高中数学同步讲义（人教A版必修二）第13讲 拓展一：平面向量综合问题（教师版）

第13讲拓展一：平面向量综合问题题型01平面向量共线定理及其推论【典例1】（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【详解】因为，所以点是的重心，所以.因为，所以，综上，.因为，所以三点共线，则，即.因为均为正数，所以，则，所以（当且仅当，即时取等号），所以的最小值为.故选：B【典例2】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知点O是的内心，，，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【详解】连接并延长交于点，连接，因为O是的内心，所以为的平分线，所以根据角平分线定理可得，所以,因为三点共线，所以设，则，因为，所以，故选：D【典例3】（2023·湖北武汉·统考三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（

）．A． B． C．3 D．9【答案】B【详解】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，又，，所以，又三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号.故选：B.【变式1】（2023下·浙江宁波·高二校联考期末）在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【详解】由题可知，，因为，，所以，，又，所以，所以，因为三点共线，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故选：A

【变式2】（2023下·江苏南京·高一统考期中）在中，点是边所在直线上的一点，且，点在直线上，若向量，则的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．9【答案】B【详解】，，，点，，三点共线，，又，，，当且仅当，即，时，等号成立，的最小值为4．故选：B．【变式3】（2022上·海南·高三校联考期末）已知长方形中，，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，线段，交于点，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题可知，

设则,又，所以，解得，所以.故选：A.题型02平面向量数量积（最值，范围）问题【典例1】（2023下·天津·高一统考期末）在中，，，.若，分别为边，上的点，且满足，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得，，，因为，，所以，，所以，因为，所以，函数开口向下，对称轴为，当时，取最大值.故选：A【典例2】（2023下·江苏泰州·高一统考期末）已知的外接圆的圆心为，且，，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【详解】由正弦定理得，故，因为，所以，则，因为，所以，则，故.故选：C【典例3】（2023下·内蒙古包头·高一统考期末）边长为2的等边三角形ABC的重心为G，设平面内任意一点P，则的最小值为．【答案】【详解】由题意，设等边的边长为，以的中点为原点，以分别为轴建立直角坐标系，可作图如下：由为等边的重心，则，，即，，设，则，，，对于，，故.故答案为：.【典例4】（2023下·四川成都·高一统考期末）已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为．【答案】【详解】

取的中点，连接，则，所以，当且仅当时，有最小值，则有最小值，此时菱形的面积，最小值为，因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值，的取值范围为，故答案为：【变式1】（多选）（2023下·辽宁大连·高一大连八中校考期中）在中，，，，为内任意一点（含边界），且，则的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】在中，，，，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、，因为为内任意一点（含边界），且，设点，，，所以，，为锐角，且，因为，则，由可得，由得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，又因为，，则，故选：BCD.【变式2】（2023下·北京通州·高一统考期末）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则的取值范围是．

【答案】【详解】以为原点，,所在直线分别为,轴,建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，其中，则，，当时,有最小值3，当或2时，有最大值为4，的取值范围为.故答案为：.

【变式3】（2023下·浙江丽水·高二统考期末）在中，，为边上的动点，则的最小值为．【答案】/-2.56【详解】由于，所以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系如图所示：

则有：，设点，且，所以，则，当时，取得最小值．故答案为：．【变式4】（2023下·广东·高一校联考阶段练习）如图，已知是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，，则的最大值是．

【答案】2【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即与重合时取等号，故的最大值是2．故答案为：2题型03平面向量的模（最值，范围）问题【典例1】（2023·上海崇明·统考一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于．【答案】【详解】依题意，设与的夹角为，，因为，，所以，即，则，所以，因为对任意的，都有成立，所以，即，即对于恒成立，故，又，解得，综上，，则的最小值为.故答案为：.【典例2】（2023上·天津和平·高三天津市第二南开中学校考期中）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为.【答案】【详解】设，则，所以，所以，故，因为，，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：.【典例3】（2023下·上海闵行·高一校考阶段练习）已知，，，且，为钝角，若的最小值为，则的最小值是【答案】【详解】，因为的最小值为，所以的最小值为，又，所以，所以，又为钝角，所以，即，则，所以，所以，又，所以，所以当时.故答案为：【典例4】（2023下·四川眉山·高三校考开学考试）在△ABC内，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角B的值；(2)若，点D是AC边上靠近点C的三等分点，求BD的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵．∴由正弦定理，得．∴．∴．又，∴．又∵，∴．又，∴．（2）由题意可知，,即，所以，，，且，所以，，由可知，，所以，则的取值范围是.【变式1】（2023上·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）在中，为中点，为线段上一点，且满足，若，则的最大值为．【答案】【详解】由题可得，，则，因D,P,C三点共线，则.又注意到，结合，余弦定理可得：.则.又由基本不等式，.当且仅当，即时取等号.则.故答案为：.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，若的最大值为1，的取值范围为．【答案】【详解】设向量的夹角为θ，则；又,所以，所以,所以，又，所以，所以的取值范围是．故答案为：．【变式3】（2023上·江苏南京·高二统考期中）在中，分别为角所对的边，．(1)求角的大小；(2)若的面积为，且，，求的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解法一：因为，所以，由余弦定理得，化简得，所以，因为，所以.解法2：因为，所以，由正弦定理得，因为，可得，所以，因为，所以，即，化简得，因为，可得，所以，因为，所以.（2）解：因为，所以，又因为，，所以，所以，当且仅当时，即等号成立，所以的最小值为．题型04平面向量夹角（最值，范围）问题【典例1】（2023上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【详解】由，可得；所以；因此，所以，显然，所以，当且仅当时，等号成立；此时的最小值为.故选：C【典例2】（2023下·重庆酉阳·高一重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（

）.A． B． C． D．【答案】D【详解】因为单位向量，的夹角为，则，所以，又，所以，当取最大值时，必有，则，又，，则，所以，所以，故的最大值为.故选：D．【典例3】（2022上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，，，，，，三者直接各自的夹角都为锐角，，，，，，即在上的投影为1，在上的投影为3，，，如图，即，且则，由基本不等式得，，与的夹角为锐角，，由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，故选：C.【典例4】（2023上·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知向量，满足，若对任意模为的向量，均有，则向量的夹角的取值范围为.【答案】【详解】由，若对任意模为的向量，均有，由三角不等式得，，因为向量为任意模为的向量，所以当向量与向量夹角为时，上式也成立，设向量的夹角为.，，平方得到，即，则，即，即，同时，所以，平方得到，即，解得，即，，综上，又因为，即，向量的夹角的取值范围.故答案为：.【变式1】（2022上·江西·高三校联考阶段练习）已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，即，；，即，；设向量与所成夹角为，（当且仅当时取等号）；又，.故选：A.【变式2】（2021下·浙江·高一期末）已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意可得，，则，，，则，所以，，令，则，令，由得，则，所以，故所以，当时，有最小值.故选：A.【变式3】（2023上·天津北辰·高三校考阶段练习）在中，点D为AC的中点，点E满足．记，，用表示；若，则的最大值为．【答案】/30°【详解】

如图所示，结合题意知：；若，则，设，则，当且仅当时取得等号，由余弦函数的单调性得，所以的最大值为.故答案为：；.【变式4】（2023上·广东深圳·高三深圳市云顶学校校考阶段练习）已知平面单位向量满足，设，，向量的夹角为，则的最小值是．【答案】【详解】，，，；设，则，，令，则，，，，，即的最小值为.故答案为：.题型05平面向量投影（投影向量）【典例1】（2023·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则在方向上的投影向量的模为（

）A． B．3 C． D．【答案】B【详解】因为，所以，又，所以，则在方向上的投影向量的模为，故选：B．【典例2】（2023·广东·统考二模）已知是坐标原点，点，且点是圆：上的一点，则向量在向量上的投影向量的模的取值范围是.【答案】【详解】设直线倾斜角为，的倾斜角为，当直线的斜率存在时，设直线方程为，即由圆：，即，所以圆心，半径，又点在圆上，所以点到直线的距离，解得，即，当直线的斜率不存在时，方程为与圆相切，成立，此时，综上，，则，所以，即所以，即，又所以向量在向量上的投影向量的模为，故答案为：.【典例3】（2022上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知对任意平面向量，把B绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿逆时针后得到点P，向量为向量在向量上的投影向量，则.【答案】/【详解】因为，，所以，，所以P点坐标为，所以，所以.故答案为：.【变式1】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【详解】依题意，，向量在向量上的投影向量：，所以，当且仅当时等号成立.故选：A【变式2】（2023·广东惠州·统考一模）已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设则在上的投影向量为．（结果用表示）．【答案】【详解】建立如图所示的直角坐标系，由，可设，，

得点的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）．因为是的角平分线，且，所以也为的角平分线，为的内心．如图，设，则由双曲线与内切圆的性质可得，，又，所以，，在上的投影长为，则在上的投影向量为，故答案为：【变式3】（2023下·广东惠州·高一校联考阶段练习）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为.【答案】【详解】因为，与的夹角，则，所以，所以在上的投影向量为.故答案为：题型06平面向量中的新文化，新定义题【典例1】（2023上·广东深圳·高二校考阶段练习）人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点、，为坐标原点，余弦相似度为向量、夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知、、，若、的余弦距离为，，则、的余弦距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，，，，，由已知，可得，①又因为，②联立①②可得，，因此，、的余弦距离为，故选：A.【典例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，做轴于点，所以，由已知可得，，，所以，，，所以.故选：B.

【典例3】（多选）（2023下·宁夏吴忠·高一统考期末）如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，、为正八边形内的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（

）

A． B．C．的最大值为 D．【答案】ABD【详解】对于A选项，正八边形的内角为，易知，，A对；对于B选项，连接、，则为正八边形外接圆的一条直径，则，

所以，，B对；对于C选项，如下图所示：

设在方向上的投影向量为，由图形可知，当、分别在线段、上时，取最大值，且的最大值为，C错；对于D选项，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、，如下图所示：

当点在线段上时，取最小值，此时，，当点在线段上时，取最大值，此时，，综上所述，，D对.故选：ABD.【典例4】（2023下·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为图2的扇形，其中，，动点在上（含端点），连接交扇形的弧于点，且，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C． D．【答案】BC【详解】如图，作，分别以，为，轴建立平面直角坐标系，则，设，则，由可得，，且，若，则，，所以，，所以，故A错误；由，，所以，因为，所以，所以，所以，故B正确；由于，故，而，所以，所以，故C正确，，由于，故，故，故D错误；故选：BC【变式1】（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得则，又，∴，∴，，，故选：【变式2】（多选）（2023下·江苏南通·高一统考期中）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形，，，为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（

）

A． B．C．若，则λ＋μ的最大值为