曲线积分与曲面积分

关于曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的概念1.定义函数f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分第2页,共88页，2024年2月25日，星期天2.存在条件：3.推广第3页,共88页，2024年2月25日，星期天4.性质第4页,共88页，2024年2月25日，星期天5、对弧长曲线积分的计算定理第5页,共88页，2024年2月25日，星期天注意:第6页,共88页，2024年2月25日，星期天例1解第7页,共88页，2024年2月25日，星期天例2解例3解第8页,共88页，2024年2月25日，星期天例3解由对称性,知第9页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题第10页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题答案第11页,共88页，2024年2月25日，星期天二、对坐标的曲线积分的概念定义:

函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分类似地定义第12页,共88页，2024年2月25日，星期天2.存在条件：3.组合形式第13页,共88页，2024年2月25日，星期天4.推广第14页,共88页，2024年2月25日，星期天5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.第15页,共88页，2024年2月25日，星期天6、对坐标的曲线积分的计算定理第16页,共88页，2024年2月25日，星期天第17页,共88页，2024年2月25日，星期天第18页,共88页，2024年2月25日，星期天例1解第19页,共88页，2024年2月25日，星期天第20页,共88页，2024年2月25日，星期天例2解第21页,共88页，2024年2月25日，星期天问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.第22页,共88页，2024年2月25日，星期天例3解第23页,共88页，2024年2月25日，星期天第24页,共88页，2024年2月25日，星期天问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.第25页,共88页，2024年2月25日，星期天(4)两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上）第26页,共88页，2024年2月25日，星期天思考题第27页,共88页，2024年2月25日，星期天思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.第28页,共88页，2024年2月25日，星期天第29页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题答案第30页,共88页，2024年2月25日，星期天1、区域连通性的分类

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD三、格林公式第31页,共88页，2024年2月25日，星期天2.格林公式定理1第32页,共88页，2024年2月25日，星期天边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.第33页,共88页，2024年2月25日，星期天第34页,共88页，2024年2月25日，星期天xyoLAB

第35页,共88页，2024年2月25日，星期天第36页,共88页，2024年2月25日，星期天解第37页,共88页，2024年2月25日，星期天xyoLyxo第38页,共88页，2024年2月25日，星期天xyo(注意格林公式的条件)第39页,共88页，2024年2月25日，星期天

若区域

如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题第40页,共88页，2024年2月25日，星期天思考题解答由两部分组成外边界：内边界：第41页,共88页，2024年2月25日，星期天Gyxo四、第二类曲线积分与路径无关的条件BA1.定义：如果在区域G内有第42页,共88页，2024年2月25日，星期天2.曲线积分与路径无关的条件定理2第43页,共88页，2024年2月25日，星期天两条件缺一不可有关定理的说明：第44页,共88页，2024年2月25日，星期天定理3第45页,共88页，2024年2月25日，星期天第46页,共88页，2024年2月25日，星期天解第47页,共88页，2024年2月25日，星期天解第48页,共88页，2024年2月25日，星期天第49页,共88页，2024年2月25日，星期天四、小结与路径无关的四个等价命题条件等价命题第50页,共88页，2024年2月25日，星期天第51页,共88页，2024年2月25日，星期天第52页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题答案第53页,共88页，2024年2月25日，星期天五、对面积的曲面积分1.定义第54页,共88页，2024年2月25日，星期天2.对面积的曲面积分的性质第55页,共88页，2024年2月25日，星期天3、计算法则第56页,共88页，2024年2月25日，星期天则第57页,共88页，2024年2月25日，星期天例1解第58页,共88页，2024年2月25日，星期天第59页,共88页，2024年2月25日，星期天解依对称性知：第60页,共88页，2024年2月25日，星期天第61页,共88页，2024年2月25日，星期天第62页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题第63页,共88页，2024年2月25日，星期天第64页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题答案第65页,共88页，2024年2月25日，星期天六、对坐标的曲面积分1.曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧第66页,共88页，2024年2月25日，星期天曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲面的投影问题:第67页,共88页，2024年2月25日，星期天2、概念及性质第68页,共88页，2024年2月25日，星期天类似可定义第69页,共88页，2024年2月25日，星期天存在条件:组合形式:第70页,共88页，2024年2月25日，星期天性质:第71页,共88页，2024年2月25日，星期天3、计算法第72页,共88页，2024年2月25日，星期天第73页,共88页，2024年2月25日，星期天注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.第74页,共88页，2024年2月25日，星期天解第75页,共88页，2024年2月25日，星期天第76页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题第77页,共88页，2024年2月25日，星期天练习题答案第78页,共88页，2024年2月25日，星期天七、高斯公式第79页,共88页，2024年2月25日，星期天Gauss公式的实质

表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知第80页,共88页，2024年2月25日，星期天解第81页,共88页，2024年2月25日，星期天(利用柱面坐标得)第82页,共88页，2024年2月25日，星期天使用Guass公式时应注意:第83页,共88页，2024年2月25日，星期天第84页,共88页，