高中数学讲义（人教A版必修二）：第32讲 直线与平面垂直（教师版）

第32讲直线与平面垂直

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课程标准课标解读

1.

1.本节主要内容是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽

解直线与平面垂直

象出空间直线与平而垂直的定义:通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面

的定义；了解直线

垂直的判定定理与性质定理:能运用直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定

与平面所成角的概

理证明一些空间位置关系的简单命题教学重点是通过直观感知、操作确认，归

念2掌握直线与平

纳出直线与平面垂直的判定定理、性质定理的过程，其核心是理解判定定理、

面垂直的判定定

性质定理的条件由内容所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言

理，并会用定理判

之间的转化，把线面垂首问题转化为线线垂直问题

定线面垂直.3.掌握

2.直线与平面重直的研究是直线与直线垂直研究的继续，世为平面与平面重直

直线与平面垂直的

的研究做了滩各线公全屏面垂直是在学生掌握了线在面内、线面平行之后紧接

性质定理，并会用

着研究的线面相交位置关系中的行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定

定理证明相关问

理，为本节课提供了研究内容和研究方“下一篇面垂直的判定定理、性质定理

题.

的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过5A程，培养和发展学生

的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务

数’知识精讲

知识点01直线与平面垂直的定义

如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,我们就说直线

定义

/与平面a互相垂直

记法/_La

直线/叫做平面a的垂线,平面a叫做直线/的垂面,它们唯

有关概念

一的公共点P叫做垂足

1

图示

r

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边

画法

形的一边垂直

【即学即练1】如图，在正方体ABCO-ASGA中，与A5垂直的平面是（）

A.平面。ACCB.平面

C.平面431clz)iD.平面4DB

答案B

解析'：ADi±AiD,g_L4Bi,4。04山1=4,AiD,4以(=平面AQBi,

平面AQBi.

知识点02直线与平面垂直的判定定理

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线

文字语言

与此平面垂直

符号语言l-La,lA_b,aUa,bUa,aO=尸＞/_La

A

图形语言

【即学即练2】如图，在四棱锥尸一ABC。中，底面ABC。是矩形，AB_L平面P4。，AD=AP,£是PZ）的

中点，M,N分别在AB,PC上，MMNLAB,MN_LPC.证明：AE//MN.

证明：A8_L平面也。，AEu平面出。，：.AE±AB,

又A8〃CD,：.AE±CD.

"：AD=AP,E是P。的中点，：.AE±PD.

又CDCPD=D,CD,PDu平面尸CO,

；.AE_L平面PCD.

'：MN±AB,AB//CD,C.MNLCD.

又,：MNLPC,PCPiCD^C,PC,CDu平面尸CO,

MN1.平面PCD,/.AE//MN.

反思感悟证明线线平行的常用方法

(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.

(2)利用基本事实4:证两线同时平行于第三条直线.

(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.

(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.

(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.

知识点03直线与平面所成的角

有关概念对应图形

一条直线与一个平面相交,但不与这

斜线个平面垂直,这条直线叫做这个平面

的斜线，如图中直线必

/

斜足斜线和平面的交点,如图中点4

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂///

线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在

射影

这个平面上的射影，如图中斜线PA在

平面a上的射影为直线40

定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如

直线与平面图中NB4O

所成的角规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90。；一条

直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是£

取值范围设直线与平面所成的角为仇则0WW90。

【即学即练3】如图，在正方体ABCD—AiBCQi中.

(1)求AiB与平面AAiDiD所成的角；

⑵求ArB与平面BBDD所成的角.

解平面A4i。。，

/./AAiB就是42与平面AAi。。所成的角,

在RtZXAAI中，ZBAAi=90°,AB=AAX,

：.ZAAiB=45°,

AAiB与平面AAxD\D所成的角是45。.

⑵连接4G交3d于点。，连接80.

'."AiOLBiDi,BBi工AiO,BBiCiB1Di=Bl,BBi,BQiU平面BBQQ,

，4OJ_平面BBiDiD,

：.NAiB。就是AiB与平面BBQ。所成的角.

设正方体的棱长为1,则48=/，4。=芋.

又：ZAi<9B=90°,

...sin/AiB0=驾又0°W/A/OW90°,

A\DZ

ZAiBO=30°,

：.AiB与平面BBQ。所成的角是30。.

反思感悟

(1)求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平

面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角.

(2)通过作辅助线找垂线，确定线面角，提升直观想象、逻辑推理的素养.

知识点04直线与平面垂直的性质定理

文字语言垂直于同一个平面的两条直线壬丘

〃_L。，

符号语言□allb

b-La

1^__,

图形语言

反思感悟

一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平

行平面间的距离.

【即学即练4】如图所示，四边形ABC。是正方形，Z）E_L平面ABC。，DE=DA=2.

⑴求证：AC±-TffiBDE；

⑵求AE与平面BDE所成角的大小.

⑴证明,四边形ABC。是正方形，.,.AC_L3D

E_L平面ABC。，ACU平面ABC。，：.AC±DE,

'：BD,DEU平面BED,BDCDE=D,

平面BDE.

（2）解设ACC8。=。，连接EO,如图所示.

：AC_L平面BDE,...E。是直线AE在平面BOE上的射影,

ZAEO即为AE与平面所成的角.

在RtZkEAO中，EXKAD?+D密=2&,A0=@,

AO1

在RtAEOA中，sinZAEO=-^7=^,

EJ/XZ

：.ZAEO=30°,即AE与平面BOE所成的角为30。.

能力拓展

考法01直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解

【典例1】（多选）下列命题中，不正确的是（）

A.若直线/与平面a内的一条直线垂直，贝!）/J_a

B.若直线/不垂直于平面a,则a内没有与/垂直的直线

C.若直线/不垂直于平面a,则a内也可以有无数条直线与/垂直

D.若直线/与平面a内的无数条直线垂直，贝

答案ABD

解析当/与a内的一条直线垂直时，不能保证/与平面a垂直，所以A不正确；当/与a不垂直时，/可

能与a内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若/在a内，/也可以和a内的无数条直线垂直，

故D错误.

反思感悟对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数

条直线”不是一回事.

【变式训练】如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④

正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是.（填序号）

答案①③④

解析根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相

交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.

考法02直线与平面垂直的判定

【典例2］如图所示，在正方体ABCD-AiSGA中，M为CG的中点，AC与BD交于点O,求证：AiOX

平面MBD.

证明：四边形ABCD为正方形，

J.BDLAC,

又平面ABCD,

.•.801,平面AAiO,

：.BDlAiO,

令正方体的棱长为2,连接OM,4M（图略）,

则AiO=#,0M=yf3,4M=3,

：.AiO2+OM2^AiM2,

：.AiO±OM,

又OM^BD=O,

；.40_L平面MBD.

反思感悟证明线面垂直的方法

（1）由线线垂直证明线面垂直：

①定义法（不常用）；②判定定理（最常用），要着力寻找平面内的两条相交直线（有时需要作辅助线），使它们

与所给直线垂直.

（2）平行转化法（利用推论）：

@a//b,aJ_a—6_La;®a//p,a_La=>a_LA

【变式训练】如图，AB为。。的直径，垂直于。。所在的平面，M为圆周上任意一点，ANLPM,N为

垂足.

⑴求证：AML平面P8M；

(2)若4。，尸8,垂足为。，求证：NQ±PB.

证明为。。的直径，：.AM±BM.

又B4_L平面ABM,BMU平面ABM,：.PA±BM.

又4cAM=A,PA,AMU平面B4M,

平面PAM.

又ANU平面：.BM±AN.

又AALLPM,且BM,PA/u平面PBW,

；.AN_L平面PBM.

⑵由⑴知AN_L平面PBM,

u平面PBM,：.AN±PB.

}L'：AQ±PB,ANHAQ^A,AN,AQu平面AiVQ,

••.尸2_1平面m\0.

又NQU平面AAQ,：.PB±NQ.

考法03直线与平面垂直的性质

【典例3】在四面体「一ABC中，若E4=PB=PC,则点尸在平面ABC内的射影一定是△ABC的（）

A.外心B.内心

C.垂心D.重心

答案A

解析如图，设点尸在平面A8C内的射影为点。，连接OP,则P。，平面A8C,

连接。A,OB,OC,

J.POLOA,POA.OB,POLOC,

又PA=PB=PC,

.,.RtAPOA^RtAPOB

^RtAPOC,

贝ijOA^OB^OC,

为△ABC的外心.

【变式训练】如图所示，在正三棱柱ABC—AiBiG中，若AB：BBi=^：I,则AS与平面B8GC所成角

的大小为（）

A.45°

C.30°D.75°

答案A

解析取2C的中点。，连接A。，BiD,

A

B

•；AD_LBC且AD_LBBi,BCCBBi=B,BC,BBiU平面BCCiS,

；.AD_L平面BCCiBi,

：.ZABiD即为ABi与平面331cle所成的角.

设AB=yfi,则AAi=l,AD=^2~,ABi,

AnA/9

)，

AsinZABi£=A7n^i-=VZZABiZ)=45°.

即与平面581CC所成的角为45。.

fii分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.已知AABC所在的平面为夕，I,加是两条不同的直线，ILAB,ILAC,m±BC,mLAC,则直线

/,用的位置关系是（）

A.相交B.异面C.平行D.不确定

【答案】C

【解析】由/人a,。，根据线面垂直的性质定理，可得结果

【详解】因为/_LA3,11.AC,AB,ACa

又AficAC=A,所以/_La,

同理可证机，a,所以"/加.

故选：C

【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，属基础题.

2.设/，机是两条不同的直线，"，夕是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（）

A.若mlla,贝！|/_LaB.若〃啰，a工f3,I_La

C.若ILn,mca,贝D.若/_L£,mL（3,mVa,贝！J/_La

【答案】D

【分析】依据线面垂直判定定理去判断各个选项即可解决.

【详解】选项A：若/_1_m，mlla,则/ua或///tz或/、a相交.判断错误；

选项B：若〃/0，a，。,则/ua或///a或/、口相交.判断错误；

选项C：若/“zua,贝ij/ua或/〃。或/、a相交.判断错误；

选项D：若/_L£,mV/3,则〃/m，又nz_Lcr,贝!!/_La.判断正确.

故选：D

3.下列命题为真命题的是（）

A.若直线/与平面a上的两条直线垂直，则直线/与平面a垂直

B.若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行

C.若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直

D.若直线/上的不同两点到平面a的距离相等，则直线/与平面a平行

【答案】B

【分析】根据线面垂直的性质定理与判定定理、空间直线平面间的位置关系判断.

【详解】A.若直线/与平面a上的两条直线垂直，当平面内两条直线平行时，直线/与平面a不一定垂直,

A错；

B,若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行，这是线面垂直的性质定理，B正确；

C.若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直，这两个平面可以相交，也可以平行，C错；

D,若直线/上的不同两点到平面a的距离相等，直线/与平面a可能相交也可能平行，D错.

故选：B.

4.已知加、〃是两条不同的直线，a是一个平面，则（）

A.若mlln,wua,则

B.若〃？J_""ua,则mJ_a

C.若〃7_L〃，nila,贝！

D.若MIJ_,nila,贝!|祖_L〃

【答案】D

【分析】根据空间中线与面的位置关系判断即可.

【详解】解：对于A：若〃"/〃，wua,则〃?//戊或机ua,故A错误；

对于B：若m_L〃，nua,则加_L（z或相〃夕或a或机与a相交（不垂直），故B错误；

对于C：若m_1_〃，nila,则m或机//1或机ua或机与a相交（不垂直），故c错误；

对于D：若机_Lc,nila,由线面垂直的性质可得〃7,故D正确;

故选：D

5.如图，正方体ABC。-4片GR中，E、F是线段4G上的两个动点，且EF长为定值，下列结论中不正确

的是（）

A.BDLCEB.BD上面CEF

C.三角形BEF和三角形CEF的面积相等D.三棱锥B-CEF的体积为定值

【答案】C

【分析】由正方体的性质知班＞上面ACC1A,由48斤和4CEF的底边E厅上的高不相等可知它们的面积不

相等，又8点到面由的距离为定值，即可判断各项的正误.

【详解】8£＞上面ACCIA，CEU面ACGA，面CEF与面ACC]A重合，所以A,B均正确，

8到后厂的距离为△BAG的高，C到EF的距离即为CG，所以ASEF的面积大于△CEF的面积，C错误;

3点到面CEF的距离为定值，为与长，△回的面积也为定值，D正确.

故选：C.

6.已知四面体ABCD中，Zfi4D=60°,ZBCD=90。,AB=AD=2,H是30的中点，CHLBD,

ZAHC=120°,则四面体的外接球的表面积为（）

.2732952

A.—兀B.—71C.—TCD.—71

51549

【答案】D

【分析】根据已知题意作出几何图形，经过分析可知3。为一BDC所在小圆的直径，所以球心与的中点

的连线垂直于平面即C,然后根据勾股定理列出方程，则求出球心与30的中点的连线的长度，再解方程

即可求得结果.

如图，四面体A3CD的外接球为球O,连接OH,OA.因为N3CD=90。,

则BD为二BDC所在小圆的直径.

又因为/5W=60。，且AB=AD=2,则BD=2.

又我是3。的中点，所以=

又因为NA"C=120。，则NAHO=150°或30.

设球的半径为R,贝4斤-。〃2=1.

在,AHO中，由余弦定理知，

OH2+(A/3)2-7?2

cosl50°=-^-=

22xOHx^3

2

则O"=-§（不合题意，舍去）.

又侬30。=走-）［"，则0"=:，

22xOHxV3।

贝1JR2-3=1,解得R=巫，则球的表面积为年万.

939

故选:D

【点睛】求空间几何体的外接球半径的常用方法：

1、补形法：侧面为直角、或正四面体，或对棱二面角均相等的模型。可以还原到正方体或长方体中求解；

2、利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也就是球直径；

3、定义法：到各顶点距离相等的点为外接球的球心，借助有特殊底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一

定在垂线上，再根据其到其他顶点的距离也是半径，列出方程求解即可.

二、多选题

7.设机，w为不重合的两条直线，"，/为不重合的两个平面，下列命题正确的是（）

A.若且〃//（/,贝!|加〃"；B.若且〃J_a,贝!jm〃"；

C.若〃?//a且机〃则a〃/?；D.若mJ_a且相则a///?.

【答案】BD

【分析】根据线面的位置关系和面面的位置关系可以得出答案.

【详解】解：A：若〃?〃£且“〃a,则机，"可能相交、平行或异面，故A错误；

B：若小，。且根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故B正确；

C：若机//£且机〃刀，根据面面的位置关系定义可得a与尸可能平行也可能相交，故C错误；

D：若相，打且相」万，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故D正确.

故选：BD

8.如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点.则满足的

【答案】BC

【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线MN构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

【详解】设正方体的棱长为2,

对于A,如图（1）所示，连接AC,则舷V//AC,

故/POC（或其补角）为异面直线ORMN所成的角，

CP=1,故tan/POC=J=①,

在直角三角形OPC,oc=6

722

故MNJ_OP不成立，故A错误.

对于B,如图（2）所示，取AT的中点为Q,连接尸2,OQ,则OQLNT,PQ1MN,

由正方体S3cM-N4OT可得SN_L平面⑷VDT,而OQu平面⑷VDT,

故SN，。。，而SNMN=N,故。。,平面SN7M,

又脑Vu平面SN7M,OQLMN,而OQPQ=Q,

所以肱V_L平面。PQ,而POu平面OPQ,故MN_LOP,故B正确.

对于C,如图（3）,连接8£）,贝U3D7MZV,由B的判断可得,

故OPLMN,故C正确.

AS

对于D,如图(4),取AD的中点Q,A3的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,

则AC//MN,

因为DP=PC,故尸Q〃AC,椒PQHMN,

所以NQPO或其补角为异面直线尸O,"N所成的角，

图(4)

因为正方体的棱长为2,故PQ=；AC=应，OQ=^AO2+A(^=71+2=^,

PO=dPK，+OK°=4^1=亚，Q°2<pQ2+op2-故NQ尸。不是直角，

故尸O,肱V不垂直，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

9.在正四面体ABCD中，直线BC与A。所成角的大小为

【答案】|

【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可.

D

【详解】

如图所示,

取BC中点E,连接AE,DE,

由已知A3CD为正四面体,

则ABC,均为正三角形,

所以AE_LBC,DE1BC,

所以平面ADE,

故3C_LAD,

TT

即直线BC与直线AD的夹角为

77

故答案为：万

10.若AB=2,线段⑷3所在直线和平面a成30。角，且Aea,则点8到平面。的距离=

【答案】1

【分析】作出线段所在直线和平面a成30。角的图形求解.

【详解】如图所示:

BO.\.a,

因为线段4?所在直线和平面a成30。角，

所以/BAO=30,

所以点8到平面的距离为3O=AB-sinNB4O=l,

故答案为：1

11.对于任意给定的两条异面直线，存在条直线与这两条直线都垂直.

【答案】无数

【分析】平移一条直线与另一条相交并确定一个平面，再由线面垂直的意义及异面直线所成角判断作答.

【详解】令给定的两条异面直线分别为直线。，6,平移直线人到直线〃，使〃与直线。相交，如图，

则直线〃与〃确定平面a,点A是平面。内任意一点，过点A有唯一直线/JLc,

因此，即有以人，由于点A的任意性，

所以有无数条直线与异面直线。都垂直.

故答案为：无数

12.如图（1）平行六面体容器ABC。-AqGA盛有高度为万的水，AB=AD=441=2,

NAABUNAAOM/BAOMGO.固定容器底面一边3c于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过

A,男,G,。四点，则h的值为.

【答案】逅

3

【分析】作于点£,作于点尸，取E尸的中点G,连接AG,Afi,作AHLAG于点”,

利用边角关系以及线面位置关系结合余弦定理求出sinNAAG的值，证明4”，面A3CD,即可得点4到面

A3CD的距离，从而得平面44GR到平面A3CD的距离，进而可得万的值.

Cl

如图：作AELAD于点E,作4/，48于点厂,

因为NAAD=/AAB=60°,则AE=AF=esin60=2x与=也,

AE=AF=AAlcos60=2x^=1,

又因为NEA尸=/BAD=60。，所以△AEF为等边二角形，则EF=AE=1,

取所的中点G,连接AG,Afi,则AGLEF,Afi1EF,

EG=FG=-EF=-,

22

因为AGc4G=G,所以EF上面A4Q,

AG=7A£2-£G2=

/311—

4+

封+松-产4~711V3

由余弦定理可得:cosZ^AG=2x2x73

2AAiAG

2

所以sinAA.AG=7l-cosV^AG=

作于点H,因为EF1面A4Q,AHu面44Q,

所以所_LA»,因为AGcEF=G,所以面ABCD,

所以点A1到面ABCD的距离为d=AH=44,sinNA41G=2x^=手，

故平面A由G2到平面ABCD的距离为d=巫,

3

由题意可知：所盛水的体积为平行六面体容器ABC。-A/]GD的一半,

所以〃；

23

故答案为：巫.

3

四、解答题

13.如图，在三棱锥P-ABC中，D,E分别为AB,的中点，EB=EA,且B4LAC,PCLBC.求证:

3c2平面PAC.

B

【答案】证明见解析.

【分析】由题可得上4,4?,利用线面垂直的判定定理可得PAL平面ABC,进而可得R41.3C,然后利用

线面垂直的判定定理即得.

【详解】丫在△A£B中，。是A2的中点，EB^EA,

ED上AB,

是PB的中点，。是AB的中点，

ED//PA,

PArAB,

又F4_LAC,ABr>AC=A,ABu平面ABC,ACu平面ABC,

PA_L平面ABC,

,/BCu平面ABC,

PA1BC,

又PCLBC,PAPC=P,PAu平面PAC,尸Cu平面PAC,

平面PAC.

14.如图所示，在ABC-Aqq中，侧棱44,底面ABC,且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1,D

是AC的中点.

（I）求证：与。〃平面ABD；

（n）求直线A片与平面A3。所成角的正弦值；

（1H）求二面角A-BD-4的大小.

【答案】（I）证明见解析；（II）网（ID）与.

54

【分析】（I）设与A片交于E，连接。区则OE为.AC用的中位线，即石。//20,根据线面平行的

判定定理，即可得证；

（口）取4。中点「连接AF、EF,由题意可得AFLA。，根据线面垂直的判定及性质定理可证3D_LAF，

所以平面A3。，所以-1EF为直线A4与平面4与。所成平面角，根据题中长度，即可求得答案；

（0）由（口）可得BD/AQ,又ADLBD,所以乙4图即为二面角A-2。-4所成的平面角，根据题中

长度，即可求得答案；

【详解】（I）证明：设与A与交于£,连接。E,如图所示：

由题意得E、D分别为44、AC的中点,

所以EZ）//旦C,

又£»匚平面48。，片CU平面

所以耳C//平面48。；

CD）取4。中点色连接AGEF,如图所示

由题意得四边形44（。为矩形，且AC=2,M=l-。为AC中点,

所以A4,_LA£）且4^=AD=1,

所以△A41O为等腰直角三角形，又尸为AQ中点，

所以A尸，AQ.

又。为AC中点，且24=2。，

所以BDLAC,

又侧棱AA_L底面ABC,BDu平面ABC,

所以AALBO,又A4|AC=A,

所以8。上平面ACGA，又AFU平面ACGA，

所以BDLAF,又BD\D=D,

所以AF_L平面AB。，

所以NAEF为直线AB】与平面ABD所成平面角,

在用中，AF=—,AE=—,

22

V2

所以sin/AEP=M=+=?,

AE，55

~T

所以直线Ag与平面A.BD所成角的正弦值为半.

（in）由（II）可得3D人平面ACC0,又ADu平面AC£A,

所以8。上A。，又AD_LBD,

所以NADA即为二面角A-8O-4所成的平面角,

在用中，AAi=AD=],

才

所以NA0A=45O=W，且二面角A-4为锐二面角，

所以二面角A-BA-A的大小为

4

15.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面小C,平面尸CD

PA.LCD,CD—2,AD=3.

(1)求证：平面PCD；

⑵求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

【分析】(1)取棱尸C的中点N,连接DN,可得。NLPC,利用面面垂直的性质定理可得。N,平面B4C,

从而得到DNYPA,利用线面垂直的判定定理证明即可；

(2)连接AN,由线面角的定义可得，NZMN为直线A。与平面B4C所成的角，在三角形中，利用边角关

系求解即可.

【详解】(1)证明：取棱PC的中点N,连接。N,

由题意可知，DNLPC,又因为平面B4C_L平面PCD,平面出Cn平面PCD=PC,

所以£W_L平面PAC,又E4u平面PAC,

故。N_LE4,又B4_LCZ),CDcDN=D,CD,ONu平面PC。,

则B4_L平面PCD；

B

(2)连接AN,由(1)可知，ON_L平面用C,

则ND4N为直线AD与平面B4c所成的角，

因为—PCD为等边三角形，8=2且N为尸C的中点，

所以DN=6,又DNLAN,

在RtA/M/V中，sinzDAN^—=^,

AD3

故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为显.

3

16.如图，在三棱锥A3CD中，ABA.AD,BC1BD,平面AaD_L平面8C。，点E、F(E与A、。不

重合)分别在棱AT>,BD上,且防〃平面ABC.求证：

(1)EFJLAD-,

(2)ADVAC.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)根据线面平行的性质定理证得防工仞.

(2)通过证明AD,平面A3c证得A。，AC.

【详解】(1)由于砂〃平面ABC,EFu平面ABD,平面ABZJc平面ABC=AB,所以EF//AB.

由于所以EF工AD.

(2)平面ABD，平面BCD,且这两个平面的交线为3。，BC±BD,所以BC/平面ABD,

所以3C_LA。，由于AB_LAT),BCIAB=B,

所以平面A3C,所以AD_LAC.

题组B能力提升练

一、单选题

I.在正方体A3CD-中，直线平面AC（/与直线8月不重合），贝U（）

A.BjBIZB,BxB//l

C.8出与/异面但不垂直D.8出与/相交但不垂直

【答案】B

【分析】由正方体可知平面4月G2,根据线面垂直的性质判定.

【详解】；42,平面直线//平面4G

故选：B.

2.上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至

12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）

A.0B.2C.4D.12

【答案】B

【分析】利用线面垂直的性质即可.

【详解】3点时和9点时时针垂直于相邻的平面，故此时两个时针互相垂直.

二每天。点至12点（包含0点，不含12点），

相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,

故选：B

3.己知点A、8在平面"的两侧，且点A、8到&的距离分别为3和5,则A2的中点到。的距离为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】由线面垂直性质得到线线平行，将空间点面距离转化为平面线段长度，再由平面中点坐标公式求

解即可.

【详解】如图，设的中点为C,过A、2分别作平面夕的垂线，垂足为A\B'.

则AAHBB',A,A',民8'四点共面.过C作CC」AB',垂足为C',则CC〃&A',

又则CC'Le.即C'C即为所求点到平面a的距离.

在平面A4'班'中，A'A=5,B8'=3,C为AB中点，则C'C==-3+=5=1.

2

故选：D.

【点睛】立体几何中点面距离求解的常用方法有：一是"找一一证一一求"三步法；二是等体积法；三是法向

量法.

4.如图，在直三棱柱ABC-中，CA=CB,尸为的中点，Q为棱CG的中点，则下列结论不正确

A.PQ1\BB.AC〃平面A3。

C.PQ1CQD.PQ〃平面ABC

【答案】B

【分析】A选项可以利用三线合一证明垂直关系，

B选项可利用"线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.

C选项先通过类似A选项的证明得到线线垂直，结合AC的结论得到线面垂直后判断，

D选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明，

【详解】不妨设棱柱的高为2/z,AC=CB=x.

B选项，根据棱柱性质，AQ//AC,而ACc平面若AC〃平面A8。，无论怎样平移直线AC,

都不会和平面A3。只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误；

22

A选项，计算可得，QAl=QB=ylx+h,又尸为48的中点，故尸。（三线合一），A选项正确；

C选项，连接。综QA,A瓦，根据平行四边形性质，A与过P,计算可得，QA=QBi=j£+h。,又P为A片的

中点，故尸。_LA耳（三线合一），结合A选项，尸。，AB,ABt\B=P,A综平面AB4A，故尸。工

平面由44Iu平面ABBE,故尸01AA，棱柱的侧棱44"/CC,,故PQ_LCC],C选项正确；

D选项，取AB中点E,连接PE,CE,结合P为4出的中点可知，PE为中位线，故尸£7/44，且

PE=^AAi,即收〃CQ,且PE=C。，故四边形尸EC。为平行四边形，故尸2〃CE,由PQZ平面ABC,

CEu平面A3C,故尸2〃平面ABC,D选项正确.

5.已知平面a内的NAP3=60°,射线尸C与尸4尸8所成的角均为135。，则PC与平面1所成的角（9的余弦

值是（）

【答案】B

【分析】作出图形，如图，通过分析，可得NCPZ）为尸C与平面。所成的角的补角，利用余弦定理可以计算.

【详解】作出如下图形，令PA=PB=PC=2,贝!!?CPA?CPB135,:.AC=BC,

取A3中点O,连接尸D,则/CPD即为PC与平面4所成的角的补角,

在A4PC中，AC2=PA2+PC2-2PA蹙Ccos135=8+40,

,在.PCD中，CD2=AC2-AD2=7+472,

PD=K,

PC1+PD--CD2_V6

\cos?CPD

2PCxPDr

金与平面。所成的角。的余弦值是手.

故选：B.

【点睛】本题考查线面角的求法，找出所成角，构造三角形是解题的关键.

6.如图，在中，点尸在一ABC所在平面外，点。是P在平面ABC上的射影，且点。在_ABC的内部.若

PA,PB,PC两两垂直，那么点。是A3C的（）

C.垂心D.重心

【答案】C

【分析】通过线线垂直证线面垂直以及线面垂直证线线垂直，依次可证24,平面PBC,PALBC,POLBC,

3。1平面阴。，BC1AO；同理可证30,AC,CO±AB,即得点。是的垂心

【详解】连接04、OB、OC,

••PArPB,PAIPC,P3、PCu平面PBC,PBcPC=P,：.PAL平面PBC,

•••3Cu平面PBC,PA1BC.

由题意，POmABC,3。匚平面42<?,二尸。1.3。,

又PA,P0u平面B40,BlcPO=P,3C1平面BAO,

QAOu平面B4O,二BCLAO,

同理可证3O1AC,CO!•AB,.,.点。是一ABC的垂心.

故选：C

二、多选题

7.已知正方体ABCD-4B】GQ的棱长为1,E是。5的中点，则下列选项中正确的是（）

A.ACA.B1E

B.BiCW平面AiBD

C.三棱锥G-BiCE的体积为g

D.异面直线&C与BD所成的角为45。

【答案】AB

【分析】对于A,由已知可得ACJ_平面BBiDQ,从而可得ACJ_&E；对于B,利用线面平行的判定定理可判

断；对于C,由％_B,CE=5.GCE进行求解即可；对于D,由于BDIIBiQ,所以N是异面直线&C与8。

所成的角，从而可得结果

【详解】解：如图,

G

■，-ACrBD,AC±BBT,，AC_L平面BB】。］。,

又&£评面BBiQD,：.AC±BiE,故A正确；

•/BiCWAiD,4。印面4BD,&C<Z平面4BD,.1&CII平面48。，故B正确；

三棱锥Ci-BiCE的体积为％_BQE=K),-GCE=：x!xlxl=：,故C错误；

326

•••BDIIBQ1，,NCBiD1是异面直线&C与B。所成的角，又△CB】D1是等边三角形，

.,.异面直线&C与B。所成的角为60。，故。错误.

故选：AB.

【点睛】此题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线所成的角以及体积的计算等知识，考查推

理能力，属于中档题

8.如图所示，在三棱锥V-ABC中，AB=BC,且NL4B=NVAC=NABC=90。，尸为线段VC的中点.则

()

A.P8与AC垂直

B.P5与VA平行

C.点P到点A,B,C,V的距离相等

D.m与平面ABC,尸8与平面ABC所成的角可能相等

【答案】AC

【解析】由题设可证底面48C,作AC中点H,由中位线定理可证尸易证PBLAC,再由H为

RtABC外心得P到A,8,C三点距离相等，尸为RdVAC外心，可证点尸到点A,B,C,V的距离相等;

结合正切定义可证VB与平面ABC,尸5与平面ABC所成的角不相等

【详解】过点尸作PH_LAC,垂足为H,连接可得“为AC的中点.

因为AB=BC,所以8HLAC,所以AC,平面尸3”,所以ACLPB,从而A正确；

由条件可知P"〃3,而PH与PB有交点、,因而尸8与VA不平行，B错误;

点P是处ZWAC的外心，所以P到V,A,C的距离相等,

根据条件可知VAJ_平面A3C,从而尸〃_L平面A3C,又因为H是RtAABC的外心，所以尸点到A,B,C

的距离相等，所以点尸到A,B,C,V四点的距离都相等，C正确;

yA

出与平面ABC所成的角即5A,跳与平面由所成的角即加，