高中数学：7.2复数的四则运算同步训练

7.2复数的四则运算同步训练

一、单选题

1.已知i为虚数单位，复数Z满足z（3+i）=2-i,则下列说法正确的是（）

A.复数z的模为"B.复数z的共辗复数为-g+gi

2

C.复数Z的虚部为:i

D.复数z在复平面内对应的点在第二象限

2.已知复数2=-'+立i,i为虚数单位，

则|z「+5等于（）

22

「16.1技

A.-1B.C.—H1D.------1

2222

3.已知命题。：复数z=——在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q：3x>0,x=cosx,则下列命题中为

1

真命题的是

A.(^p)A(-><?)B.(f)A〃C.p«q)D.PM

4.若复数z=("if，则|z|=()

3+4i

Ac

-?|-iD-T

5（4+i2）

5.复数z=一~的虚部为（）

i（2+i）

A.-3iB.-6iC.-3D.-6

6.已知复数2=。+砥°,北1i）满足2z=r（l+6i）,S.a<h,则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

二、多选题

7.（多选）已知复数z=a+6i（«eR）在复平面内对应的点位于第二象限，且团=2则下列结论正确的是（）

A.zJ=8B.z的虚部为总

C.z的共施复数为1+6D.z2=4

8.已知复数Zj=a+i,Z2=2+6i,“,6eR,且马+名?为纯虚数，z,z2<0,则()

A.a=-2B.b=2

C.|2Z,-Z2|=37D.4+2Z2的共扼复数为2-3i

三、填空题

9.若复数z=9/,贝氏=__________.

3+41

10.设/(z)=z,4=3+4i,z2=-2-i,则〃z「Z2)=.

11.i是虚数单位，则/L的值为.

12.若3+2i是方程/+云+c=0S,ceR)的一个根，贝物=.

四、解答题

13.在复平面内，复数z=(〃-2a-3)+(a+l)i,«eR.

(1)当Z为纯虚数时，求复数z2^；

(2)当。=0时，复数Z对应的点记为点A,将点A绕着原点顺时针旋转90。到达点8,求AB所对应的共轨复数.

14.设aeR,和受分别是关于x的方程/+2、+。=()的两个复数根.

(1)当飞,三是方程的两个虚数根时，求㈤+|七|的取值范围；

(2)当归-々|=4时，求实数。的值.

15.已知复数4=l+2i,Z2=-2+i,Z3=-1-2,在复平面上对应的点是一个正方形的3个顶点，求这个正方形的第4

个顶点对应的复数.

16.(1)[(5-4i)+(l+3i)](5+2i).

(2)ifMi+2i2+3i3+...+2020i2020+2021i202'.

参考答案:

1.A

【分析】由复数除法法则求得z,根据模的定义，共貌复数的定义，复数的定义和复数的几

何意义判断各选项得出答案.

【详解】解：z（3+i）=2-i,则1=舒=（2-；.）

••.|z|=\H=坐，选项A正确；

V442

复数Z的共规复数为<+2i,选项B错；

22

复数z的虚部为选项C错误；

复数z在复平面内对应的点为在第四象限，选项D错误.

故选：A.

2.D

【分析】先求出］「工,即可求出W+出

【详解】因为z=—g+所以|zf=\g）+~~=1,5=—；—日,

所以+z=-^—-^-i.

故选：D

3.D

【详解】试题分析：因为Z=¥=l-i,所以复数2=母在复平面内所对应的点位于第四

象限，命题?为真命题，

TT

因为y=x与y=cosx在（0,万）上有交点，所以3x>0,x=cosx,命题［为真命题，PM为

真命题.

考点：复合命题真假

4.A

【解析】首先化简复数z,再计算求模.

【详解】_（1+04,［（|+,,）2］_4

3+4/3+4/3+4Z3+4/

4（3-4i）4（3-4i）1216.

（3+4z）（3-4z）—25~—一天+天/

5.D

【分析】依据复数的运算律化简复数，写出代数形式，得虚部.

5（4+F）上=152）

【详解】z=

i（2+i）-l+2i（-l+2i）（-l-2i）5

虚部为-6.

故选：D.

6.C

【分析】根据题意结合复数的乘法运算以及复数的相等可得°=伤，利用条件a＜匕确定a力

的正负，根据复数的几何意义可求得答案.

【详解】由题意可知，2“+2历=（〃-历）（l+6i）=a+屏+（岛

2a=a+y/ib

所以解得a=Gb,

2h=s!?>a-b

因为a＜6,则a=®＜6,所以》＜0,所以。＜0,

即复数z在复平面内对应的点位于第三象限，

故选：C

7.AB

【解析】由已知求解小进一步求出z2与/的值，然后逐一核对四个选项得答案.

【详解】解：•••复数z=a+6i在复平面内对应的点位于第二象限，

又忆|={a1+3=2,得a=-l（a〈0）,

z=-1+Gi,

贝”=（-1+网2=-2-2打，

32

z=z.z=-2（l+"）（-1+党=8.

正确，8正确,

故选：AB.

8.AD

【分析】先由Z+Z2为纯虚数，z,z2<0,求出。)的值，然后逐个分析判断即可

【详解】由Z1+Z2=(〃+2)+S+l)i为纯虚数,得。=一2,且底一1,

由ZjZ2=(a+i)(2+hi)=2a-b+(ab+2)i<0,

得而=—2,且24z—bv0,得b=1,

所以|241/=|-6+“=历，4+222=2+予的共期复数为2-3"

所以AD正确，BC错误,

故选：AD

9.凡上

2525

【分析】利用复数乘法、除法运算求得z,从而求得］

(1+i)22i2i(3-4i)8+6i86.

【详解】z=----=1---1,

3+4i3+4i(3+4i)(3-4i)25--2525

所以

故答案为：导参

10.5+5i##5i+5

【分析】根据给定条件，利用复数的加减法求解作答.

【详解】因为/(Z)=z,z,=3+4i,z2=-2-i,

所以/(4—Z2)=Z|_Z2=(3+4i)_(_2_i)=5+5i.

故答案为：5+5i

11.显

2

【解析】利用复数的除法运算将复数币化为一般形式，然后利用复数的模长公式可求出

岛|的值•

/(I-/)1+;=g+gi,因止匕,

【详解】

1+；(1+z)(l-z)21+z

故答案为：—.

2

【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础

题.

12.13

【分析】由实系数的一元二次方程根成对原理,得到方程的另一个根，结合复数的乘法运算，

即可求解.

【详解】由题意，复数3+2i是方程f+法+。=0("cwR)的一个根，

可得复数3-2i是方程f+fer+c=O(aceR)的另一个根，

则c=(3+2i)(3-2i)=32+(-2)2=13.

故答案为：13.

13.⑴孑侬

(2)4-2i

【分析】(1)根据纯虚数的概念列出方程组，求得。=3,即得z=4i,计算z2^可得答案；

(2)由题意求得A(-3,l),3(1,3),继而求得AB=(4,2),根据复数的几何意义以及共朝复

数的概念可得答案.

(1)

由题意得,"二"I、,解得a=3,

〃+100

所以z=4i,则zM2=(4i严22=一42姨.

(2)

当a=0时，z=—3+i,则A(-3,1),则8(1,3),

所以AB=(4,2),所对应的复数4=4+2i,

所以其共痈复数1=4-2i.

14.(1)(2,+ao)；(2)a=—3或5.

【分析】(1)先根据方程有虚数根，得到/<0,解出。，再根据两根之积得到|力=k|,进

而可以求出结果；

(2)根据方程有实数根和虚数根分类讨论，结合韦达定理即可求出结果.

【详解】(1)当方程有虚数根时，△=4一4。<0,得

而=X］=4，因此宙|=闯=G，|xj+国=26>2,

因此㈤+同的取值范围是(2,+8).

(2)当4=4一4〃20,即〃41时，原方程有实数根，［一口=6=5/4-44=4,解得4=一3,

当△=4-4”<0,即时，原方程有虚数根，|jq-x,|-^/=A-\l4a-4=4,解得a=5,

综上所述，。=-3或5.

15