高中数学同步讲义（人教A版必修二）第20讲 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（教师版）

第03讲7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课程标准学习目标①.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则。②理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题。1.在认真学习复数定义的基础上，熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则；2进一步加强理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题，提升数学学科素养；知识点01：复数代数形式的加法运算及其几何意义（1）复数的加法法则设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数（2）复数加法满足的运算律对任意，有交换律：结合律：（3）复数加法的几何意义如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.【即学即练1】（2022·高一课时练习）复数的加、减法运算法则设，则，．复数加法的运算律（1）交换律：．（2）结合律：．复数加、减法的几何意义如图，设在复平面内复数对应的向量分别为，以为邻边作平行四边形，则与对应的向量是，与对应的向量是．【答案】知识点02：复数代数形式的减法运算及其几何意义（1）复数的减法法则类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作注意：①两个复数的差是一个确定的复数；②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.（2）复数减法的几何意义复数 向量【即学即练2】（2018·高三课时练习）如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出．【详解】∵，∴对应的复数为：，∴点对应的复数为．故选D．知识点03：()的几何意义在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离.【即学即练3】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知复数，满足，，则的最大值为.【答案】4【详解】设，则，所以，即，，，当时，则取得最大值，最大值为.故答案为：4题型01复数的加、减运算【典例1】（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】根据复数运算可知：，在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B【典例2】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）已知复数，，则．【答案】【详解】因为复数，，则.故答案为：.【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）（2）（3）（4）【变式1】（2023下·西藏林芝·高二校考期末）若复数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由复数，则.故选：A.【变式2】（2023下·北京昌平·高一统考期末）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于第象限.【答案】三【详解】因为，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限，故答案为：三【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)2(3)0(4)(5)(6)【详解】（1）由题意可得：.（2）由题意可得：.（3）由题意可得：.（4）由题意可得：.（5）由题意可得：.（6）由题意可得：.题型02复数的加、减运算的几何意义【典例1】（2023下·河南郑州·高一中牟县第一高级中学校考阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】复数与分别表示向量与，因为，所以表示向量的复数为.故选：D.【典例2】（2022下·山东日照·高一校联考期末）若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为.【答案】16【详解】因为，，，所以，，.所以的周长为.故答案为：16【典例2】（2022·高一课时练习）如图所示,平行四边形的顶点O,A,C对应的复数分别为0,,,其中i为虚数单位由复数的几何意义,知与对应的复数分别为,.(1)求对应的复数.(2)求对应的复数.(3)求对应的复数.【答案】(1).(2).(3)【详解】解：(1)因为,所以表示的复数为.(2)因为,所以表示的复数为.(3),所以对应的复数为.【变式1】（2023·高一课时练习）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为．【答案】【详解】因为对应的复数是，对应的复数为，又，所以对应的复数为，又，所以点对应的复数为，所以点的坐标为．故答案为：．【变式2】（2022下·高二课时练习）在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为.【答案】【详解】对应的复数分别是，对应的复数为.故答案为：.【变式3】（2022·高一课时练习）设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来【答案】z1－z2＝1＋2i，作图见解析.【详解】解:z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i，，则即为z1－z2所对应的向量，如图所示，根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量,的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.题型03与复数的模的几何意义有关的应用【典例1】（2023·江西·统考模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，由得：，，整理可得：，，（当且仅当时取等号），的最小值为.故选：B.【典例2】（2023下·河北邢台·高一河北南宫中学校考阶段练习）已知是虚数单位，复数，，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，则，，由可得，解得，则，所以，，因此，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.【典例3】（2022下·上海黄浦·高二上海市向明中学校考阶段练习）若(是虚数单位),则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由复数的几何意义可知：表示的点在单位圆上，而|z−2−2i|表示该单位圆上的点到复数表示的点的距离，

由图象可知：的最小值应为点到的距离，而，圆的半径为1，故的最小值为，故选D．【变式1】（2022上·湖北武汉·高三校联考阶段练习）复数满足，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则，由题意可得：，解得，则.故选：D.【变式2】（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】表示的几何意义是复数对应的点到原点的距离小于等于1，表示的几何意义是复数对应的点与点连线段的长度，故的最大值为，故选：C.【变式3】（2023·高一课时练习）若复数z满足|z﹣2i|＝1（i为虚数单位），则|z|的最小值为.【答案】1【详解】设，∵，∴，∴，∴.则.当时取等号.故答案为：1.题型04根据复数的加、减运算结果求参数【典例1】（2022上·浙江·高三校联考开学考试）若，则的实部可能是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】A【详解】设，因为，所以，得，所以，所以，则的实部，故选：A【典例2】（2022·河北石家庄·石家庄一中校考模拟预测），若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，则，故，故，故.故选：.【变式1】（2022上·安徽·高三校联考阶段练习）已知复数z满足，则z的虚部是（

）A． B．1 C． D．i【答案】A【详解】设，因为，可得，则，可得，所以复数的虚部是.故选：A【变式2】（2022下·河南安阳·高一统考期末）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为．【答案】【详解】由题意可得，即，根据两个复数相等的充要条件可得，解得，故答案为：.题型05根据复数的加、减运算结果求复数的特征【典例1】（2023下·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中）为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】因为复数（其中）为“等部复数，可得，即，可得，则在复平面内对应的点为位于第一象限.故选：A.【典例2】（2023下·四川眉山·高一仁寿一中校考期中）复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.【典例3】（2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）设复数，满足，，复数在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形的面积为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【详解】设，，则，所以，，，，所以，即，所以，又，，在中，过作，垂足为，则为中点，即，所以，所以.故选：D.

【变式1】（2023下·湖南邵阳·高一统考期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】又，故故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选：【变式2】（2022下·上海浦东新·高一校考期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【详解】因为方程有两个虚根和，所以，则，又由求根公式知两虚根为，，所以，则，解得，满足要求，所以.故选：C.【变式3】（2022下·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为．【答案】【详解】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆，，，，即，复数以复平面内点为圆心，半径为1和的两圆构成的圆弧，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为：故答案为：.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023下·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知复数，且，其中a，b为实数，则（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【详解】因为，所以，由，得，即；故选：B.2．（2022下·广西钦州·高二统考期末）等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】.故选：D.3．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知复数为纯虚数，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【详解】因为为纯虚数，所以，解得.故选：D．4．（2023·贵州黔东南·统考一模）已知复数，，则的实部与虚部分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】应用复数加法求，根据实部、虚部定义得答案.【详解】因为，，所以，其实部与虚部分别为，.故选：A5．（2023·全国·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用特殊角的三角函数值，结合复数的运算即可得解.【详解】因为可化为，所以点的坐标为，则，所以，所以．故选：A．6．（2023上·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的运算可得，结合复数的几何意义分析判断.【详解】由题意可得：，所以该复数对应的点为，该点在第四象限.故选：D.7．（2023上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】由复数的几何意义可得，再根据题意计算复数的模即可.【详解】因为复数对应的向量，所以，所以.故选：.8．（2023上·江苏盐城·高三校联考阶段练习）已知复数满足，当的虚部取最小值时，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，利用复数的模长公式可得出，求出的取值范围，可得出的最小值，进而可得出的值，由此可得出复数的值.【详解】设，则，所以，，即，所以，，可得，解得，当的虚部取最小值时，即当时，则，解得，故，故选：A.二、多选题9．（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知，为复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或【答案】AC【分析】根据共轭复数的定义、复数模的运算公式，结合复数减法的运算法则逐一判断即可.【详解】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；B：取，，满足，但，故本选项错误；C：设，，，由，得，即，，所以，即，故本选项正确；D：取，，则，，此时且，故D不正确．故选：AC10．（2021下·山东济宁·高一统考期末）设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（

）A． B．是纯虚数C．若，则 D．若，则的最大值为2【答案】AD【分析】利用复数的运算法则判断A的正误；复数的解法判断复数是实数，判断B；利用复数的模的运算法则判断C；利用复数模的几何意义判断D．【详解】解：因为复数与其共轭复数为的实部相等，虚部互为相反数，所以，A正确；当为实数时，也为实数，则是实数，B错误；若，则，C错误；若，设，即，则表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D正确，故选：AD．三、填空题11．（2023上·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）复数，（a、），若它们的和为实数，差为纯虚数，则．【答案】【分析】应用复数的加减运算求、，根据实数、纯虚数定义求参数，进而求目标复数的模即可.【详解】由题设为实数，故，，故，所以.故答案为：12．（2023·河南开封·统考二模）已知复数满足，写出一个满足条件的复数．【答案】（答案不唯一，虚部为即可）【分析】设复数，代入复数的模的公式求解即可.【详解】设，（，），则，，∵，∴，∴，化简得，解得.∴满足条件的一个复数（答案不唯一，虚部为即可）.故答案为：（答案不唯一，虚部为即可