高三数学新高考一轮复习 导数与函数的最值

4.4导数与函数的最值

课标要求考情分析核心素养

新高考3年考题题号考点

借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的数学运算

必要条件和充分条件；能利用导数求某些函导数求最

8逻辑推理

数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超2022(I)卷值、已知最

22

过三次的多项式函数的最大值、最小值;体会值求参直观想象

导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.利用导数求

2021(I)卷15

函数最值

1.函数的最值

(1)函数丿在［a,3上有最值的条件：如果在区间Za,切上函数的图象是一条连续的曲线，那么它必有

最大值和最小值.

⑵由区间［a,6］上单调性情况求最值：

①若函数F々丿在(a,6］上单调递增，则『3为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f㈤在［a,用上单

调递减，则fQ)为函数的最大值，丿为函数的最小值.

(3)若函数/10在［a,6］上先增后减，极大值为最大值，/1㈤与f㈤中较小值即为最小值；或先减后增，极小

值为最小值，f(a)与f㈤中较大值即为最大值；

(4)若函数在［a,6］上增减增，极大值与中较大值即为最大值，极小值与FQ丿中较小值即为最小值；

若函数fG)在［a,加上减增减，极大值与f㈤中较大值即为最大值，极小值与/YW中较小值即为最小值.

1.若函数/立丿在开区间Q,〃内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.

2.函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整

体情况，是函数在整个区间上的函数值的比较.

1.【P93例6】函数y=2戸-3/-/2x+5在03/上的最大值是,最小值

是.

2.【PIO4T8】若函数f3=/--+a在一厶〃上的最小值是厶则实数a的值是()

A•/B.3C,D.-/

［|考点一利用导数求函数的最值

【方法储备】

利用导数求函数F&丿在B，刃上的最值的一般步骤：

(1)求函数在分内的极值；

(2)求函数在区间端点处的函数值f⑵丿，f(b)；

(3)将函数f/的各极值与/YM,f㈤比较，其中较大的一个为最大值，较小的一个为最小值.

(4)函数在区间后，〃上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用

中经常用到.

【典例精讲】

例1.（2022•江西省赣州市模拟）已知函数f（x）=2x+l-夕nx.

（〃求FG）的图象在点（1,刀处的切线方程；

0求f（x）在［1,3/上的最大值与最小值.

例2.（2021•山东省烟台市期中）已知函数f（x）=Inx-ax2

（〃讨论FG）的单调性,•

⑵当a>0时，求在区间〃，刃上的最大值.

【名师点睛】

函数求区间上的最值，要明确函数在该区间上的单调变化情况，若极值点含有参数，或者区间端点含

参数，要讨论极值点与区间的位置关系.如例2中，极值点含参数，讨论的思路与“二次函数闭区间上求最值”的

思路一致，有些试题还需讨论端点处函数值大小.

【靶向训练】

练11（2022♦江苏省南京市月考）函数f（x）=-2x-/lnx/+2的最大值为.

练12（2022•山东省东营市月考）设a>0,函数f"二也;

X

〃丿判断函数FG丿的单调性；

⑵求函数『立丿在区间［a,2a丿上的最大值.

I考点二根据函数的最值求参数的值（范围）

【方法储备】

1.含参数函数的单调性和最值（极值）的探究，解答时常用到分类讨论与数形结合的思想，主要题型有以下几种：

⑴已知函数在定区间的最值（极值），极值点不确定，讨论极值点和区间的位置关系.

⑵已知函数在动区间上的值域或者最值，极值点确定，讨论极值点与区间的位置关系..

2.不等式恒成立（有解）问题，往往是构造函数，转化成利用导数求最值解决.

【典例精讲】

例3.（2022•湖北省武汉市期末）已知函数/'々>=a力X--/G£划，若的最小值为0,则a的值为

X

（）

A.1B.-7C.0D.-2

例4.（2022•北京市市辖区模拟）力满足ax,则实数a的取值范围为（）

A.a<1B.0<a<1C.0<aW1D.aW1

【名师点睛】

已知函数的最值求变量的取值范围，其实质仍是求函数的最值，即用变量表示函数的最值，结合条件构建变量的

方程即可.恒成立问题，可分离参数构造不含参数的函数求最值，或者构造含参函数，分类讨论求最值.

【靶向训练】

练21(2022•江西省吉安市月考)已知函数f(x)=卜，；'5三。丿,八,的值域为〃，+8丿,则实数a的取值范围是

(-炉+3x+a,(x<0)

()

A.[1,+°°)B.(lf+°°)C.(3,+°°)D.[3,+00)

练22(2022•安徽省蚌埠市月考)已知函数f(x)』$-ax-2x+21nx,a>0.

讨论的单调性；

⑵若函数f⑨在区间[1,2丿上的最小值为-3,求a的值.

年点三利用导数解决实际应用问题

【方法储备】

利用导数解决应用问题的思路是：建模、解模、验模，解题步骤为：

1.分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写岀问题中变量之间的函数关系式y=f(x)；

f'(x),解方程f'(x)=0；

f'(x)=。的点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；

4.回归实际问题作答.

【典例精讲】

例5.(2022♦江西省南昌市月考)如图，某款酒杯容器部分的形状为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的

正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大

体积为()

A.3\[3ncm1B.8y[3^cnr1

25&J33

C.9^3TIcni1D.------ncnr

27

【名师点睛】

解决实际问题应注意:

1.由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义;

2.用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，根据实际意义，该极值点就是最

值点.

【靶向训练】

练31(2022•广东省佛山市月考)要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20,要使其体积最大，则其高为()

4华B.100C.20D.y

练32(2022•)如图，在四面体46(力中，点即G，%,分别在棱他関上，且平面坊。0〃

平面腼,4/为A6斷内一点，记三棱锥4/的体积为匕设煞=x，对于函数V^f(x),

则下列结论正确的是()

A.当x=（时，函数/■々丿取到最大值

B.函数f/在G，丿）上是减函数

C.函数的图象关于直线对称

D.不存在£”使得f（x*>33腐>^^中以-go/为四面体48切的体积丿.

核心素养系列逻辑推理一一利用导数解决函数中的极值与最值综合问题

高考对导数的考查，是应用导数来解决函数问题，以导数为工具探究函数的性质，围绕函数的单调性、极值、最值

展开，借此研究不等式恒成立或证明不等式等问题,着重考查分类讨论、数形结合、化归与转化等数学思想方法.

【方法储备】

利用导数解决函数中的极值与最值问题，常见的解题方向有：

1.利用导数求函数的极值与最值

⑴在函数定义域的基础上，求出函数的单调区间，若函数带有参数，需要分类讨论；

⑵对照单调区间的分界点，明确极值点，进而求出极值；

⑶根据函数在给定区间上的单调性，若极值点含参数或区间端点含参数，讨论极值点与区间的位置关系判断单调

性，再比较极值与端点处函数值，也可结合函数图象，求出函数最值.

点与最值求其它量的取值范围

⑴已知函数极值点或极值点个数，转化为导函数的零点，借助零点问题的解题思路求值或取值范围；

⑵已知函数最值，与求函数最值的解题思路一致，通过给定区间上单调性的判断，明确函数取最值的点，表示出

最值.

在其它知识点下，如立体几何、解三角形问题中涉及求最值问题，构建函数关系，利用导数求出最值，要注意自

变量的取值范围.

【典例精讲】

例6.（2022•河南省平顶山市月考）已知函数/（x）=/+血nxOe江

⑴当0=-/时，求/（x）的最值；

⑵当卬=2时，记函数㈤-axQ》5）的两个极值点为X”x2,且M<xz，求式x?）-4>/）的最大值.

例7.（2022•江西省南昌市期中）己知函数=lnx+a/+L

⑴若a=/,求在尸«/W丿处的切线方程；

⑵当。时，有最小值2,求a的值.

例8.（2021•山西省忻州市月考）一个等腰三角形的周长为力,四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，

若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为

)

500/250用

A.BC.5/3D.15/2

81*27

【名师点睛】

1.处理解答题时，要求步骤规范，含参数时，讨论参数的范围，要分界明确，不重不漏.

2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，研究其单调性，求岀极值，也可画出函数的大致图象，借助图象观察

得到函数的最值.

【靶向训练】

练51(2021•江苏省南京市月考)已知函数f(x)+等/+2ax.

〃)当。=2时，求过坐标原点且与函数y=/(x)的图像相切的直线方程；

⑵当aG0时，求函数/(x)在［-2a,a］上的最大值.

练52(2021•江苏省南通市月考)如图，将矩形纸片/鹼的右下角折起，使得点8D_____B工,匸

落在切边上点均处，得到折痕仞V,已知AB=5cm,BC=4cm,则当

tan/BMN=____________________时，折痕"V最短，其长度的最小值/

为---------------------億ALB

易错点1混淆极值与最值的概念致错M--------

例9.(2021•江苏省盐城市月考)函数f(x)在区间£-3,3/上的最大值与最小值之和

是.

答案解析

【教材改编】

1.【解析】因为f'(x)=6d-6x-12=6(x+l)(x-2),

由0得，2<xW3,由F'々丿<。得，0Wx<2,

则函数在0上单调递减，在(Z切上单调递增,

所以f69在x=2处取得极小值f(2)=-15,

又f(O)=5,f(3)=-4,

所以f(x)在03/上的最小值为-15,最大值为5,

故答案为：5；-15.

2.【解析】令f'6)=3/-2x=x3x-2)=0,解得x=。，或了=：

当Xe(0,9时，f(x)<0,Xe(^,1)U(-1,0丿时，f'(x)>0,

又f《)=a-ff(-l)=a-2,显然a-2<a-^,所以a-2=/,所以a=3,

故选8.

【考点探究】

例1.【解析】1)因为f(x)=2x+1-41nx,xW(0,+%,以f'⑨=2-3，

所以F⑴=-2,

所以f⑨的图象在点(1,置7刀处的切线方程为y-3=-2&-〃，即2x+y-5=0.

⑵由(7丿知f(x)=2--=生士，xe[1,3].

XX

令F(x)〉0,则2<xW3,•令f(x)<0,则/<2,

所以f(x)在[l,2上单调递减，在(2,3丿上单调递增，

所以f(x)min=f(2)=5-41nz.

又f(l)=3,f⑶=7-41n3,f(l)-f(3)=4(ln3-1)>0,

所以f立/nax=3.

所以小)在[1,刃上的最大值与最小值分别为3与5-41n2.

例2.【解析】定义域为0,+8),F⑸=—2ax=*,

XX

。丿①当aW0时，f'(x)>0,

.：/■⑨在0,+8)上单调递增；

②当a>0时，令f'(x)=0,得x=

综上，a<0时F/在(0,+”)上单调递增；

a>。时在(0,£丿上单调递增，在里,+上单调递减.

⑵当a,。时，由(7丿知

①当口W1，即a2夕寸，f⑨在刃上单调递减，f(x)mx=f(l)=-a;

2a/

②当/<旧<2,即时，FG丿在〃上单调递增，在田；，力上单调递减,

・：F々)max五)=一万1。2”,；

、/a//

③当后》2,即。<a<一时，f&丿在刃上单调递增，fbAax=/⑵=ln2-4a,

\n2-4a,0<a

--^In^a-p-<a<-.

{ZZoZ

练11.【解析】由题知当X扌/时，f(x)=-2x-\nx-f-2,

・・・f'(x)=-2」<0

x

・：fG丿在〃，+8)为减函数，

・：f㈤max=f(D=。；

当0<x<1f(x)--2x+Inx+Z

.：f'(x)=_2+'=*,

XX

.:当Xe(0,，时，F(X)>0,函数递增，当Xw弓,〃时，F(X)<0,函数fG)递减,

.：Sax=/夕=/TnZ

综上可知，f(x)mayi-1-InZ

故答案为：/-ln2.

练12.【解析】。丿函数的定义域是0,+8丿，

又f，(x)=a•工

*

因为H>0,由F'⑨=a"/":''>0,得0<x<e；

jr

由F'⑨=a♦1A《0,得x>e,

*

故函数的增区间是0,4,减区间是e+8).

0当0<aW夕寸，函数在区间/a,2aJ单调递增，

所以fM=f(2a)-------=Jln2a；

maxZaZ

当］<a<e时，在②,e)单调递增，在(e,2a)单调递减,

所以fMmax-f(e)-——-=：；

当a■e时，f々丿在区间［a,2aJ上单调递减,

所以f(x)^=f(a)=—=Ina,

位n2a,(0<a言)

所以fGZnax<a<e)■

Vina,(a2e)

例3.【解析】f(x)=alnx+丄-1的定义域为(0,+8),

X

:.丄F(厶X丿)=2-丄？

•1x)r)9rf

当aW0时，f(x)<0恒成立，.：f⑨在(0,+8)上单调递减，无最值；

当a>0时，x£0-丿时，f'(x)<0,xe+8丿时，f())o,

aax

.：的单调递增区间为(~,+8),单调递减区间为(0,-),

aa

此时f(x)=f(-)--alna+a_1=0,/,a=L

mina

故选：A.

例4.［解析］令f(x)=^-ax-1,则f'(x)=^-a.

当aW/时，f'(x)20,函数，仞在(0,+8)上单调递增，

故f(x)>f(0)=0,满足题意；

当a)/时，由f'G丿="一a=0,得x=Ina,

当7a时，ff(x)<0,函数F6r丿在。勿a)上单调递减，

故<f(0)=0,不符合题意.

综上所述：aWl,

即实数a的取值范围为1-8,

故选：D.

练21•【解析】：•函数/"⑨4/?‘尸》?”値域为。，+旬，

I-犬+3x+a,(x<0)

:•f(x)"+1,&20)时的值域为〃，+8),

.:当x<0时，f(x)=-x3+3x+a1,即a2--3x+/在(-8,。上恒成立.

g(x)=x3-3x+1,(x<0)则g'(x)=3$-3,

故在〈-旳一〃上，屋(X)>0,gG丿单调递增；

在1一1,0丿上，g(x)<0,丿单调递减，

故当'=-1时，取得最大值为g<-〃=3,

:.a23,故选：D.

练22.【解析】⑴f,(x)=ax-(a+2)呪W=上吆3,

XXX

令f'(x)>0,则(X-/)(x-B“

①当2)],即0<a<2时，*〈，或x~,

aa

.：/7分在03丿上单调增，在(7,与上单调减，在£+8)上单调增，

aa

②当±=/即a=2时，/⑨二七”20,

ax

.：F&•丿在(0,+为丿上单调增，

③当2〈/即a>2时，*<占或8)/,

aa

.：『㈤在0—丿上单调增，在£〃上单调减，在。，+8丿上单调增，

aa

综上所述：当0<a<2时，在上单调增，在(X与上单调减，在+8丿上单调增，

aa

当a=2时，在0,+8丿上单调增，

当a>2时，丿在0,为上单调增，在二〃上单调减，在(7,+8)上单调增；

aa

(0由(1)可得，当:WI，即a22时，f'(x)20,

:.f(x)在[1,列上单调递增，此时f(x)min=f(D=--oa-2=-3,.：a=2；

当即。〈时，F(x)W0,

a2,aW/

.：f在丿在〃,2丿上单调递减，此时f(x)min=f(2)=-4+21n2W-3,；.a无解；

当/(〃2,即/〈a<2时，/■々>在«为上单调减，在£力上单调增，

aaa

••Gin=乳勺=-2-：+2*=~3,

^g(x)=-2--+21n-,:g，(x)=4亠=等;

xxr'xx~"

g'(x)<0在1<X<2上恒成立，.：g回单调递减，

・：g(x)G(-3,-3+21n2),即①无解，

综上所述：a=2.

例5.【解析】设圆锥底面圆的半径为他加，圆柱形冰块的底面圆半径为mm,高为hem,由题意可得,

—X(2R)2=1術,解得R=4,

4

hWtan?,(R-x)=y[3(4-x)(0<x<4),

设圆柱形冰块的体积为叱/,则，(4-x)(0<x<4),

设f(x)二节nd(4-x),则F'G)=V5万x8—3x),

当时，f'(x)>0,/窗丿单调递增；当5<矛<4时，f'(x)<0,f⑨单调递减

所以f(x)^^f(\)=二噢，故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为二耍c/.

练31.【解析】设圆锥的高为x,则底面半径为12庐-N,

其体积为V=^jrx(20^-x2)(0<x<20),

V=-sn(400-3$),

令丿=0,解得x/=当，丫2=-哼倍去工

当0<x(也!时，V>0,「单调递增；

3

当空員时，丿<0,，单调递减；

3

.:当X=3"时，，取最大值.

3

故选人

练32.【解析】4:•在四面体4腼中，点打，会打分别在棱46,AC,ADk,且平面为60/2平面6W,

.：由题意可知/为BCD,

■方一万f••忑嬴5'

「棱锥小-4与棱锥A-鹼的高之比为J-x,设Q-BCD=%，

2

•:%-B,C,D,=fM=XU-^V0,X2(0,I)

/.f'(x)=2x%-3/%,

当尸⑨)。时，o<x<yr(x)<o^-3<x<i,

.:当x=3时，函数f⑨取到最大值，故｛正确；

6.由/选项知，函数F/在《，〃上是减函数，故6正确；

C.函数F6)的图象不关于直线x=例称，故C错误；

〃函数f6)的最大值为：f(~)-(-)2(1--)VA-BCD=9VA-BCD<4"A-BCD，

JJjz/q

.：不存在X0,使得陶，故，正确.

故选ABD.

【素养提升】

例6.【解答］⑴当加=7时,函数f6)=--lnx的定义域为0,+8丿，f()=2x--=—,

xXX

令f'(x)=0,得*=¥很值已舍去人

当XG0,当丿时，f，(X)<0:

当xG件，+8)时，f'(x)>0;

所以函数在0,当丿上单调递减，在鸟，+8)上单调递增.

所以F包的最小值为f&Ain=/•q)=等，无最大值；

⑵当加=2时，g(x)=x2+21nx-ax(x>0),g'(x)=2x-a+-.

X

因为X/,谈是方程2/-ax+2=0的两个不等正根，xt<x2,a》5,

所以肛+才2=5X]X2=1,

因此g(x2)-g(xi)-(x^,-ax2^2\nx2)-(好「ax】+21nx丿

X2

“2一弓+2a1+x2)(X[-x2)+21n2二,-,+2\x\

=歯-g+0阻.

令t二年,则g&2)-g&丿=t+力nt,

因为二丝巨扌”空二乡

444

所以t-x^&[4,+°°).

令h(t)=：-t+21nt,te[4,+8),

则h'(t)1+-=-匕夢=-土?<0,在tG[4,+8)上恒成立,

rrrr

所以h(t)=3-t+21nt在t£[4,+8)上单调递减,

故h⑴曲二h(4)Wj4+21n4=41n2..

即-g4丿的最大值为452-与

例7.【解析】〈3=1时，f(x)=lnx+*+1,

可得f'⑴=3,f(l)=2,

X

所以切线斜率为3且过点々幻，切线方程为3x-y-1=0；

(2)g(x)-f(x)-ax2-3+2二Inx+1-ax2-3+3=Inx-2.

XXX

EPgf(x)=三，0<xW型

若aWO,则g'⑨>。，g/在(0,用单调递增，无最小值，不符合题意.

若a>0,g'6r)》0时，，x>a,纟’在丿<0时/(必

®a>e2,函数y=g々丿在(。,司有最小值纟篙丿=£+ln/-2=§.

所以?=2,即a=2経符合题意.

②0<aW『，函数y=g&)在(0,a)单调递减，在(a,罚单调递增，

所以(

gx)min=g(a)=3-+lna-2=2.

即a=e3不合题意.

综上所述，a=2巒.

例8.【解析】四棱锥如图，设底面正方形边长的一半为x,

则有AO=-J(5-x)2-x2-x2=V-x2-10x+25<

22-654

V=3--x-V-x-10x+253--Vx-lOx+25X.

设y=-/-JOx3+25x4,

则y，=-6X5-50x4+lOOx3=2X3(-3X2-25x+50)=2X3(x+10)(-3x+5),

由y'=0,可得x=-/O儈丿或或x=0倍丿.

当xE(0,§时，y>>0,函数单调递增；

当xE6，+->)时，/<0,函数单调递减.

故当入得时，％.=甯.

故选：A.

练51.【解析】(〃设切点坐标为(>0,必)，当a=2时，f(x)=-^+2^+4x,WOf"(x)=x2-f-4x4

所以切线方程为y-^0-2^0-4x0-(^0+4x0+4)(x-x0),

!

又过原点(0,0),所以耳-2窈-4x0=-x0~4x^-4x0,

~3^0+2x^-0,解得x。=0或=-3,

所以当与=〃时，切线方程为y=4x；当与=-3时，切线方程为y=x.