2023-2024学年河北省保定师范附属学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023.2024学年河北省保定师范附属学校九年级(上)开学数学

试卷

一、选择题(本大题共20小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量.下列是有关中

国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是()

中国探火

CMEP中国探月

D.

中国火箭中国行星探测

CHINAROCKETMars

2.一元二次方程-2)=。的解是()

A.%=0B.x=2

C.=0,x2=2D.Xi=-2,&=2

3.菱形具有而矩形不一定具有的性质是()

A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角互补

4.课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知

道是哪道题目吗？()

用平方差公式分解下列各式：

(l)a2-Z?2

(2)x2-1

(3)-x2-y2

(4)4m2-25n2

A.第(1)道题B.第(2)道题C.第(3)道题D.第(4)道题

5.如图，已知菱形ZBCD的周长为8,乙4=60。，则对角线BD的长

是（）

A.1

B.R

C.2

D.2c

6.如图所表示的是下面那一个不等式组的解集（）

-4-3-2-101234

(x>-2(X<-2[%>-2(x>-2

rD.

lx<1lx>11%<1<1

7.如图所示，△ABC中，484。=33。，将△/BC绕点4按顺时针方

向旋转50。，得到△AB'C',则NB2C的度数是（）

A.13°

B.17°

C.23°

D.33°

8.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x

个人，列出的方程是（）

A.尤(x+l)=64B,x(x-1)=64C.(1+x)2=64D.(1+2x)=64

9.如图，任意四边形ABC。各边中点分别是E、F、G、从若对角线AC、

8。的长分别是10cm、20cm,则四边形EFGH的周长是（）

A.20cm

B.30cm

C.40cm

D.50cm

10.用求根公式解一元二次方程3/—2=4%时a,b,c的值是（）

A.a=3,b=—2,c=4B.Q=3,b=—4,c=2

C.a=3,b=—4,c=-2D.a=3,b=4,c=-2

11.下列命题中，假命题是（）

A.平行四边形的对角线互相垂直平分B.矩形的对角线相等

C.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半D.对角线相等的菱形是正方形

12.小明解方程工一工工=1的过程如下：

XX

解：去分母，得1一。-2）=1,①

去括号，得1-x+2=1,②

合并同类项，得一x+3=l,③

移项，得—x——2,④

系数化为1,得x=2.⑤

他的解答过程中开始出现错误的是步骤（）

A.①B.②C.③D.④

13.如图，在正方形ABC。外侧，作等边三角形40E,AC.BE相交于点F,则乙854为（）

A.15°B.30°C.45°D.55°

14.仇章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，

能够刚好在规定时间送到，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是

慢马的2倍，求两匹马的速度.设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（）

900900,„„900,„900„900900-900900

AA•「后+3B.丁+3r=D.「咫

15.若关于x的一元二次方程4/一6》+9=0有实数根，则k的取值范围是（）

A.k<1B.fc<1C.k<1且k清0D./c<1且kH0

16.如图在RtAABC中，4C=90。，以顶点A为圆心，适当长为半C

径画弧，分别交AC、4B于点M、N,再分别以M、N为圆心，大于

£MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线4P交BC于点D,若A^~----------B

CD=2,AB=8,则△ABD的面积是（）

A.16B.32C.8D.4

17.若不等式组无解，则m的值可能（）

A.7B.6C.3D.5

18.如图，将一个边长为4和8的长方形纸片48CD折叠，使点C与

点A重合，则CE的长是（）

A.3

B.4

C.5

D.6

19.如图，直线y=以+b交工轴于点4（一2,0）,直线y=

九交汇轴于点B（4,0）,这两条直线相交于点C（l,p）,则

不等式组像的解集为（）

A.%<4

B.%<—2

C.-2V%<4

D.-2<x<1

20.如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点。顺时针旋转n个45。，

得至I」正六边形。（BnCnOnEn，当n=2022时，正六边形0418n%DnEn的顶点外的坐标是（）

A.(-<1,-3)B.(-3,-C)C.(3,-<3)D.(-7^,3)

二、解答题（本大题共3小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.(本小题20.0分)

计算：

因式分解：(l)4a2-9；

解一元二次方程：(2)2/-7x+3=0；

解一元二次方程：(3)(x—2)2=2x—4；

解分式方程：(4)卷一书=点-

22.(本小题10.0分)

台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动,

第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元.

(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

(2)按照(1)中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

23.(本小题10.0分)

【问题情境】如图1,在矩形ABCD中，AB=9,BC=15,点P为边4D上一动点，连接BP,

将AABP沿8P翻折，得到A&BP,点4的对应点为点4,射线P4'交边BC于点E.

【实践探究】：

(1)如图2,若点E与点C重合，则4P=______；

(2)当BA'平分/PBC时，则△4B4的面积=______；

【拓展提升】：

(3)若点P从图2中的位置开始向右运动直至点。停止；

①在运动过程中，点4的对应点4到边CD的最小值=____♦

②整个运动过程中，点E运动的路径长=______.

「K

BECB(E)CBC

图1图2图3

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：选项A、B、。均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完

全重合，所以不是中心对称图形，

选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称

图形，

故选：C.

根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案.把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后

的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重

合.

2.【答案】C

【解析】解：x（x-2）=0,

可得x—0或x—2=0.

解得：X]=0,x2=2.

故选：C.

方程利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.

本题考查因式分解解一元二次方程，掌握因式分解是解题关键.

3.【答案】A

【解析】解：4、菱形对角线互相垂直，而矩形的对角线则不一定垂直（只有作为特殊矩形的正方

形对角线才垂直）；故本选项符合要求；

3、矩形的对角线相等，而菱形不一定具备这一性质（只有作为特殊菱形的正方形对角线才相等）；

故本选项不符合要求：

C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；

。、矩形对角互补，但菱形不一定具备对角互补这一性质（只有作为特殊菱形的正方形对角才互补

）；故本选项不符合要求；

故选：A.

根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对角线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最

后的答案.

此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用.菱形和矩形都具有平行四边形的性质，

但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等.

4.【答案】C

【解析】解：(I)a2-b2=(a+b)(a—b),它是利用平方差公式因式分解的：

(2)x2-l=(x+l)(x-1),它是利用平方差公式因式分解的；

(3)-x2-y2=一(/+y2),它不是利用平方差公式因式分解的；

(4)4m2-25n2=(2m+5n)(2m-5n),它是利用平方差公式因式分解的；

综上，第(3)道题错误，

故选：C.

将各式因式分解后进行判断即可.

本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，特别注意因式分解必须彻底.

5.【答案】C

【解析】解：•••四边形Z8CD是菱形，

・•.AB=AD,

又・・•乙4=60°,

：・△A8D是等边三角形，

...BD=AB=l=2,

故选：C.

由菱形的性质可证A/IB。是等边三角形，即可求解.

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是解题的关键.

6.【答案】D

【解析】解：由图示可看出，从-2出发向右画出的线且-2处是空心圆，表示》>—2；

从1出发向左画出的线且1处是实心圆，表示XW1,所以这个不等式组为

故选：D.

写出图中表示的两个不等式的解集，这两个式子就是不等式.这两个式子组成的不等式组就满足

条件.

不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,2向右画；<,W向

左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个

数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“2"，要用实心

圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示.

7.【答案】B

【解析】解：•••将△ABC绕点4按顺时针方向旋转50。，

乙BAB'=50°,

乙B'AC=乙BAB'-L.BAC=17°,

故选:B.

由旋转的性质可得=50°,即可求解.

本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：X+1+（X+l）x=64

整理得，（1+X）2=64.

故选：C.

平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有Q+1）人患流感，第二轮共有X+1+Q+

l）x人，即64人患了流感，由此列方程求解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解.

9.【答案】B

【解析】解：:E,F,G,H,是四边形48CD各边中点，

•••HG=^AC,EF=^AC,GF=HE=^BD.

又•・,AC=10cm,BD=20cm,

；•四边形EFGH的周长是HG+EF+GF+HE=^（AC+AC+BD+BD）=AC+BD=30cm.

故选:B.

利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC,或B。的一半，进而求四边形周长即

可.

本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的

两条对角线的关系.三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提

供了一个重要的依据.

10.【答案】C

【解析】解：r3x2-2=4x,

3x2—4x—2=0,

•­a=3,b=—4,c=—2,

故选：C.

先将方程化为一般形式，然后即可写出a、氏c,本题得以解决.

本题考查解一元二次方程的一般形式、解一元二次方程-公式法，解答本题的关键是明确一元二

次方程的一般形式.

11.【答案】A

【解析】解：A、平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，故错误，是假命题；

8、矩形的对角线相等，正确，是真命题；

C、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，正确，是真命题：

。、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题，

故选：A.

利用平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的面积计算方法及正方形的判定等知识分别判断后即

可确定正确的选项.

考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的面积计算

方法及正方形的判定等知识，难度不大.

12.【答案】A

【解析】解：去分母，得1一（乂-2）=心①

去括号，得1一x+2=x,②

合并同类项，得一K+3=X,③

移项，得-2x=-3,（4）

系数化为1,得x=|.⑤

则他的解答过程中开始出现错误的是步骤①.

故选：A.

观察解方程的过程，找出出现错误的步骤即可.

此题考查了解分式方程，以及解一元一次方程，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验.

13.【答案】A

【解析】解：•••四边形是正方形，

・・・AB=ADf/.BAD=90°,

・••△ADE是等边三角形，

:.AD=AE,Z.DAE=60°,

・・.AB=AE,Z,BAE=150°,

/.BEA=/.ABE=T(180°-150°)=15°.

故选：A.

根据等边三角形和正方形的性质可知IAB=4E,ABAE=150°,再利用三角形的内角和定理可得

答案.

本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握正方形

和等边三角形的性质是解题的关键.

14.【答案】4

【解析】解：设慢马的速度为％里/天，则快马的速度为2久里/天，

根据题意，得晒=婴+3,

x2x

故选:A.

设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，由题意得等量关系：慢马所需的天数=快马所

需的天数+3,根据等量关系，可得方程.

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

15.【答案】D

【解析】解：•.•一元二次方程k--6x+9=0有实数根，

.♦.(-6)2-4x9k20,且

解得k<1且kk0,

故选：D.

根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断.

此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解

题的关键.

16.【答案】C

【解析】解：作DH14B于

由作图可知：PA平分NCAB,

DCLAC,DH1AB,

DH=DC=2,

S^ABD=2,AB,DH=gx8x2=8,

故选：C.

作CH1AB于从利用角平分线的性质定理证明。H=DC=2即可解决问题.

本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用

辅助线，属于中考常考题型.

17.【答案】C

【解析】解：卜一？》中，

（.2%<m（2）

由①得x>2,

由②得x<三，

•••不等式组无解，

.•.2>义，

-21

・•・m<4,

故选：C.

解不等式组可得x22,x<y,由不等式组无解可得22求出山的范围即可求解.

本题考查一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.

18.【答案】A

【解析】解：根据翻折可知：AE=CE,

•••四边形力BCD是矩形，

:.乙B=90°,AB=4,BC=8,

•••BE=BC-CE=8—CE,

在股△ABE中，根据勾股定理得:

BE2+AB2=AE2,

：.(8-CE)2+42=CF2,

•••CE=3.

故选：A.

利用翻折变换的知识，可得到AE=CE,根据勾股定理可求出CE.

本题考查了折叠的知识，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和运用，关键是掌握翻折的性质.

19.【答案】B

【解析】解：y=kx+b<0,则x<—2,

y=mx+n>0,则x<5,

不等式组产V的解集即为：X<-2，

(mx+n>0

故选：B.

y=kx+b<0,则x<—2,y=mx+n>0,则x<5,即可求解.

本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x的值，是解

答本题的关键.

20.【答案】B

【解析】解：将边长为2的正六边形。4BCOE绕点。顺时针旋转n个45。，

•••45°x8=360°,

当n=2022时,2022+8=252…6,

则。2022的坐标与久的坐标相同，

•••乙DODa=2x45。=90。，

则。01。4，

如图，过点。作。尸lx于F,过点4尼轴于点吊，

vOE—DE=2,OD=0D6,

・•・Rt△ODF=Rt△0D6F6(HL)f

・•・DP=D6F6,OF=0F6,

•・,正六边形048CDE的一个外角乙OEF=,

・•・DF=sin^DEFxDE=^x2=口,

•・•乙DEO=180°-乙DEF=120°,DE=EO,

・・・乙DOF=30°,

,,，

D6F6=DF=C,0F6=OF=3,

D6^—y/~3,-3),

。2022(—W^，-3),

故选：B.

由于正六边形每次转45。，根据2022+8=252…6,则£)2022的坐标与。6的坐标相同，求得。6的

坐标即可求解.

本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正六边形的性质，正多边形的外角和，内角和，求得“022

的位置是解题的关键.

21.【答案】解：(1)原式=(2a+3)(2a-3)；

(2)2x2-7x+3=0,

(2x-l)(x-3)=0,

2无-1=0或%—3=0,

解得％1=I，%2=3；

(3)(%—2)2=2x-4,

Q-2尸一2(%-2)=0,

(%—2)(X一2—2)=0,

(%-2)(%-4)=0,

解得％1=2,x2=4;

(4)方程两边同时乘以。+3)(%-3)得，

12-3(%4-3)=%-3,

12—3x—9—%+3=0,

6—4%=0,

解得X=|，

经检验X=称是原分式方程的解.

【解析】(1)利用平方差公式进行因式分解即可：

(2)利用因式分解法求出x的值即可；

(3)利用因式分解法求出x的值即可；

(4)先把分式方程化为整式方程，求出x的值，再进行检验即可.

本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程及解分式方程，熟知解分式方程要验根是解题的关

键.

22.【答案】解：(1)设捐款增长率为x，根据题意列方程得，

3000X(1+x)2=4320,

解得Xi=0.2,冷=-2.2(不合题意，舍去)，

答：捐款增长率为20%.

(2)4320x(1+20%)=5284元.

答：第四天该单位能收到5184元捐款.

【解析】(1)解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数x(1+每次增长的百分率产=第三

天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可；

(2)第三天收到捐款钱数X(1+每次增长的百分率)=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可.

本题考查了一元二次方程的应用，列方程的依据是：第一天收到捐款钱数x(l+每次降价的百分

率尸=第三天收到捐款钱数.

23.【答案】3日7367.2

4

【解析】解：(1)•:四边形ABCD是矩形，

AD=BC=15,CD=AB=9,4BAD=90°,

由翻折的性质得：^BAP=^BA'P=90°,AP=A'P,BA=BA'=9,

•••BA'1PC,

A'C=VBC2-BA'2=7152-92=12,

设4P=PA'=x,

则PC=15-%,PC=12+x,

在RtAPCD中，由勾股定理得：PD2+CD2=PC2,

BP(15-X)2+92=(12+X)2,

解得：x=3,

•••AP=3,

故答案为:3；

(2)、•四边形4BCD是矩形，

44BC=90。，

如图3,设BP交44'于点F,

图3

由翻折的性质得：AB=A'B,AABP=APBA',BPLAA',

^ABP=/.PBA'=/.CBA'=1x90°=30°,

•••/LABA'=30°4-30°=60°,

.•.△AB4'为等边三角形，

■.AB=AA'=9,

BF=cos30°•AB=3X9=£口,

119

-1-

222

故答案为：V-3;

(3)①由翻折的性质得：BA=BA',

•••点4'在以B为圆心4B为半径的圆上，

.•.4'在BC边上时，点4到边C。的距离最小，

此时,点A'到边CD的最小值为8c-BA'=15-9=6,

故答案为：6；

图4

此时，四边形ABEP为正方形,

BE-AB=9.

CE=BC—