2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第48炼 多变量表达式范围数形结合含答案

2024年千锤百炼高考数学100个热点问题第48炼多变量表达式范围数形结合第48炼多变量表达式的范围——数形结合一、基础知识：1、数形结合的适用范围：（1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组（2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等）2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩。二、典型例题例1：三次函数在区间上是减函数，那么的取值范围是（）A.B.C.D.思路：先由减函数的条件得到的关系，，所以时，恒成立，通过二次函数图像可知：，由关于的不等式组可想到利用线性规划求得的取值范围，通过作图可得答案：D例2：设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立，如果实数满足不等式组，那么的取值范围是（）A.B.C.D.思路：首先考虑变形，若想得到的关系，那么需要利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小。由可得：，所以关于中心对称，即，所以：，利用单调递增可得：，所以满足的条件为①，所求可视为点到原点距离的平方，考虑数形结合。将①作出可行域，为以为圆心，半径为的圆的右边部分（内部），观察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是，所以答案：C例3：已知函数是上的减函数，函数的图像关于点对称，若实数满足不等式，且，则的取值范围是_____思路：从所求出发可联想到与连线的斜率，先分析已知条件，由对称性可知为奇函数，再结合单调递减的性质可将所解不等式进行变形：，即，所以有。再结合可作出可行域（如图），数形结合可知的范围是答案：例4：已知是三次函数的两个极值点，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.思路：由极值点可想到方程的根，，依题意可得：的两根分别在中，由二次函数图像可知：，且所求可视为与定点连线的斜率，所以想到线性规划，通过作出可行域，数形结合可知的范围是答案：A例5：已知实系数方程的三个根可以作为一椭圆，一双曲线，一抛物线的离心率，则的取值范围是_________思路：以抛物线离心率为突破口可得是方程的根，设，则，从而，进而因式分解可知，所以椭圆与双曲线的离心率满足方程，设，则由椭圆与双曲线离心率的范围可知一根在，一根在，所以，由不等式组想到利用线性规划求的范围，即可行域中的点与原点连线斜率的范围。通过作图即可得到答案：例6：已知三个正实数满足，则的取值范围是______思路：考虑将条件向与有关的式子进行变形，从而找到关于的条件：，可发现不等式组只与相关，不妨设，则不等式组转化为：即，所求恰好为的范围，作出可行域即可得到的范围为答案：例7：设是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量，，若，则的最大值为（）A．4B．3C．5D．6思路：本题的变量较多，首先要确定核心的变量。题目所求为的表达式。所以可视其为核心变量，若要求得的最值，条件需要关于的不等式组。所以考虑利用与的关系将原先关于的不等式组替换为关于的等式组即可解：设，代入到约束条件中可得：，作出可行域即可解出的最大值为答案：A例8：若实数满足条件，则的取值范围是_________思路：考虑所求式子中可变为，所以原式变形为：，可视为关于的二次函数，设，其几何含义为与连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即，则答案：小炼有话说：本题也可以考虑利用三角换元。设，从而原式转化为：，由可知的范围为例9：（2016，天津六校联考）已知实数满足，则的取值范围是________思路：由，可建立直角坐标系，建立圆模型：，则圆上的点为，所求分式可联想到斜率，即可视为两点连线的斜率。数形结合可得：过的直线与圆有公共点时斜率的取值范围，设，即，解得：答案：例10：（2012江苏）已知正数满足：，则的取值范围是________思路：可先将所给不等式进行变形：，，从而将所给不等式转化为关于的关系，为了视觉效果可设，则已知条件为：，而所求为，即可行域中的点与连线的斜率。数形结合即可得到斜率的范围是，其中为与原点连线的斜率，为过原点且与曲线相切的切线斜率答案：小炼有话说：本题也可以用放缩的方法求得最值，过程如下：因为另一方面：，设，则可得在单调递减，在单调递增，即，令，则有综上所述：第49炼等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项（3）如果为等差数列，则注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。比如，则不一定成立②利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：，可得，即可得到，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：，递增；，递减。5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可（2）由通项公式可得：作用：①这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式②，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式。从而可将的变化规律图像化。（3）当时，因为而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当时，即偶数项和与中间两项和的联系6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析（1）从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：通过观察可得：为递增数列，且，所以所有的项均为正数，前项和只有最小值，即，同理中的项均为负数，所以前项和只有最大值，即。而虽然是递减数列，但因为，所以直到，从而前4项和最大，同理，的前5项和最小。由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前项和的最值会出现在项的符号分界处。（2）从的角度：通过配方可得，要注意，则可通过图像判断出的最值7、由等差数列生成的新等差数列（1）在等差数列中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列例如在，以3为间隔抽出的项仍为等差数列。如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距（2）已知等差数列，设，，则相邻项和成等差数列（3）已知为等差数列，则有：①为等差数列，其中为常数②为等差数列，其中为常数③为等差数列①②③可归纳为也为等差数列8、等差数列的判定：设数列，其前项和为（1）定义（递推公式）：（2）通项公式：（关于的一次函数或常值函数）（3）前项和公式：注：若，则从第二项开始呈现等差关系（4）对于，，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项二、典型例题：例1：设等差数列的前项和为，且，，则_________思路：由可得：，即。而，所以不是各项为0的常数列，考虑，所以答案：小炼有话说：关于等差数列钱前项和还有这样两个结论：（1）若，则（本题也可用此结论：，从而利用奇数项和与中间项的关系可得）（2）若，则有例2：已知数列为等差数列，若，则_______思路：条件与所求都是“”的形式，由为等差数列可得也为等差数列，所以为的等差中项，从而可求出的值解：为等差数列也为等差数列答案：例3：设为等差数列的前项和，，则（）A.B.C.D.思路一：已知等差数列两个条件即可尝试求通项公式，只需将已知等式写成关于的方程，解出后即可确定通项公式或者数列中的项解：思路二：本题还可抓住条件间的联系简化运算。已知，从而联想到可用表示，即，所以等式变为：，所以可得。答案：A小炼有话说：思路一为传统手段，通常将已知两个等式变形为的二元方程，便可求解。但如果能够观察出条件间的联系，往往能通过巧妙的变形简化计算过程。在平时的练习中建议大家多尝试思路二的想法，努力找到条件间的联系，灵活利用等差数列性质进行变形。而思路一可作为“预备队”使用。例4：在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于（）A.B.C.D.思路：由观察到的特点，所以考虑数列的性质，由等差数列前项和特征可得，从而可判定为等差数列，且可得公差，所以，所以，即答案：B例5：已知为等差数列，且前项和分别为，若，则_____思路：，所求可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前项和的比值。考虑利用中间项与前项和的关系，有：，将项的比值转化为数列和的比值，从而代入即可求值：答案：小炼有话说：等差数列中的项与以该项为中间项的前项和可搭建桥梁：，这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。例6：已知等差数列中，，则此数列前项和等于（）A.B.C.D.思路：求前30项和，联想到公式，则只需。由条件可得：，所以，所以答案：D例7：已知等差数列中，，则的值为___________思路：条件为相邻4项和，从而考虑作差能解出数列的公差：，可得：，解得，考虑，所以答案：小炼有话说：本题在解题过程中突出一个“整体”的思想，将每一个四项和都视为整体，同时在等差数列中相邻项和的差与公差相关，从而解出公差并求出表达式的值例8：等差数列有两项，满足，则该数列前项之和为（）A.B.C.D.思路：可根据已知两项求出公差，进而求出的通项公式，再进行求和即可解：答案：C例9：在等差数列中，，若其前项和为，且，那么当取最大值时，的值为（）A.B.C.D.思路一：考虑从的项出发，由可得，可得，因为，所以，从而最大思路二：也可从的图像出发，由可得图像中是对称轴，再由与可判断数列的公差，所以为开口向下的抛物线，所以在处取得最大值答案：D例10：设首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是___________思路：将用进行表示，从而方程变形为含的方程。而的取值只需让关于的方程有解即可，所以通过求出的范围解：所以关于的方程应该有解解得或答案：或第50炼等比数列性质一、基础知识1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列2、等比数列通项公式：，也可以为：3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项（1）若为的等比中项，则有（2）若为等比数列，则，均为的等比中项（3）若为等比数列，则有4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为当时，则为常数列，所以当时，则可变形为：，设，可得：5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列，则有①数列（为常数）为等比数列②数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列③数列为等比数列④数列为等比数列6、相邻项和的比值与公比相关：设，则有：特别的：若，则成等比数列7、等比数列的判定：（假设不是常数列）（1）定义法（递推公式）：（2）通项公式：（指数类函数）（3）前项和公式：注：若，则是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于，均有8、非常数等比数列的前项和与前项和的关系，因为是首项为，公比为的等比数列，所以有例1：已知等比数列的公比为正数，且，则________思路：因为，代入条件可得：，因为，所以，所以答案：例2：已知为等比数列，且，则（）A.B.C.D.思路一：由可求出公比：，可得，所以思路二：可联想到等比中项性质，可得，则，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。例3：已知等比数列的前项和为，则实数的值为（）A.B.C.D.思路：由等比数列的结论可知：非常数列的等比数列，其前项和为的形式，所以，即答案：A例4：设等比数列的前项和记为，若，则（）A.B.C.D.思路：由可得：，可发现只有分子中的指数幂不同，所以作商消去后即可解出，进而可计算出的值解：，解得：所以答案：A例5：已知数列为等比数列，若，则的值为（）A.B.C.D.思路：与条件联系，可将所求表达式向靠拢，从而，即所求表达式的值为答案：C例6：已知等比数列中，则其前5项的和的取值范围是（）A.B.C.D.思路：条件中仅有，所以考虑其他项向靠拢，所以有，再求出其值域即可解：，设，所以答案：A例7：已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件思路：在等比数列中，数列的增减受到的符号，与的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若，则数列是递增数列”，如果，则是递减数列，所以命题不成立；再看“若数列是递增数列，则”，同理，如果，则要求，所以命题也不成立。综上，“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件答案：D例8：在等比数列中，若，则（）A.B.C.D.解：条件与结论分别是的前项和与倒数和，所以考虑设，则所以答案：B例9：已知等比数列中，各项都是正数，且，则（）A.B.C.D.思路：所求分式中的分子和分母为相邻4项和，则两式的比值与相关，所以需要求出。由条件，将等式中的项均用即可求出。从而解得表达式的值解：成等差数列将代入等式可得：，而为正项数列，所以不符题意，舍去答案：C例10：在正项等比数列中，，则满足的最大正整数的值为____________思路：从已知条件入手可求得通项公式：，从而所满足的不等式可变形为关于的不等式：，由的指数幂特点可得：，所以只需，从而解出的最大值解：设的公比为，则有解得：（舍）或所以所解不等式为：可解得：的最大值为答案：三、历年好题精选（等差等比数列综合）1、已知正项等比数列满足，则的最小值为（）A.B.C.D.2、已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则（）A.B.C.D.3、（2016，内江四模）若成等比数列，则下列三个数：①②③，必成等比数列的个数为（）A.0B.1C.2D.34、设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（）A.B.C.D.5、（2016，新余一中模拟）已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列前项和，则的最小值为（）A.B.C.D.6、（2015，北京）设是等差数列，下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则7、（2015，广东）在等差数列中，若，则______8、（2014，北京）若等差数列满足，则当______时，的前项和最大9、（2015，福建）若是函数的两不同零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（）A.B.C.D.10、已知是等差数列，公差，其前项和为，若成等比数列，则（）A.B.C.D.11、（2014，广东）若等比数列各项均为正数，且，则12、（2014，安徽）数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则_______13、（2014，新课标全国卷I）已知数列的前项和为，，其中为常数（1）证明：（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由14、（2016，河南中原第一次联考）已知为等差数列的前项和，若，则（）A.B.C.D.15、设等差数列的前项和为，且满足，则中最大的项为（）A.B.C.D.16、（2014，湖北）已知等差数列满足：，且成等比数列（1）求数列的通项公式（2）记数列的前项和为，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由习题答案：1、答案：C解析：