2023-2024学年广东省深圳市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年广东省深圳市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.从。、6、c中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为（）

A.3B.4C.5D.6

【正确答案】D

【分析】从6、。中任取两个字母排成一列，直接利用排列数公式可得出结果.

【详解】由排列数的定义可知，从。、b、c中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数

为4=6.

故选：D.

本题考查排列数的应用，考查计算能力，属于基础题.

2.过点尸（百,-2石）且倾斜角为1350的直线方程为（）

A.3x-y-4A/3=0B.x-y->/3=0

C.x+y-y[3=0D.x+y+^3=0

【正确答案】D

【分析】由倾斜角为135。求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程

【详解】解：因为直线的倾斜角为135、所以直线的斜率为％=tanl35o=-l,

所以直线方程为夕+26=-（x-百），即x+y+0=0,

故选：D

3.直线尸左（x-2）+1与椭圆片+武=1的位置关系是（）

169

A.相离B.相交C.相切D.无法判断

【正确答案】B

【分析】直线恒过（2/）点，将点代入椭圆标准方程，根据点与椭圆的位置关系判断即可

41

【详解】由题知，直线恒过定点（21），将（2,1）点代入£+匕可得+

一9-故（24）在椭圆

16916

内，直线与椭圆相交

故选：B

本题考查点与椭圆位置关系的判断，可简单记为：点产（为,必），椭圆标准方程为£+《=1,

a~h2

若点在椭圆内，贝！1¥1；若点在椭圆上，则工+久=1；若点在椭圆外，则£+二＞1,

a~ba~b~ah

属于基础题

4.双曲线C：1-4=l与双曲线《一片=T具有相同的（）

4343

A.焦点B.实轴长C.离心率D.渐近线

【正确答案】D

【分析】依次分析两条曲线的焦点，实轴长，离心率，渐近线等即可得答案.

【详解】解：将双曲线。:《-仁=-1化为标准方程得。:己-占=1,

4334

所以，对于双曲线=/=4,〃=3,c2=7,焦点坐标为旧近,0）,实轴长为2a=4,

离心率为6=立，渐近线方程为y=±且x;

22

对于双曲线?=1,/=3,/=4,。2=7,焦点坐标为（0,土J7）,实轴长为2a=20,

离心率为0=[=与，渐近线方程为y=土等x;

故双曲线C:4-m=l与双曲线D：三-匕=-1具有相同的渐近线.

故选：D

5.如图，设抛物线炉=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,

其中点A,a在抛物线上，点C在了轴上，！ilijAflCF与A/fCF的面积之比是

AMsiBMzlc、忸周+1n忸呼+1

|"F|T|JF|2-1"|叫+1'\AFf+\

【正确答案】A

S血F_BC_幺_BF-1

【详解】，故选A.

SqcFdCXjAF-I

抛物线的标准方程及其性质

6.设P为直线/：x+y+l=O的动点，尸彳为圆C:（x-2）2+/=l的一条切线，A为切点，则

△P4C的面积的最小值为（）

A.典B.710C.巫D.714

24

【正确答案】C

【分析】由圆的方程可得圆心与半径，利用三角形的面积，将面积的最值小问题转化为点到

直线的距离的最小值可求答案.

【详解】由圆的标准方程为（丫-2尸+炉=1,

则圆心坐标为C（2,0）,半径R=l,

则APAC的面积S=^PA\-\AC\=；|尸,

二要使的面积的最小，则|尸川最小，又=-|/C『=J|PC--1,

即|pq最小即可，此时最小值为圆心c到直线的距离d=?£』=当,

即△口，的面积的最小值为sf半中

故选：c.

7.如果自然数〃是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1,我们就把

自然数〃叫做“集中数”.那么，“集中数”一共有（）个.

A.65B.70C.75D.80

【正确答案】C

【分析】利用已知条件，分析三位数的数字特征，转化求解即可.

【详解】解：自然数〃是一个三位数，而且十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1,我

们就把自然数〃叫做“集中数

则3个数，相等或相邻，

十位数为。时，有100,或101,共2个;

十位数为1时，有110,111,112,210,211,212共6个；

十位数为2时，有121,123,122,222,221,223,321,322,323,共9个；

十位数为3,4,5,6,7,8时，与十位数是2时，相同各有9个；

十位数为9时，有，899,898,998,999共4个.

综上共有：2+6+7x9+4=75个.

故选：C.

8.己知椭圆和双曲线有共同的焦点耳，F2,P是它们的一个交点，且NFFE=茎2兀，记椭圆

和双曲线的离心率分别为仇，e,•贝1」之+5=()

币e2

A.4B.273C.2D.3

【正确答案】A

【分析】设椭圆的长半轴长为ai,双曲线的实半轴长a2,焦距2c.结合椭圆与双

曲线的定义，得附1=%+%，|P闯,在△F1PF2中,根据余弦定理可得到知出

31

与c的关系式，变形可得二十不的值.

eie2

设桶圆的长半轴长为％,双曲线的实半轴长为的，则根据椭圆及双曲线的定义:

忸耳|+|「匐=2%,|尸周一归闾=2出,

：.\PF\=ax+a2,\PF^=ax-a2,

On

设闺段=2c,2贴6=q，则

在P4玛中由余弦定理得，4,=（4+2）2+（4-42）2-2（q+2）（4-ajcosg,

31

•••化简得3。；+。；=4c2,该式可变成了+/=4.

故选A.

本题考查了椭圆及双曲线的定义和离心率，考查了余弦定理的应用;涉及圆锥曲线的离心率

时,常通过结合圆锥曲线a,b,c的关系式和其他已知条件，转化只含有a,c的关系式求解.

二、多选题

9.若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有（）

A.｛硝B.｛a“q+JC.D.｛«„+1）

【正确答案】AB

【分析】由已知结合等比数列的定义检验各选项即可判断.

【详解】若数列｛"“｝是等比数列，则&=<7,

an-\

2

A：4-=才，符合等比数列，A正确；

。二-1

B：^^=q2,符合等比数列，B正确；

当时，CD显然不符合题意.

故选：AB.

10.在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下

列结论正确的有（）

A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C；种

B.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C；C；种

C.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C；C；+C；C；+C；种

D.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C；0-C；种

【正确答案】ACD

【分析】抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根

据分步计数原理可知A正确，B错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分

两种做法：（i）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不

合格；然后利用分类计数法求解.（ii）总的取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所

求.由此判断CD正确

【详解】解：由题意得：

对于A、B选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1

件有C；种取法，7件合格品种抽取2件有C；种取法，故共有C；C；中取法，故A正确；

对于选项C：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产

品中有1件不合格、有2件合格，共有C；C；种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、

有1件合格，共有C；C；种取法；③抽取的3件产品都不合格，C；种取法.故抽出的3件产品

中至少有1件是不合格品的抽法有C；C；+C；C；+C；种，故B错误，C正确；

对于选项D：10件产品种抽取三件的取法有C：。，抽出的3件产品中全部合格的取法有C；种，

抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有C：0-C；种，故D正确.

故选：ACD

11.已知取为3与5的等差中项，〃为4与16的等比中项，则下列对曲线C:二+以=1描

mn

述正确的是（）

A.曲线c可表示为焦点在y轴的椭圆

B.曲线C可表示为焦距是4的双曲线

c.曲线c可表示为离心率是e的椭圆

2

D.曲线C可表示为渐近线方程是夕=±0》的双曲线

【正确答案】ACD

【分析】由已知条件先求出加/的值，从而可得曲线C的方程，然后根据曲线方程分析判

断即可

【详解】由洸为3与5的等差中项，得2m=3+5=8,即机=4,

由"为4与16的等比中项，得“2=4x16=64,即"=±8,

则曲线C：《+片=1的方程为=+g=l或片-乙=1.

mn4848

其中m+==i表示焦点在歹轴的椭圆，此时它的离心率

48

e=：==故/正确，0正确；

其中£_一匕=1表示焦点在X轴的双曲线，焦距为2c=2〃2+[2=2)4+8=4百，渐近线方

48

程为y=±^x=±逑x=±6x，故8不正确，D正确.

a2

故选:ACD.

12.已知曲线C的方程为犬+必-孙=i,则下列说法中正确的有()

A.曲线C关于x轴对称

B.曲线C关于原点中心对称

C.若动点尸、。都在曲线C上，则线段IPQI的最大值为20

D.曲线C的面积小于3

【正确答案】BC

【分析】对于X8：根据对称理解运算即可判断；对于。：根据椭圆定义可知曲线C为椭

圆，结合椭圆性质分析求解.

【详解】解：对B：曲线C的上任一点4x,y)关于原点的对称点为4(-x,-y),

则(-x)2+(~y)2-(-x)(-j^)=x^+y2-xy=\,即4在曲线C上，

二曲线C关于原点中心对称，B正确；

对Ar/曲线C的上任一点B(x,y)关于x轴的对称点为B'(x,-y),

则x?+(-y)2-(-y)x=X1+y2+xy即B不在曲线上，

，曲线C关不于x轴对称，A错误；

x2+y2-xy-1>贝！j(x+y)2+3(x—y)2=4,

.•.(x+j^)2<4,EP-2<x+y<2,

Xvx2+y2-xy=\,即孙=(x+：)——-)

贝Uyj(x-：y)2+(y-^-)2=^x2+/-^y-(x+y)+|=yj(x+y)2-2xy-^-(x+y)+^

[、26(x+y)2-l2指,J(x+y)2-2&(x+y)+6J[(x+y)一

=q(x+y)-2x-------------(x+j；)+-

同理可得：yj(x+^y-)2+3+半)2=等[/6+(x+»)：，

则曲线C的上任一点P（x,y）到M（-的距离之和为:

\PM\+\PN\=^-[>j6+(x+y)]+

(x+y)]=26-

•••曲线C表示以〃，N为焦点且”c=士叵的椭圆，则1a2一/=逅,

33

对C：则线段|尸。|的最大值为2a=2夜，C正确；

对D：则曲线C的面积S=o切r=2^^>3,D错误；

3

故选：BC.

【点评】本题考查了直线与方程的综合运用，找到曲线与椭圆的联系是本题的难点和突破点.

三、填空题

13.抛物线y=V的焦点坐标是.

【正确答案】（0,；）

【分析】根据抛物线的标准方程求出P,即可求出焦点坐标.

【详解】由己知条件得，2P=1,即p=；,故抛物线y=Y的焦点坐标为（0,；）.

故答案为

14.圆©:/+4》+_/_5=0的一条弦以点4-1,2）为中点，则该弦的斜率为

【正确答案】-5##-0.5

【分析】配方法将圆的一般式方程化为标准方程，确定圆心和半径之后，根据中点弦所在直

线与NC垂直可求该弦的斜率.

【详解】解：将x2+4x+/-5=0配方得（x+2）2+V=9,

圆心为。（一2,0）,r=3,

,2-0。

/.k=-------=2,

“A0r-1-（-2）

弦以点4T，2）为中点，，该弦的斜率为

故

r2

15.已知椭圆土+^=1的两个焦点分别为耳，F2,P为椭圆上一点，且/£因=90。，则

4

画H西|的值为_-

【正确答案】2

【分析】根据椭圆的方程求得a,b,c,得到|耳玛I，设出IWi，|%|=4,利用勾股定

理以及椭圆的定义，可求得他的值，即可求出访|・|比|的值.

【详解】解：•.•a=2,6=1；.•"=百，耳周=2c=2b，

设|尸耳M，|P玛|=*•.•P为椭圆上一点，・^.4+^2=4①，

;“质=90。,,•.彳+g=(26)2②，

由①2_②得%=2,

二.|两卜|班卜品=2.

故2.

16.己知直线二+营=1(。，b是非零常数)与圆/+/=100有公共点，且公共点的横坐

ab

标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有条(用数字作答).

【正确答案】60

【分析】直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考察圆上横坐标和纵坐标均为

整数的点的个数，结合组合知识分类解答.

【详解】依题意直线xj截距均不为0,即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，

圆W+/=ioo上的横坐标和纵坐标均为整数的点有12个，

分别为(6,±8),(-6,±8),(8,±6),(-8,±6),(为0,0),(0,±10),

前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；

12个点过任意两点，构成G；=66条直线，有4条垂直x轴，

有4条直线垂直了轴，还有6条直线过原点(圆上点的对称性)，

满足条件的直线有52条.综上可知满足条件的直线共有52+8=60条.

故答案为.60

本题考查直线与圆的位置关系，利用组合知识是解题的关键，注意直线截距式方程的限制条

件，属于中档题.

四、解答题

17.（1）计算：A：+A；；

（2）计算：c+c：+c+cj+a.

【正确答案】（1）84；（2）70

【分析】（1）利用排列数的计算公式进行计算；

（2）利用组合数的性质化简即可求解.

【详解】（1）A：+A；=4x3x2+5x4x3=84：

n\n\（〃+1—尸）•〃!+尸•加（〃+1）!

（2）因为C；+C：T=^__-^t=^~~（，h—J~

尸!一尸）!（尸一1）!（〃+1—4!尸（〃+1—/）!n+\—）f!

所以c；+c：+c；+c：+c；=C+C+c；+c：+c；

=C；+C；+C：+C；=C：+C：+C；=C；+C；=C；=70.

18.已知公差不为0的等差数列｛〃“｝的首项q为2,,且5，J，《成等比数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵对"eN",求4+叼+a2,+...+a2„的表达式.

【正确答案】（1）%=2〃

（2）2-,+2-4

【分析】（1）设等差数列｛见｝的公差为d,d#0,由等差数列的通项公式和等比数列的中

项性质，解方程可得公差，求出通项公式；

（2）由等比数列的求和公式，计算求和.

【详解】（1）设等差数列｛见｝的公差为d,dwO,

由‘，,，,成等比数列，可得,即

4a24也）a\%

即有(2+4=2(2+3d),

解得d=2,

因为％=2,所以a“=2+2(〃-1)=2/7；

(2)对"eN*，…=4+8+16+…+2"+i=

-1—2

22

19.在平面直角坐标系xQy中，椭圆C:0+2r=1(。>6>0)的右焦点为尸(1,0),且过点

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F作直线/交椭圆C于A、B两点，点尸(2,0),若/8P的面积为:，求直线/的方程.

2

【正确答案】⑴]+/=1

(2)x±y-l=0

【分析】(1)由己知得c=l,再将点代入椭圆方程，可得/=2,〃=1；

(2)先考虑直线斜率为0时，不合要求，从而设/的方程为x=my+I,联立椭圆方程，得

到两根之和，两根之积，表达出45户的面积，再代入根与系数的关系即可，求出答案.

【详解】(1)右焦点为0(L0),则c=l,则”2=〃+1,

椭圆过点(1,孝)，则5+2=1，

则/=2,〃=1,椭圆的方程为片+/=1：

2

(2)直线/过点尸(1,0),当直线斜率为。时，此时45P不存在，不合题意,

设/的方程为x=my+l,直线/交椭圆C于4(再,必)，8(々,力)两点，

联立方程万+)'=,得("尸+2)/+2吵-1=0,

x=my+1

।-2m—1

贝n以+%=门，乂%=",

SABP=：.|尸尸|山「无卜:也+乃)L如2=飞亮V:一

222L+2)m^23

则m2=1，m=±i,则直线/的方程为x=±y+l,即x±y-l=0.

20.数列｛a,,｝满足q=l,0”+■,%=0.

2am7

（1）求证数列｛'｝是等差数列，并求出数列｛q｝的通项公式；

（2）若数列也,｝满足々=2,绍=2，,求也｝的前〃项和S,.

【正确答案】（1）证明见解析，

2n-\

⑵S“=6+（2〃-3）2”

【分析】（1）由%=昔=，两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求;

1-2“向

（2）由累乘法求得2，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求

和.

【详解】（1）证明：由卬=1，%+/工7=0,

X+i-l

可得卬广者1—

1-2%

两边取倒数可得一=~—2,即-------=2,

aa

n《用0mn

则数歹|J｛L｝是首项为1,公差为2的等差数歹U，

则一=1+2(〃-1)=2〃-1,即有%=—-—

an2/7-1

如=24=22

(2)由4=2,

b“an+l2n-\

可得“吟*…*=2.(2.3).(2令.…。.照)=2”.(2〃T),

检验：当〃=［时？-1）=2=4,

所以S“=卜2+3・4+5・8+...+2"-1(2”-3)+2"<2〃-1),

2S„=1-4+3-8+5-16+...+2"-(2n-3)+2"+|•(2n-1),

上面两式相减可得-S,=2+2(4+8+...+2"-'+2")-2向•(2〃-1)

”.4(1-2-')八,、

=2+2--------------2•(2n-1),

1-2

化简可得S“=6+(2〃-3)-2"l

21.已知点P是双曲线(7:鸟-《=1(°>08>0)右支上一点，环、凡是双曲线的左、右焦点,

ao

P3=（2+6）|PR|,NF、PR=60。.

(1)求双曲线的离心率；

(2)设区、，•分别是△月”的外接圆半径和内切圆半径，求4.

r

【正确答案】(1)手

(2)2+2/

【分析】(1)由双曲线的定义解方程求得1尸耳1,I尸乙I，再由余弦定理和离心率公式，计算

可得所求值；

(2)由正弦定理可得外接圆半径出,由三角形的等积法，计算可得内切圆半径，可得所

求比值.

【详解】(1)由尸为双曲线的右支上一点，可得|P不-I尸鸟|=2〃，

又M卜(2+叫叫，可得附|=(6+1)4,\PF2\=(43-\)a,

在△/=；尸死中，/耳尸鸟=60。，由余弦定理可得

4cz=（4+2拘"+&-2^/3）a2-2电+1）（百-l）a2--

=8a2—2a2=6a2,即c=-^-a,

2

可得e=£=