高中数学同步讲义（人教A版选择性必修一）第28讲 3.2.1双曲线及其标准方程（学生版）

第03讲3.2.1双曲线及其标准方程课程标准学习目标①掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用。②通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力。③初步会按特定条件求双曲线的标准方程。通过本节课的学习，要求掌握双曲线的定义（相关的量的掌握）及双曲线的标准方程（满足的条件），会求与双曲线有关的几何量.知识点01：双曲线的定义1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.3、说明若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（

）A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线【答案】B【详解】如图：设动点为，到两个定点的距离之差的绝对值为，则若在线段（不包含两端点）上，有；若在直线外，有；若在线段的延长线上或线段的反向延长线上（均包含两端点），则有.故选：B知识点02：双曲线的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.【即学即练2】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，两焦点为，直线过双曲线的一个焦点，P为双曲线上一点，且，则双曲线的方程为．【答案】或【详解】由题意，点为双曲线上一点，且，可得，即，解得，又由直线过双曲线的一个焦点，当时，可得；当时，可得；当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，则，此时双曲线的方程为；当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的一个焦点坐标为，即，则，此时双曲线的方程为，所以双曲线的方程为或.故答案为：或题型01双曲线定义的理解【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考开学考试）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（

）A． B． C．或 D．或【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若动点满足关系式，则点的轨迹是（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线一支【变式1】（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（

）A．7 B．9 C．1或9 D．3或7【变式2】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）双曲线右支上一点A到右焦点的距离为3，则点A到左焦点的距离为（

）A．5 B．6 C．9 D．11题型02利用双曲线定义求方程【典例1】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）一动圆P过定点，且与已知圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是．【变式1】（2023·高二课时练习）到点，的距离的差的绝对值等于6的点的双曲线的标准方程为．【变式2】2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程题型03利用双曲线定义求点到焦点距离及最值【典例1】（2023·高二课时练习）已知双曲线在左支上一点M到右焦点的距离为18，N是线段的中点，O为坐标原点，则等于（

）A．4 B．2 C．1 D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．7 D．8【典例3】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）双曲线的左､右焦点是、，点在双曲线上，若，则（

）A． B． C．或 D．或【变式1】（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若，则（

）A．1或9 B．3或7 C．9 D．7【变式2】（2023·高二课时练习）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【变式3】（2023·高二课时练习）若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（

）A． B． C． D．题型04利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点F作圆的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的中点，连接MO，则的最大值为．【变式1】（2023秋·湖北·高二统考期末）已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（

）A．3 B．1 C． D．【变式2】（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（

）A． B．C． D．【变式3】（2023·高二课时练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为.题型05判断方程是否表示双曲线【典例1】（多选）（2023秋·山西晋中·高二统考期末）关于、的方程表示的轨迹可以是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线【典例2】（多选）（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（

）A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线【变式1】（多选）（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线的方程为，则（

）A．曲线可以表示圆B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线【变式2】（多选）（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）方程表示的曲线可以是（

）A．圆B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在x轴上的双曲线题型06根据方程表示双曲线求参数【典例1】（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知，则“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知曲线是双曲线，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1】（2023·全国·高三对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2】（2023秋·高二课时练习）“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件题型07求双曲线方程【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；(2)经过点和．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（

）A． B．C． D．【变式2】（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，若，则双曲线C的方程为（

）A． B．C． D．【变式3】（2023·上海·高三专题练习）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为.题型08双曲线中的轨迹方程问题【典例1】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程；【典例3】（2023·高二课时练习）已知中的两个顶点是，边与边所在直线的斜率之积是，求顶点的轨迹．【变式1】（2023秋·广东·高二统考期末）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程；【变式3】（2023·全国·高三专题练习）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为，设动点的轨迹为．求轨迹的方程；题型09双曲线中的焦点三角形问题【典例1】（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考阶段练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（

）A． B．4 C． D．3【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（

）A． B．C． D．【典例4】（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则．【典例5】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知点，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与该双曲线交于，两点（点位于第一象限），点是△内切圆的圆心，则；若的倾斜角为，△的内切圆面积为，△的内切圆面积为，则为.【变式1】（2023春·福建南平·高二校考阶段练习）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（

）A．8 B． C．10 D．【变式2】（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2023秋·高二单元测试）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为．【变式4】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是.【变式5】（2023·北京西城·统考二模）已知两点．点满足，则的面积是；的一个取值为．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·福建福州·高二校联考期中）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．82．（2023春·江西·高二校联考期中）若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（

）A．7 B． C．8 D．4．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的虚轴长为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．5．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．126．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（

）

A． B． C． D．7．（2023·全国·校联考三模）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C．或 D．或8．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023秋·江苏南京·高二校考期末）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线是椭圆B．当或时，曲线是双曲线C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则10．（2023春·广东广州·高三广州科学城中学校考阶段练习）已知点在双曲线上，分别是左､右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（

）A．点到轴的距离为B．C．为钝角三角形D．三、填空题11．（2023秋·高二单元测试）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为．12．（2023秋·福建三明·高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为.四、解答题13．（2023·高二课时练习）（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求离心率，焦点在x轴，且经过点的双曲线标准方程.14．（2023·高二单元测试）若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.(1)求双曲线C的方程；(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.15．（2023·全国·高二专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点为，，且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2；(2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点；(3)经过点，.B能力提升1．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则