2023年全国统一高考数学试卷

2023年全国统一高考数学试卷（新高考I）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合加=｛-2,-1,0,1,2},^{xjx2-X-6^0},则MAN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

2.（5分）已知z=」-i,则z-z=（）

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

3.（5分）已知向量a=（1，1），b=（1，-1）.若（a+入b）-L（a+Hb），贝U（）

A.入+|i=lB.入+p=-1C.入R=1D.A|i=-1

4.（5分）设函数/（x）=2%*〃在区间（0,1）单调递减，则。的取值范围是（）

A.（-8,-2]B.[-2,0）C.（0,2]D.[2,+8）

22

5.（5分）设椭圆。：+/=1C2：2—+y2=l的离心率分别为ei,纪若62=

a2+4

Me\,贝!）。=（）

A.B.V2C.V3D.V6

3

6.（5分）过点（0,-2）与圆/+尸-4A：-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=（）

A.1B.'压,C.HD.迎

444

S

7.（5分）记S为数列｛a〃｝的前〃项和,设甲：分〃｝为等差数列;乙：｛一%｝为等差数列,

n

则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.（5分）已知sin（a-p）=—,cosasinp=A,则cos（2a+2p）=（）

36

A.1B.Ac.-AD.-1

9999

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）有一组样本数据xi,X2,X6,其中xi是最小值，X6是最大值，则（）

A.XI,X3,X4,X5的平均数等于XI,X2,X6的平均数

B.XI,X3>X4>X5的中位数等于XI,X2,X6的中位数

C.X2,X3,X4,X5的标准差不小于XI,X2,X6的标准差

D.XI,X3,X4,X5的极差不大于XI,XI,X6的极差

（多选）10.（5分）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声

压级4，=20X/g旦，其中常数po（po>O）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不

P0

同声源的声压级：

声源与声源的声压级

距离/加IdB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽1050〜60

车

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10，*处测得实际声压分别为m，P2,P3,

贝（）

A.pi》p2B.P2>10/73C.P3=lOOpoD.p\^100^2

（多选）11.（5分）已知函数/（x）的定义域为R,/（孙）=/f（x）+?/,（>'）,则（）

A.f（0）=0B./⑴=0

C.f（x）是偶函数D.x=0为/（x）的极小值点

（多选）12.（5分）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：机）的正方体容器（容

器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99”？的球体

B.所有棱长均为1.4”?的四面体

C.底面直径为O.Obn,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2加，高为0.01,”的圆柱体

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选

修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种

(用数字作答).

14.(5分)在正四棱台A8CD-A131C1D1中，A8=2,=44i=&,则该棱台的体

积为•

15.(5分)已知函数f(x)=coswx-1(o)>0)在区间［0,2司有且仅有3个零点，则3的

取值范围是.

22

16.(5分)已知双曲线C：2--匚=1(a>0,h>0)的左、右焦点分别为Fi,F2.点A

2,2

ab

在C上，点8在y轴上，:6_Lpg，F《=--pg，则。的离心率

11N32

为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求siriA；

(2)设48=5,求AB边上的高.

18.(12分)如图，在正四棱柱ABC。-A1B1C1D中，A8=2,441=4.点A2,Bl,C2,

。分别在棱All,BB\,CC\,DD\±,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)证明：B2C2//A2D2；

(2)点P在棱BBi上，当二面角P-A2c2-£>2为150°时，求82P.

19.(12分)已知函数/(x)=a(ex+a)-x.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当。>0时，/(x)>2lna+—.

2.

20.(12分)设等差数列｛〃”｝的公差为d,且4>1.令乐=工上，记的，力分别为数列

｛加｝的前"项和.

(1)若3a2=3m+a3,53+73—21,求｛“”｝的通项公式；

(2)若｛加｝为等差数列，且599-799=99,求d.

21.(12分)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，

若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每

次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概

率各为05

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第，次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且尸(必=1)=\-P(X,=0)=qi,i=l,2,

nn

…，〃，则E(£xj=£q..记前”次(即从第1次到第〃次投篮)中甲投篮的次数

i=l1i=l1

为匕求E(Y).

22.(12分)在直角坐标系xOy中，点尸到x轴的距离等于点尸到点(0,-1)的距离，记

2

动点P的轨迹为W.

(1)求W的方程；

(2)已知矩形ABCZ)有三个顶点在W上，证明：矩形ABCC的周长大于3M.

2023年全国统一高考数学试卷（新高考I）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合"={-2,-1,0,1,2},N={x|，-x-6》0},则MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.

【分析】先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可.

【解答】解:VJC2-x-6>0,/.（x-3）（x+2）20,二田或xW-2,

N=（-8,-2]U[3,+8）,则MClN={-2}.

故选：C.

【点评】本题考查集合的运算，属于基础题.

2.（5分）已知z=—i,则z-z=（）

【分析】根据己知条件，结合复数的四则运算，以及共辄复数的定义，即可求解.

故z-Z=_i-

故选：A.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共物复数的定义，属于基础题.

3.（5分）已知向量；=（1,1）,b=（1，-1）.若（a+Ab）±（；+而，则（）

A.入+p=lB.入+p=-1C.入（i=lD.X|i=-1

【分析】由已知求得Z+入E与W+NE的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解.

【解答】解：丁a=（1,1）,b=（1，-1）,

***@+入匕=（入+1，1-入），a+Rb=（p+1,1-|i）,

由（a+入b）-L（a+.b），得（入+1）（|i+l）+（1-A）（1-p）=0,

整理得：2人户2=0,即入p=-L

故选：D.

【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，

是基础题.

4.(5分)设函数/(x)在区间(0,1)单调递减，则〃的取值范围是()

A.(…，-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+«>)

【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可.

【解答】解：设尸x(X5)=--这，对称轴为》=包，抛物线开口向上，

2

•••y=2,是，的增函数，

二要使f(x)在区间(0,I)单调递减，

则在区间(0,1)单调递减，

即旦21,即2,

2

故实数”的取值范围是[2,+8).

故选：D.

【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的

单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题.

22

5.（5分）设椭圆Ci：^-+y2=1（a>l）.Ci-.-^―+\2=1的离心率分别为ei,e2.若e2=

2

a4-

Mei,则a=()

A.B.V2C.A/3D.V6

3

2

【分析】利用椭圆C2：三-+)2=1的方程可求其离心率e2,进而可求ei,可求

4

【解答】解：由椭圆C2：2—+尸=1可得.2=2,£>2—1>C2—V4-1—V3>

4

二椭圆Cl的离心率为e2=1,

2

：e2=V^ei,-

2a]2

••♦aj=4cj=4<af-bp=4<aj-1）,

或a=--（舍去）.

33

故选：A.

【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题.

6.(5分)过点(0,-2)与圆/+/-4x-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=()

A.1B.2/ILC.D.近

444

【分析】圆的方程化为(x-2)2+^=5,求出圆心和半径，利用直角三角形求出sinK-,

2

再计算cos工-和sina的值.

2

【解答】解：圆/+/-4x-1=0可化为(x-2)2+尸=5,则圆心C(2,0),半径为r

—5/5；

设尸（0,-2）,切线为以、PB,则改=五可了=2&,

△必C中，sin2=乂“，所以cos巴=J］力=乂“,

22V22V18272

所以sina=2sin-^cos-5-=2XX.

222V22V24

故选:B.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基

础题.

S

7.(5分)记为为数列｛如｝的前"项和,设甲：｛的｝为等差数列；乙：｛一巴｝为等差数列,

n

贝IJ()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【分析】首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的

论证.

【解答】解：若｛斯｝是等差数列,设数列｛〃”｝的首项为G,公差为d,

贝！]Sn=nai+n(n-1)

2

B|J-^£L—ai+n-^,

n222

S

故｛上｝为等差数列，

n

即甲是乙的充分条件.

反之，若｛上S｝为等差数列，则可设S上L-S-2=。，

nn+1n

S

则_£_=Si+(n-1)D,即S"=〃Si+〃Cn-1)D,

n

当〃》2时，有S"-1=(n-1)S\+(n-1)(«-2)D,

上两式相减得：Cln=Sn-Sn\=Sl+2(rt-1)D,

当〃=1时，上式成立，所以如=41+2(〃-1)£),

则而+1-的=。1+2必-⑷+2(n-1)D]=2D(常数)，

所以数列｛加｝为等差数列.

即甲是乙的必要条件.

综上所述，甲是乙的充要条件.

故本题选：C.

【点评】本题主要考查利用定义进行等差数列的判断，穿插了充要条件的判定，属中档

题.

8.(5分)己知sin(a-P)=上，cosasinp=—,则cos(2a+2p)=()

36

A.工B.AC.-AD.-工

9999

【分析】由已知结合和差角公式先求出sinacos0,再求出sin(a+0),然后结合二倍角公

式可求.

【解答】解：因为sin(a-P)=sinacosp-sinPcosa=A,cosasinp=A,

36

所以sinacos|3=-l.,

2

所以sin(a+p)=sinacosp+sin|3cosa=—

263

则cos(2a+20)=1-2sin2(a+0)=1-2XA=A.

99

故选：B.

【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

(多选)9.(5分)有一组样本数据R1,X2,…，X6,其中M是最小值，胚是最大值，则()

A.XI,X3,X4,X5的平均数等于九1,XI,X6的平均数

B.XI,X3,九4,X5的中位数等于XI,X2,…，X6的中位数

C.X2,X3,K4,X5的标准差不小于川，X2,X6的标准差

D.XI,X3,戈4,戈5的极差不大于无1,X2,…，X6的极差

【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可.

【解答】解：A选项，Kl，X3,X4,X5的平均数不一定等于XI,犬2,…，X6的平均数，A错

、口

I天；

8选项，XI,X3,X4,X5的中位数等于上■—―,X\,X2,…，X6的中位数等于上——,B

22

正确；

C选项，设样本数据XI,X2,■■■,X6为0,1,2,8,9,10,可知XI,X2,…，胚的平均数

是5,X2,X3,X4,X5的平均数是5,

XI,X2,,X6的方差u2=—X[(0-5)2+(1-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(9-5)2+

16

(10-5)2]=毁，

3

X2,X3,X4,X5的方差v2=—xl(1-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(9-5)勺=空，

S242

S]2>s/，'si>S2,C错误.

O选项，X6>X5,X2>X1,.,.X6-X1>X5-X2,。正确.

故选：BD.

【点评】本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题.

(多选)10.(5分)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声

压级Lp=20Xlg2,其中常数po(po>O)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不

P0

同声源的声压级:

声源与声源的声压级

距离/加/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽1050〜60

车

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10〃?处测得实际声压分别为0,P2,〃3,

则()

A.pi2P2B.p2>10p3C.P3=100/9()D.pi100/72

【分析】根据题意分别计算0，P2,P3的范围，进行比较即可求解.

9_

【解答】解：由题意得，60^20/^-1^90,1000/x)WpW]05po,

P。

g

50W20/g——^60,1Q2po1OOOpo,

P。

20/g^^=40,〃3=1OOpo,

PO

可得piep2,A正确；

p2W10p3=1000p。,8错误；

p3=lOOpo,C正确；

9_5_

PW]02po=100X102po〈lOOp2,pi〈100p2,。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是中档题.

(多选)11.(5分)已知函数/(无)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2/(y)，则()

A.f(0)=0B./(1)=0

C.f(x)是偶函数D.x=0为/(x)的极小值点

【分析】在己知等式中，取x=y=0判断A；取x=y=l判断&求出/(-I),再取y

=-1判断C；取满足等式的特殊函数判断D.

【解答】解:由/(肛)=y2f(x)+臼。)，

取x=y=0,可得/(0)=0,故A正确；

取x=y=l,可得/(I)=2f(1),即/(I)=0,故8正确;

取x—y--1,得/(1)—2f(-1),即/(-1)=交，(1)=0,

取y=-i，得/(7)=/(X)，可得/(x)是偶函数，故C正确；

由上可知，/(-1)=f(0)=/(1)=0,而函数解析式不确定，

不妨取f(X)=0,满足/(xy)=臼(x)+X2/1(>),

常数函数f(x)=0无极值，故。错误.

故选：ABC.

【点评】本题考查抽象函数的应用，取特值是关键，是中档题.

(多选)12.(5分)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：加)的正方体容器(容

器壁厚度忽略不计)内的有()

A.直径为0.99〃?的球体

B.所有棱长均为14〃的四面体

C.底面直径为0.01兀，高为18〃的圆柱体

D.底面直径为12",高为0.01加的圆柱体

【分析】对于A，由正方体的内切球直径大于0.99可判断；对于8,由正方体内部最大

的正四面体的棱长大于1.4可判断；对于C,由正方体的体对角线小于1.8可判断；对于

D,取E,F,G,H,I,J都为棱中点，则六边形EFGH/J为正六边形，由正六边形的内

切圆直径大于1.2可判断.

【解答】解：对于A,棱长为1的正方体内切球的直径为1>0.99,选项A正确；

对于8,如图，

正方体内部最大的正四面体D-A\BC\的棱长为1]_2+]2>1.1选项B正确;

对于C,棱长为1的正方体的体对角线为詹<1.8,选项C错误；

对于力，如图，六边形EFG"〃为正六边形，E,F,G,H,I,，为棱的中点，

BECE

六边形EFG”〃棱长为返•米，NGFH=NGHF=3Q°,

2_

所以FH=V3FG=V§GH平米，故六边形EFGHIJ内切圆直径为亨米,

而＞（1.2）2=1.44，选项。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查简单几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选

修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种（用

数字作答）.

【分析】利用分类计数原理进行计算即可.

【解答】解：若选2门，则只能各选1门，有C：C：=16种，

如选3门，则分体育类选修课选2,艺术类选修课选1,或体育类选修课选1,艺术类选

修课选2,

贝第1=24+24=48,

综上共有16+48=64种不同的方案.

故答案为：64.

【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键,

是基础题.

14.（5分）在正四棱台ABC。-A1B1C1D1中，AB=2,=A4i=&,则该棱台的体

积为工逅.

一6一

【分析】先根据题意求出四棱台的高，再代入台体的体积公式即可求解.

【解答】解：如图，设正四棱台ABCD-AiBCiDi的上下底面中心分别为M,N,

过4作4”_LAC,垂足点为“，由题意易知又AN=&,

：.AH=AN-W?/=X-2,,又A4=&,:.A\H=MN='g

22

,该四棱台的体积为工X(1+4+4IX4)乂返_=工道.

326

故答案为：上ZE.

6

【点评】本题考查台体的体积公式的应用，属基础题.

15.(5分)已知函数/(x)=cosu)x-1(3>0)在区间［0,2ir］有且仅有3个零点，则3的

取值范围是23).

【分析】利用余弦函数的周期，结合函数的零点个数，列出不等式求解即可.

【解答】解：.隹［0,2n］,函数的周期为HL(o)>0),cosa)x-1=0,可得coso)x=l,

函数/(冗)=cosa)x-1(a)>0)在区间［0,2川有且仅有3个零点，

可得2.空_W如<3.空■，

所以2W3<3.

故答案为：［2,3).

【点评】本题考查三角函数的周期的应用，函数的零点的应用，是基础题.

16.(5分)已知双曲线C：(«>0,6>0)的左、右焦点分别为四，尸2.点A

2,2

ab

在C上，点B在y轴上，用=-2多，则C的离心率为_旦近」.

35

【分析】(法一)设Fl(-c,0),Fi(c,0),B(0,/1),根据题意可得点A的坐标，

进一步得到币=/c,.n),用=(c,n)>再由不,用，可得〃2=4C2.结

合点A在双曲线上，可得解；

|FAI

(法二)易知-9■，设|彳|=2t,|阴|=3t，ZF\AF2=Q,解三角形可知

IF2BI

5c2=9。2,进而得解.

【解答】解：(法一)如图，设Fl(-c,0),Fi(c,0),B(0,ri'),

_

设A(x,y),则F2A=(x-c,y),F2B=(c,n>

又F2A则’9，可得AC|"c,一|"nA

又F[A，F]B，且F[A=(石c,fn)，F1B=(c,n)>

则跖,用=,c24n2=0,化简得"2=402.

oo

又点A在C上，

-2-5c2—4n299

则上------一=1,整理可得冬__细_=1,

a2b29a29b2

99

代〃2=4C2,可得至＞一笔_=9即25e2-亨

abe-

解得92上或工（舍去），

（法二）由取=一|多，得IF2Al

IMI-3

设|取|=2t,|阴|=3t，由对称性可得|率|=3t，

则|讯|=2t+2a,|AB|=5V

所以c0s8=g/t+2a,解得片小

055t

所以|耳|=2t+2a=4a,|AF^|=2a>

222

在△AF1F2中，由余弦定理可得858=162+40.一二

【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)己知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)设A8=5,求48边上的高.

【分析】(1)由三角形内角和可得C=?L,由2sin(A-C)=sin&可得2sin(A-C)

4

=sin(A+C),再利用两角和与差的三角函数公式化简可得sinA=3cosA,再结合平方关

系即可求出sinA；

(2)由sinB=sin(A+C)求出sinB,再利用正弦定理求出AC,BC,由等面积法即可求

出AB边上的高.

【解答】(1)'：A+B=3C,A+B+C=TT,

.'.4C=TT,

.•.c=2L,

4

V2sin(A-C)=sinB,

A2sin(4-C)=sin[ii-(A+C)]=sin(A+C),

/.2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC4-cosAsinC,

「・sinAcosC=3cosAsinC,

•底.A.

——sinA=3X-cosA*

sinA=3coSi4,BPcosA=AsinA,

3

又;SMA+COS2A=L**-sin2A-^sin2A=r

解得sin2A=A-,

10

又〈AW(0,IT),/.sinA>0,

—噜

(2)由(1)可知sinA=3y~^_,cosA=2sirt4

10310

/.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=^/Z^_X

V2=2V5.

1025

•ABACBC

sinCsinBsinA

X10

设AB边上的高为

则*AB・h=yXACXBCXsinO

•'•1-h^yX2V10X3A/5X冬

解得h=6,

即AB边上的高为6.

【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应

用，属于中档题.

18.(12分)如图，在正四棱柱ABC。-A1B1CM1中，AB=2,441=4.点42,Bz,Cl,

分别在棱AAl，BB\,CC\,DD\±,442=1,BB1=DD1=2,CC2=3.

(1)证明：B2C2//AiDii

(2)点P在棱B81上，当二面角P-A2c2-02为150°时，求B2P.

【分析】（1）建系，根据坐标法及向量共线定理，即可证明；

（2）建系，根据向量法，向量夹角公式，方程思想，即可求解.

【解答】解：（1）证明：根据题意建系如图，则有:

B2(0,2,2),C2(0,0,3),A2(2,2,1),Di(2,0,2),

=

‘B2c2=(0,-2,1),A2D2(0»-2,1)»

,

•'-B2C2=A2D2又比，C2,A2,。2四点不共线，

.".B2C2//A2D2;

(2)在(1)的坐标系下，可设P(0,2,t),zeio,4],

又由(1)知C2(0,0,3),A2(2,2,1),D?(2,0,2),

C2A2=(2,2,-2)>C2P=(0»2,t-3)»A2D；=(0,-2,1)，

设平面附2c2的法向量为孟=(x,y,z)'

[m・C2A2=2x+2y_2z=0

则/-°，取恐(t-l,3-t,2)，

m・C2P=2y+(t-3)z=0

设平面A2c2。2的法向量为1=(a,b,c)，

,

nC9A9=2a+2b-2c=0

则_士。n，取£(1,1,2)，

n*A2D2=-2b+c=0

，根据题意可得|cosl50°|=|cos〈ir，n>l='J叱？L

ImIIn

2V(t-l)2+(3-t)2+4xV6

.,.F-4f+3=0,又作[0,4],

，解得t=1或t=3,

:.p为B\B2的中点或B2B的中点,

：.B2P=l.

z

【点评】本题考查利用向量法证明线线平行，利用向量法求解二面角问题，向量共线定

理及向量夹角公式的应用，方程思想，属中档题.

19.(12分)己知函数/(无)=a(—+〃)-x.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当〃>0时，f(x)>2lna+^-.

2

【分析】(1)先求出导函数/(X),再对〃分。W0和。>0两种情况讨论，判断了(K)

的符号，进而得到了G)的单调性；

(2)由(1)可知，当〃>0时，/(x)mifi=f(ln-)=1+/+历6,要证f(x)>2lna+—,

a2

只需证1+/+历°>2勿〃+慨，只需证设g(a)J-lna-/。＞°，求

导可得g(x)min=g(乂2)>0,从而证得/(x)>2lna+—.

22

【解答】解：(l)/(x)=a(歹+。)-%,

则/(x)=aex-1,

①当aWO时，f(x)VO恒成立，f(x)在R上单调递减，

②当〃>0时，令/(x)=0得，x=]1T

a

当在(-8,加工.)时，f(x)<0,/(%)单调递减；当炬(/nA,4-00)时，/(X)>

aa

0,fCx)单调递增，

综上所述，当“W0时，fG)在R上单调递减；当a>0时，f(x)在(-8,加L)上

a

单调递减，在(加工，+°°)上单调递增.

a

2

证明：(2)由(1)可知，当Q>0时、f(x)min=fCln—)=a(」+〃)-ln—=\+a+lnaf

aaa

要证/(%)>2lna+—,只需证1+〃2+及〃>2及〃+士，

22

只需证a2-lna-，->°，

=a2-lna—

则g'(a)

aa

令g'(a)=0得，

2_

晅)时，g'(a)<0,g(a)单调递减，当(亚，+«>)时，g'(a)>0,

当ae(0,

22

g(a)单调递增,

所以g(a)2g(V^.)=_L_i-A=-/H^Z.>0,

22^222

即g(a)>0,

所以a2Tna-^〉。得证，

BP/(x)>2/na+—得证.

【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数恒成立问题，

属于中档题.

2.

20.(12分)设等差数列｛斯｝的公差为d,且d>l.令工」R,记为,2分别为数列｛an｝,

an

｛为｝的前"项和.

(1)若3a2=3小+。3,$3+73=21,求｛a”｝的通项公式;

(2)若｛加｝为等差数列,且S99-799=99,求d.

【分析】(1)根据题意及等差数列的通项公式与求和公式，建立方程组，即可求解；

(2)根据题意及等差数列的通项公式的特点，可设帆="7,则bJtl,且d=f>l；

nt

或设“”=A(〃+1),则bJ•，且d=A>l，再分类讨论，建立方程，即可求解.

nk

【解答】解:(1)；3。2=3。1+。3,53+73=21,

3(a[+d)=3a[+a]+2d

根据题意可得4

3ai+3d+(2-^7=21'

1a[a]+da।+2d

aj=d

••SQ，

6d-^=21

・・・2屋一7d+3=0,又d>l,

・••解得d=3,；・m=d=3,

an=ai+（n-1）d=3n,〃WN*；

（2）；｛a"｝为等差数列，｛为｝为等差数列，且加=二~2,

an

，根据等差数列的通项公式的特点，可设。〃=加，则b上工，且d=>1;

nt

或设女（几+1）,则bJ，且d=Z>l,

nk

①当。〃=5，b』+Ld=»l时，

nt

则S99-丁99=（t+99t）X99_心十幽）x-^.=99,

2'tt'2

••50t—^-=r.1。』-L51=0,又d=i>l,

，解得d=，=旦；

50

②当a〃=Z（〃+l）,Rd=Z>l时，

nk

则S99-799=（2k+吗k）x99_eg）x号=99,

.♦・51『毁=1，・・・51必-2-50=0,又d=Z>l,

k

・・・此时攵无解，

.••综合可得"=旦.

50

【点评】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式与求和公式的应用，方程思想,

化归转化思想，分类讨论思想，属中档题.

21.（12分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，

若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每

次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概

率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量X,服从两点分布，且P(X,=1)-P(X(=0)—qi,i—1,2,

nn

…，小则E(工Xj=工q..记前〃次(即从第1次到第〃次投篮)中甲投篮的次数

i=l1i=l1

为匕求E(V).

【分析】(1)设第2次投篮的人是乙的概率为P,结合题意，即可得出答案；

(2)由题意设P”为第"次投篮的是甲，则P”+i=0.6P"+0.2(1-PQ=0.4尸”+0.2,构造

得P”+i-」=0.4(尸〃-工)，结合等比数列的定义可得是首项为工，公比为0.4

3336

的等比数列，即可得出答案；

(3)由(2)得Pi=』+2X(2)八1,当“6N*时，E(r)=P\+P2+...+Pn,求解即可得

365

出答案.

【解答】解：(1)设第2次投篮的人是乙的概率为P,

由题意得P=0.5X0.4+0.5X0.8=0.6；

(2)由题意设P”为第〃次投篮的是甲，

则P"+i=0.6P”+0.2(1-Pn')=0.4P„+0.2,

：.Pn+\-工=0.4(P„-A),

33

又』-工=2W0,贝ij｛办-2｝是首项为工，公比为0.4的等比数列，

323636

A=Ax(.2),rl,即P“=JL+JLX(2)”7,

365365

第，•次投篮的人是甲的概率为代=工+工x(2)门；

365

(3)由(2)得P