2024年天津大学附中高二数学下学期3月考试卷附答案解析

年天津大学附中高二数学下学期3月考试卷2024.03一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.1．已知，则（

）A．2 B．5 C．2或5 D．2或62．已知函数，则（

）A．0 B．1 C． D．3．曲线在点处的切线的倾斜角为，则实数（

）A． B． C．2 D．34．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（

）A．40个 B．42个 C．48个 D．52个5．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A．36种 B．48种 C．72种 D．96种6．已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（

）A． B． C． D．7．在的展开式中，含的系数是（

）A．83 B．84 C．55 D．888．2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有(

)A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种9．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．已知函数，则函数的零点所在的区间是A．（0,1） B．（1,2） C．（2,3） D．（3,4）二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分.11．已知函数，则曲线在处的切线方程为.12．已知函数在时有极值0，则．13．在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于．14．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有种(用数字作答)．16．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有种（用数字作答）.17．的展开式中的系数为．18．若关于的方程有解，则实数的取值范围是．三、解答题：本题共3小题，共36分.19．求下列函数的导函数．(1)；(2)．(3)；(4)．20．已知二项式的展开式中，第7项为常数项，(1)求的值；(2)求展开式中所有有理项21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.1．C【解析】根据组合数的性质可得或，解方程即可.【详解】由，可得或，解得或5.故选：C2．D【分析】求得函数的导数，得到，结合导数的概念，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，则，根据导数的概念，可得.故选：D.3．C【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，列式求解，即可求得答案.【详解】由，得，由于曲线在点处的切线的倾斜角为，故，故选：C4．D【分析】分最后一位分别为0，2，4三种情况求解即可.【详解】当最后一位是时，共有种情况；当最后一位是时，共有种情况；当最后一位时，共有种情况，所以共有个.故选：D5．C【详解】恰有2个空座位相邻，相当于2个空位与第3个空位不相邻，先排3个人，将2个空位看作一个整体，然后插空，从而不同的坐法共有.6．A【分析】根据，构造函数，判断其单调性，将化为，根据函数单调性即可求得答案.【详解】令，，则，故在上单调递减，结合，得，由，得，即，则，即的解集是，故选：A7．A【分析】先求出各项二项式中含的系数，利用组合数的计算即可求解.【详解】展开式中，含项的系数为.故选：A8．B【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①.③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；最后由分类计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况；甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，有种情况；两种情况合并，共有种情况；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①.共有种情况；③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共有种情况；综上，则共有种不同的站法．故选：B.9．C【分析】求出函数的导数，通过在上单调递减，列出不等式然后通过函数的最值求解实数的取值范围.【详解】由题意知在上恒成立，所以在上恒成立.令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递琙，所以，所以，解得，即的取值范围是.故选：C.10．B【详解】试题分析：,易知，所以根据零点存在性定理在间有零点.考点：函数零点的判定定理点评：本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，若函数在区间[a，b]上联系且单调，且f（a）•f（b）＜0，则函数在区间（a，b）上有唯一零点，体现了函数与方程的思想的应用.11．【分析】求导，求出，，根据斜率和切点即可写出切线方程.【详解】由已知，则，又，即切点为，所以曲线在处的切线方程为.故答案为：.12．11【分析】求出函数的导数，由题意列出方程组，求得的值，经验证后，即可确定的值，即可求得答案.【详解】由函数，得，由题意得，解得或，当时，，仅当时等号成立，此时在R上单调递增，无极值，不符合题意；当时，，令，则或，令，则，即在上均单调递增，在上单调递减，故在处取得极小值，且，则，即符合题意，故，故答案为：1113．252【解析】根据展开式中所有二项式系数的和等于，求得．在展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项．【详解】∵在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，∴，解得，∴中，，∴当，即时，常数项为．故答案为：252．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：.∴通项公式，令，解得.∴展开式中含项的系数为.故答案为：.15．60【详解】试题分析：当一，二，三等奖被三个不同的人获得，共有种不同的方法，当一，二，三等奖被两个不同的人获得，即有一个人获得其中的两个奖，共有,所以获奖的不同情况有种方法,故填：60.考点：排列组合【方法点睛】本题主要考查了排列组合和分类计数原理，属于基础题型，重点是分析不同的获奖情况包含哪些情况，其中一，二，三等奖看成三个不同的元素，剩下的5张无奖奖券看成相同元素，那8张奖券平均分给4人，每人2张，就可分为三张奖券被3人获得，或是被2人获得的两种情况，如果是被3人获得，那这4组奖券就可看成4个不同的元素的全排列，如何2人获得，3张奖券分为2组，从4人挑2人排列，最后方法相加.16．420【分析】根据题意设五个区域分别为①②③④⑤，再分两步讨论①②③和④⑤的情况，最后由分步计数原理计算即可.【详解】由题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，共有种情况；对于区域④⑤，若④与②颜色相同，则⑤有3种情况，若④与②颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，共有种情况，所以④⑤共有种情况，则一共有种情况.故答案为：420【点睛】本题主要考查排列组合的应用和分步乘法计数原理的应用，属于基础题.17．【分析】利用展开式求出所有含的项即可得出系数为.【详解】由二项式定理可知展开式中含有的项为，所以可得展开式中的系数为.故答案为：18．【分析】设，将方程有解问题转化为函数有零点问题，进而利用导数研究函数的单调性和极值，找到使函数有零点的的范围【详解】设，则.①若，则，为上的增函数.∵时，∴有且只有一个零点，即此时方程有解.②若，令，得，即在上为增函数；令，得，即在上为减函数.要使函数有零点，需，即，解得.∴时，有零点，即此时方程有解.综上所述，.故答案为【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．19．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式以及求导法则以及复合函数的求导法则，即可求得答案.【详解】（1）由，得；（2）由，得；（3）由，得；（4）由，得.20．(1)(2)有理项为，，，，【分析】（1）写出二项式展开式的通项公式，根据第7项为常数项，令的指数为0，求得答案；（2）根据二项式展开式的通项公式，令的指数取整数，可求得答案.【详解】（1），，∴，∵第7项为常数项，∴，∴．（2）由（1）知,，要使为有理项，只需为整数，且,∴当时，为有理项,，，，,∴有理项为，，，，.21．（1）答案不唯一，具体见解析（2）【分析】（1