北京市房山区2023-2024学年度高二年级上册期中考试数学试题【解析版】

北京市房山区2023-2024学年度高二上学期期中考试数学

试题【解析版】

第一部分(选择题共50分)

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，

选出符合题目要求的一项.

1.已知A(-L3),8(3,5),则线段AB的中点坐标为()

A.(1,4)B.(2,1)C.(2,8)D.(4,2)

2.如图，平行六面体ABC。-A4G。中，E为CC1中点.设AB二a，AD=b，44,=c,

用基底｛。，6,4表示向量AE，则AE=<)

C.a+4+cD.—a+Z?+c

22

3.在如图所示的正方体ABCD-A耳GA中，异面直线A/与8c所成角的大小为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

4.在棱长为2的正方体ABC。-A4CQ中，=()

A.2忘B.4亚C.2D.4

5.如图，在四面体A-BC。中，49，平面8。9,BCLCD,则下列叙述中错误的是

()

A

---丁7D

C

A.NACO是直线AC与平面BCD所成角

B./AAD是二面角A-8C-O的一个平面角

C.线段AC的长是点A到直线BC的距离

D.线段AD的长是点A到平面BCD的距离

6.已知直线，i：2x+（q_l）y+a=0与直线4：ox+y+2=0平行，贝i]a的值为（）

A.-1或2B.—C.2D.—1

7.在同一平面直角坐标中，表示4：y=6+。与仆y=6x-a的直线可能正确的是（）

8.长方体ABCO-A4G。中，AAl=AB=2,M为A8的中点，D.MVMC,则4）=

（）

A.1B.2C.3D.4

9.设尸为直线y=-l上的动点，过点尸做圆C：（x+3Y+（y-2）2=4的切线，则切线

长的最小值为（）

A.2B.6C.3D.-Jvi

10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》

是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数

%依＞0且％"）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点A（-l,0）,

8（2,0）,圆C:（x-2y+（y-姆=","0）,在圆上存在点尸满足|网=2俨卸，则实数

m的取值范围是（）

J5向

~2

第二部分(非选择题共100分)

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11.已知4(2,1),8(0,-3),则直线的斜率3.

12.已知4(0,0),8(2,2),C(4,2),则依C外接圆的方程为________.

13.已知直线/与平面a所成角为45。，A,8是直线/上两点，且AB=6,则线段A3在

平面。内的射影的长等于.

14.如图，长方体ABCO-AAGR中，AA,=AD=\,AB=1,则点A到点B的距离

等于;点R到直线AC的距离等于

15.已知圆。：/+/=/&>0)和直线/：x-y+4=0,则圆心。到直线/的距离等

于;若圆。上有且仅有两个点到直线/的距离为0,写出一个符合要求的

实数,的值，，・=.

16.如图，在四棱锥P-A8CO中，底面ABC。是边长为1的正方形，一抬8是等边三

角形，。为A3的中点，且PO上底面438,点F为棱PC上一点.给出下面四个结论：

①对任意点尸，都有CCOF；

②存在点F,使。尸〃平面尸仞；

③二面角P—AC—B的正切值为新；

④平面PAB_L平面A8CO.

其中所有正确结论的序号是

三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过

程.

17.已知三条直线4：x+y—2=0,4：x—3y+10=0,4：3x—4y+5=0.

(1)求直线4，乙的交点〃的坐标;

(2)求过点M且与直线人平行的直线方程;

(3)求过点M且与直线4垂直的直线方程.

18.已知圆C的圆心为点。(1,-3),半径为2.

(1)写出圆C的标准方程；

⑵若直线/：》->-2=0与圆C交于A,B两点,求线段48的长.

19.如图，在四棱锥P-A5CD中，底面ABC7),底面ABCD是正方形，PA=AB=\,

M为尸8的中点.

(1)求证：平面P8C；

(2)求直线PO与平面PBC所成角的大小；

(3)求点D到平面PBC的距离.

20.如图，在三棱柱ABC-A4G中，AA_L平面4BC,。是BC的中点，BC=6,

4A=AB=AC=1.

D

B

⑴求证：AB〃平面AOC；

(2)求二面角O-AG-C的余弦值；

(3)判断直线A由与平面AOG是否相交，如果相交，求出4到交点〃的距离；如果不相

交，求直线4片到平面AOG的距离.

21.已知圆M：/+y2-4x-2y=0和直线/：y=Ax-l.

⑴写出圆M的圆心和半径；

(2)若在圆M上存在两点4,8关于直线/对称，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，

求直线A8的方程.

1.A

【分析】用中点坐标公式即可求解.

-1+3

a=F-

【详解】设线段A8的中点坐标为“（。力），则3工，

b=:-

2

（4二1

即6=4'则线段A8的中点坐标为“（L4）.

故选：A.

2.B

【分析】利用几何图形的关系，结合向量的加法运算，即可求解.

【详解】AE=AC+CE=AB+AD+^AAt=a+b+^c.

故选：B

3.C

【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解

【详解】连接A。，DB,如图,

因为正方体中AD//8C，

所以NBAD就是A8与B、C所成的角,

在；BA】Z）中，A^D=\B=BD.

・・./%。=60。.

故选：C

4.D

【分析】根据向量数量积定义计算即可.

D,c

C

在棱长为2的正方体ABC。-A冉GR中，

易知14Al=2,闸|=2&

因为AA=与3cl的夹角为­,

所以A4,与BQ的夹角为:，

/Z

A4,•BCt=|A4l|.|fiCl|cos^=2x2>/2x^-=4.

故选：D

5.B

【分析】根据线面垂直即可求解AD,根据8c1平面AC。，即可得3C_LAC,进而判断

C,结合二面角的定义即可判断B.

【详解】对于AD,由于">_L平面88,所以/AC。是直线AC与平面BCO所成角，线

段AO的长是点A到平面BCD的距离，故AD正确，

对于B,AT>J_平面8c。，8。匚平面8。。,所以8。，4。,又8。_18,

AD8=。,4£),8<=平面48,所以BC/平面ACZ),

C4u平面ACD,故3c1AC,

又BCLCD,ACu平面ABC,C£)u平面BCD,

故/AC£>是二面角A-8C-Q的一个平面角，故B错误，

对于C,由于BCJ.AC,所以线段AC的长是点A到直线BC的距离，C正确，

故选：B

6.D

【分析】根据两直线平行，即可列式求解.

【详解】因为“4,所以

a12

解得：a=-\.

故选：D

7.C

【分析】结合各选项分析直线的斜率与在y轴上的截距，即可判断.

【详解】对于A：由图可得直线4的斜率a>0,在y轴上的截距

而4的斜率6<0,矛盾，故A错误.

对于B：由图可得直线4的斜率a>0,在y轴上的截距%>0；

而4的斜率6<0,矛盾，故B错误.

对于c：由图可得直线4的斜率“<0,在)轴上的截距b>0；

而4的斜率方>0,在y轴上的截距-。>0,即a<0,故C正确.

对于D：由图可得直线4的斜率。<0,在y轴上的截距6<0；

而4的斜率方>0,矛盾，故D错误.

故选：C.

8.A

【分析】连接CR,设4£>=a(a>0),表示出CM,CD,,MD,,利用勾股定理计算可得.

【详解】如图连接C0,设4O=a(a>0),则CM=J/+1，

CD,=V22+22=2V2,MD、=V«2+l2+22=J/+5,

因为RM1MC,所以MC2+MR2=C22,即/+1+/+5=8,解得a=l(负值舍去).

故选：A

9.B

【分析】根据切线最小时为圆心到直线上的点的距离最小时可以求出圆心到直线的距离，再

求出切线长即可.

【详解】圆心为。(一3,2),半径为r=2,设切点为。，

要使得切线长归。|最小，则|。耳最小，此时CP，/,

所以|CP|=臂=3,所以|也|=廊=二=石，

故选：B

10.D

【分析】设P(x,y),根据|E4|=2|P8|求出点尸的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点,

根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.

【详解】设P(x,y),因为点A(—1,0),8(2,0),|申|=2|陶，

所以yj(x+\)2+y2=2^(x-2)2+y2即/+丁-6x+5=0,

所以(x-3)\y2=4,可得圆心(3,0),半径R=2,

由圆C:(x-2)2+(y-⑺2=；可得圆心C(2m),半径—=],

因为在圆C上存在点产满足|R4|=2|PB|,

所以圆(x-3)2+V=4与圆C:(x—2y+(y-m)2=；有公共点，

所以2—彳4J(3—2)~+〃-<2+—>整理可得：1+/n2<,

解得：JlqmM叵,

22

所以实数机的取值范围是手，等，

故选：D.

11.2

【分析】根据直线斜率公式进行计算即可.

【详解】根据题意，kAB=^^-=2,

故答案为：2.

12.x2+y2-6x+2y=0

【分析】首先设.MC外接圆的方程为『+/+m+6+尸=0,从而得到

F=0

4+4+2£>+2E+F=0,再解方程组即可.

16+4+4D+2E+F=0

【详解】设ABC夕卜接圆的方程为丁+J、+。工+砂+/=o,

F=0£>=-6

则44+4+2D+2E+T7=0=><E=2,

16+4+4O+2E+F=0[F=0

所以45c外接圆的方程为：x2+y2-6x+2y=0.

故答案为：x2+y2-6x+2y=0

13.3也

【分析】依题意可得线段AB在平面a内的射影的长等于Mcos45。.

【详解】因为直线/与平面a所成角为45。，A,B是直线/上两点，且AB=6,

则线段AB在平面a内的射影的长等于ABcos45。=6x—=372.

2

故答案为：3亚

14.V6苧##]«

【分析】以向量D4，DC，所在方向为x轴，）'轴，z轴建立空间直角坐标系，根据两

点间的距离公式可求点R到点8的距离；连接。①，作。E垂直AC,垂足为E,求出向量

ULIII

ADt在向量AC上的投影，由勾股定理即可求点。到直线AC的距离.

【详解】如图，以向量DA，DC，所在方向为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

由M=AO=1,AB=2,则2（0,0,1）,1,2,0）,所以1却=Jl+4+1=3,

所以点R到点B的距离等于V6.

连接0A,作RE垂直AC,垂足为E,由A（l,0,0）,C（0,2,0）,所以叫=（一1,0,1）,

,、।AD,■AC1V5

AC=（T2,0）,所以MAE|=不不=忑=行，

又|A〃卜近,所以点】到直线AC的距离d=NJ=手.

15.202（答案不唯一）.

【分析】根据点到直线距离公式计算；将圆。上有且仅有两个点到直线/的距离为应转化

为半径与圆心。到直线/的距离之间的关系即可求解.

|0-0+4|

【详解】圆心。到直线/的距离为d==2&；

VT+T

因为圆。上有且仅有两个点到直线/的距离为正，所以-0<"-厂<应，解得0<〃<3&.

故答案为：2近;2（答案不唯一）.

16.②③④

【分析】根据题意，利用空间直线与直线，直线与平面位置关系，依次进行判断即可.

对于①，若点F与点C重合，显然不满足所以①错;

对于②，若点F为线段PC中点，取线段尸。中点E,连接EF,

贝IJEF8且EF=；C£>,

所以所〃A。且EF=AO,则四边形AOFE为平行四边形，

得。尸〃AE,因为。/0平面PA£）,AE=平面PAD

所以OF〃平面尸AQ,所以②正确；

对于③，因为。为的中点，且PO1底面A8CO,

过。作OHJ_AC于H,

则NPHO即为二面角尸―AC—3的平面角，

根据边长可求得P0=且，0"=变，

24

所以tanNPHO=2所以③正确:

4

对于④，因为底面A8C£>,POu平面R4B,

所以平面PAB_L平面ABC。，所以④正确;

故答案为：②③④

17.(1)M(2,4)

(2)3x-4y+10=0

⑶4x+3y—20=0

【分析】(1)联立直线方程，即可求解；

(2)根据己知条件，结合直线平行的性质，即可求解;

(3)根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解;

fx+y—2=0fx=2

【详解】(1)联立；in八，解得，，

[x-3y+10=0[y=4

故交点〃坐标为M(2,4)；

(2)所求直线与直线4平行，

则所求直线可设3x-4y+C=0(Cw5),

所求直线过点M(2,4),

则3x2-4x4+C=0,解得C=10,

故所求直线方程为3x-4y+10=0；

(3)所求直线与直线4垂直，

则所求直线可设4x+3y+£>=0,

所求直线过点M(2,4),

则4x2+3x4+£>=0,解得£>=一20,

故所求直线方程为4x+3y-20=0.

18.(l)(x-l)2+(y+3)2=4

⑵2夜

【分析】(1)根据圆的标准方程定义可得解；

(2)求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得.

【详解】(1)因为圆心C(l,-3),半径厂=2,

所以圆C的标准方程为(x-l)，(y+3)2=4.

(2)圆心C到直线/的距离d==

V2

2

19.(1)见解析

⑶变

2

【分析】(1)根据线线，线面的垂直关系的转化，即可证明线面垂直；

(2)首先建立空间直角坐标系，由(1)可知向量AM是平面P8C的法向量，利用向量法

求线面角的大小；

(3)根据(2)的结果，结合点到平面的距离的定义，即可求解.

【详解】(1)因为上4,平面ABC。，所以

又PAAB=A,尸A,A8u平面%

所以3cl平面以8,AMu平面乃W,

所以BC_LAM,

因为R4=/W,且点〃是尸8的中点，所以AA/J_P8,

且8cPB=B,

所以AA/1平面PBC；

(2)以点A为原点，以向量A8,ARAP为％y,z轴的方向向量，建立空间直角坐标系,

A（0,0,0）,P（O,O,1）,。（0,1,0）,8（1,0,0）,C（l,l,0）,

A例=（；,0,£|,PD=（0,1-1）,

由（1）可知，向量AM是平面PBC的法向量，

设直线与平面PBC所成角为凡

_1

-5

所以sin(9=|cos(PZ),AM，卜则。=9

正走LO

2

所以直线PD与平面PBC所成角的大小为与；

6

（3）因为R4=AD=1,则=

由（2）可知，直线尸£）与平面P8C所成角的大小为

所以点。到平面P6C的距离为&sin^=走.

62

20.⑴见解析

⑵如

3

（3）相交，AH=-j2

【分析】（1）构造中位线，利用线线平行证明线面平行；

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求二面角的余弦值；

（3）利用平面的性质，即可判断直线A片与平面AOC的位置关系，并利用图形求解.

【详解】（1）连结AC交AR于点E,连结。£,

小

因为点Z),E分别是BC，AC的中点，所以。E//A8,

且£)Eu平面AOG，4乃仁平面4。6，

所以AB//平面4OG；

(2)因为钻=AC=1,BC=五,

所以AB1AC,且平面ABC,

所以如图，以点A为原点，以向量AB,AC,A4,为x,y,z轴的方向向量建立空间直角坐标系,

A(0,0,0)