^3+1-

半球面形状的容器的容积是r=lxln/?3=lx4x(石+］丫兀=4(5+3@兀

2323、>3

故选：B

第II卷非选择题

(共11题，共105分)

二、填空题(共6题，每题5分，共30分)

10.(2+2i)(l-2i)=.

【正确答案】6-2i

【分析】利用复数乘法法则进行计算.

【详解】(2+2i)(l-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i

故6-2i

2x+1

11.不等式——>3的解是_________.

x-1

【正确答案】(1,4)

4—x

【分析】将分式不等式化为——>0,则有(x-1)(工-4)<0即可求解集.

x-1

2x+14—x

【详解】由题设，-------3=-->0,

x-1x-1

(x-l)(x-4)<0,可得l<x<4,

原不等式的解集为(1,4).

故答案为.(1,4)

12.在AJBC中，若AB=,BC=3,ZC=120°,则NC=.

【正确答案】1

【分析】利用余弦定理列方程，化简求得ZC.

【详解】依题意C?=/+/-labcosC>

13=9+Z>2+2X3X/?X—=>/)=1,负根舍去.

2

所以ZC=L

故1

13.如图，过球。的一条半径。尸的中点作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径

为百，则球。的体积是.

【正确答案】y?r

【分析】设球。的半径为R,依题意代一&=（6『即可求出R，再根据球的体积公式计

算可得.

r>2■）

【详解】设球。的半径为尺，则及2一生=（6丫，解得及=2或&=一2（舍去）,

球。的体积玄=47"r&3=三3?兀.

33

14.圆台上、下底面面积分别是私4阳侧面积是6私这个圆台的体积是.

【正确答案】子兀

【详解】上底半径r=l,下底半径R=2.

因为S创=6兀，设母线长为1,则兀（1+2>1=6兀.

所以1=2,所以高h=p_（R-DR/S.

所以Vg、%l+lx2+2x2）得兀

一1—1—.

15.己知A48c中，AB=3,AC=5,BC=7,若点。满足Z£>=—4S+—RC,则

DBDC^__________

【正确答案】72

【分析】根据AD=-AB+-AC以AB,AC为一组基底，由

32

BC2=（AC-JB）2^AC2+ABi-2AB-AC，得至U方・祝=一£，再由

DBDC^（AB-AD）（AC-Ab）^-J"）（；'。—/可求解.

【详解】因为方心2=（就一刀）2=衣？+/一2万•就

又因为Z8=3,4C=5,BC=7

-------15

所以/8-/C=—」，

2

所以丽.反=（标—而）•（就_而）=（I荔一|■就）（|■就一；刀）=

2——21—.21-------2515

——AB一一AC+-AB-AC=-2------=-12.

94244

故T2

本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

三、解答题（共5题，每题15分，共75分）

16.如图，已知正三棱锥S-48C的底面边长为2,正三棱锥的高SO=1.

（1）求正三棱锥S-/8C的体积;

（2）求正三棱锥S-ZBC表面积.

【正确答案】（1）巫

3

⑵3百

【分析】（1）由题意分别确定三棱锥的底面积和三棱锥的高即可确定其体积；

（2）连接C。延长交于E,连接SE,则E为48的中点，分别求得底面积和侧面积,

然后计算其表面积即可.

【小问1详解】

在正三棱锥S-48C中，S=--^-5C-sin60°=—x2x2xV3,

AADC24▼

所以忆=—5ABC-SO=—x>/3x1=.

3A"。33

【小问2详解】

连接CO延长交N8于£,连接SE,则E为N8的中点，如图所示,

所以CE=yl2?—伏=5OE=-C£=—■

33

在直角三角形SOE中，SE=J（亭2+2=乎,

在△48S中，SA=SB,所以SE_LZ8,

1x2述=空

所以S杵

B

17.已知在直角三角形Z8C中，ACIBC,8c=2,tanABC=2近（如图所示）

A

（1）若以4C为轴，直角三角形48C旋转一周，求所得几何体的表面积.

（2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点8绕着几何体的侧面爬行一周回到点8,求

蚂蚊爬行的最短距离.

【正确答案】（1）16乃

⑵6G

【分析】（1）若以ZC为轴，直角三角形Z8C旋转一周，形成的几何体为以8。=2为半

径，高2。=4啦的圆锥，由圆锥的表面积公式，即可求出结果.

（2）利用侧面展开图，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面

图形（如图）最短距离就是点B到点片的距离，代入数值，即可求出结果.

【小问1详解】

在直角三角形N3C中，由8C=2,tanN/8C=2j5

AQr-

即tanNZ8C=GK=27，，得/。=4啦，若以ZC为轴旋转一周，

BC

形成的几何体为以8c=2为半径，高*C=4后的圆锥，

则/8=）22+（4扬2=6,其表面积为S=^X22+-^-X2^X2X6=16^.

【小问2详解】

由问题（1）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，

则沿点8的母线把圆锥侧面展开为平面图形，

27rx227r

最短距离就是点B到点坊的距离，/BAB、=——=—,

63

在△力84中，由余弦定理得^^62+62-2x6x6xcos^=6^.

18.已知函数/(x)=2sinxcosx-273cos2x+V3.

(1)求/(x)的最小正周期和单调递减区间；

jr

(2)当xe-,TT时，求函数〃x)的最大值以及取得最大值时x的值.

57r11兀

【正确答案】⑴T=n,单调递减区间为—+kn,—+kn,左eZ

L1212J

(2)最大值为石，%=1

【分析】(1)化简可得/(x)=2sin(2x-gj,根据T=当即可得出周期，解

7TTT37r

-+2hi<2x一一4——+2左兀,左€Z即可得出函数的单调递减区间；

232

TT

(2)令X=2x-1,求出X的范围，根据_P=sinX的单调性以及端点处的函数值，即可

得出/(x)的最大值以及x的值.

【小问1详解】

由已知可得，/(x)=sin2x-V3(2cos2x-1)=sin2x-6cos2x=2sinf2x-yL

所以，/(x)的最小正周期T=g=兀.

TTTT37r

由一+2左兀<2x---<一+2kn,kGZ可得，

232

5兀，，，11兀，，〜

----hkuWx<----hkn,k€Z,

1212

57r1]7T

所以，/(X)的单调递减区间为—+kn,—+kn,ksZ.

【小问2详解】

令X=2x—。,

3

Tl2717T571

因为一4x«7t,所以一4X=2x——<—.

2333

2兀3兀3冗57r

函数y二sinX在—上单调递减，在—上单调递增，

口.2兀.5兀

且sin—=——，sin—=----，

3232

所以，当2x—1=即x=］时，函数/(x)有最大值=

19.已知448C的内角的对边分别为a,b,c,JI.(Z)cosC+ccos5)tan/l=-V3t?.

(1)求A的大小：

(2)若a==i,

(i)求AASC的面积；

(ii)求cos(2C-4).

【正确答案】(1)A=—；

(2)(i)g(ii)—.

214

【分析】(1)利用正弦定理化边为角，结合两角和得正弦公式及三角形内角关系即可得出答

案；

(2)利用余弦定理求得边C,根据三角形面积公式可得面积，再根据余弦定理可得cosC,

再利用二倍角公式及和差角公式即得.

【小问1详解】

因为(6cosC+ccos0tan/=-y/3a,

所以(sinBcosC+sinCcos8)tan/=-gsin/,

即sin(8+C)tan4=一百sin”,

则sinAtanA=一GsinA，

因为力£(0,兀)，所以sinZwO,

所以tanA=一6，

所以N=

【小问2详解】

⑴由余弦定理得/=/+，-2^ccos4，

即7=1+C2+C，解得。=一3(舍去)或c=2,

所以AASC的面积为S=—hcsmA=—xlx2x^-=^~；

2222

2

,._r/H「a~-\-b~—c7+1—42A/7_/八、

（ii）由上可得cosC=--------------=-----7=—=------,又CE（O,兀），

lab2777

所以sinC=Vl-cos2C=，

7

所以sin2C=2sinCeosC=，cos2。=cos?C-sin2。=：，

77

所以cos（2C-4）=cos2Ccos/+sin2Csin/=；x11

14

20.已知向量Z=(2,2),向量区与向量£的夹角为彳，且1B=-2.

(1)求向量区的坐标;

(2)若7=(1,0),且c=(cos42cos2今)，其中A,B,C是A/18C的内角,

若8=1,求B的取值范围.

【正确答案】(1)加=(0,-1)或加=(-1,0)

(2)

［分析1(1)求出问=2J5,根据已知可推得呵=1,根据数量积的坐标形式可得加+〃=-1.

"2〃2

联立方程组《m+=1,求解即可得出答案；

(2)由已知可推得否=(o,-l),计算化简可得求出书+"=(cos4cosC),然后即可推得

一\2cos24+cos2C3八兀tf、-口八_ix-r_Li>zi-.

仅+c)=-------------+l.根据8=§以।及诱导公式可推得

cos2C=-；cos24一乎sin2/，代入整理可得0+q=；cos(2Z+£j+l,根据角的

范围即可得出答案.

【小问I详解】

设否=(〃2,〃),

由已知可得，\a\=V22+22=2^2,则44二|小|%0$里=-2同二一2,

所以族=1,所以即/+/=1.

又a.5=—2，所以2m+