高中数学同步讲义（人教A版必修二）第29讲 8.4.1 平面（教师版）

第06讲8.4.1平面课程标准学习目标①了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系。②掌握关于平面基本性质的三个基本事实。③会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系。1.认识新的几何元素“平面”及其性质；2.让学生经历将自然语言转化为图形语言和符号语言的过程；3.让学生在直观感受的基础上形成三个基本事实和三个推论，初步体会欧几里得公理化体系；知识点01：平面的概念与画法（1）平面的概念几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.平面是绝对平的；平面是无限延展的，不可度量；平面没有厚度.（2）平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成,且横边长等于其邻边长的2倍.如图(1).②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图(2).（3）平面的表示平面通常用希腊字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面、平面等.知识点02：点、直线、平面之间的位置关系（是点，、是直线，、是平面）文字语言表达图形语言表达符号语言表达点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内直线在平面外平面,相交于知识点03：平面的基本性质（1）基本事实1①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；②图形语言：③应用：确定平面的依据；判断两个平面是否重合；证明点线共面.④说明：对于基本事实1中的“有且只有一个”，这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,本公理强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”.否则就没有表达存在性.确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词,也就是存在性和唯一性这两个方面的,这个术语今后学习中会经常出现.（2）基本事实2①如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；②符号语言和图形语言符号语言：，，且，③应用：判断直线或点是否在平面内的依据.④说明：基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”.如图,由基本事实胜于雄辩,给定不共线的三点,它们可以确定一个平面;连接,,,由基本事实2.这三条直线都在平面内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面内,所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面.组成“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”.（3）基本事实3①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线②符号语言和图形语言，且③应用：判断两平面是否相交及确定交线的依据；证明三点共线；证明三线共点；作两平面的交线.④说明：基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线.两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”.知识点04：基本事实1和基本事实2的三个推论（1）推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面（2）推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面（3）推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面【即学即练1】（2024·全国·高一假期作业）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确.在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误.直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误.所以正确的个数为个.故选：B题型01文字语言、符号语言、图形语言的相互转化【典例1】（2024·全国·高一假期作业）用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】由题意用符号表示“点A不在直线上，直线在平面内”，即，，故选：A【典例2】（2024·全国·高一假期作业）如图所示，点，线，面之间的数学符号语言关系为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【详解】由图可知：，故选：B【典例3】（2023下·高一课时练习）已知，为不重合的两个平面，A，B，M，N为空间中不同的四个点，a为直线，则下列推理正确的是.（填序号）①，，，；②，，，；③，.【答案】①②【详解】对于①，，，，，由基本事实：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，可知，故①正确；对于②，由，，可知，同理，，所以，故②正确；对于③，若，，则，由基本事实：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，可知是经过点A的一条直线而不是点A，故③不正确.故答案为：①②【变式1】（2024·全国·高二专题练习）如果A点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【详解】A点在直线上，而直线在平面内，点B在内，表示为：，，．故选：B.【变式2】（2023上·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）用集合符号表示下列语句：(1)点在直线上，点不在直线上；(2)平面与平面相交于过点的直线．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）点在直线上，点不在直线上可表示为：（2）平面与平面相交于过点的直线可表示为：题型02平面性质基本事实及推论的应用【典例1】（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（

）

A． B．9 C． D．【答案】A【详解】

如图，取AB的中点G，连接GE，，．因为E为BC的中点，所以，，又，，所以四边形为平行四边形，所以，，所以，，所以用过点，E，的平面截正方体，所得截面为梯形，其周长为．故选：A．【典例2】（2024·全国·高一假期作业）如图所示的正方体中，是棱上的一点，试说明、、三点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线.【答案】答案见解析【详解】解：延长、交于点，连接交于点，则平面与平面的交线为，证明如下：因为，平面，则平面，，平面，平面，又因为为平面和平面的公共点，则平面与平面的交线为.【变式1】（2024·全国·高二专题练习）设平面与平面相交于直线,直线，直线,,则M（用符号表示）．【答案】【详解】因为，直线，直线，所以，又平面与平面相交于直线，所以点在直线上，即.故答案为：.【变式2】（2024·全国·高一假期作业）如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．

【答案】画图见解析【详解】如图，由于P是上的点，所以平面，且平面，所以平面平面=，同理，平面平面=，平面平面=，所以平面与长方体表面的交线是，，.作法：连接，，，它们就是平面与长方体表面的交线（如图）．

题型03四点共面问题【典例1】（2024·全国·高一假期作业）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面；对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面；对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面．故选：B【典例2】（多选）（2023上·山西大同·高三大同一中校考阶段练习）已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（

）A．三点共线 B．四点共面C．四点共面 D．四点共面【答案】ABC【详解】

连接，，，因为为的中点，所以，平面平面，因为平面，平面，所以点是平面和平面的交点，所以，，，三点共线，故A正确；因为，，三点共线，所以，，，四点共面，，，，四点共面，故BC正确；取中点，连接交于点，由题意得，，所以，即为的三等分点，因为，，不共线，平面，平面，为的中点，所以点平面，，，，四点不共面，故D错.故选：ABC.【变式1】（2024·全国·高一假期作业）如图，在长方体中，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（

）A．、、、四点共面，且与平行B．、、、四点共面，且与相交C．、、、四点共面，且与平行D．、、、四点不共面【答案】C【详解】连接，因为为正方形的中心，则为的中点，因为，为的中点，故、、、四点共面，且与相交，连接、，因为、分别为、的中点，则，故选：C.【变式2】（2024·全国·高一假期作业）在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且.求证：E、F、G、H四点共面；【答案】证明见解析【详解】连接，因为H、G分别是AD、CD的中点，所以，又，所以，所以，所以E、F、G、H四点共面.【变式3】（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在空间四面体中，分别是，的中点，分别是，上的点，且.求证：（1）四点共面；【详解】（1）连接，，分别是的中点，.又，，，四点共面.题型04三点共线问题【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上．【答案】证明见解析【详解】由，可知点，且平面ABC，可知点平面ABC，又，所以点P在平面ABC与平面的交线上，同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上，所以P，Q，R三点共线．【典例2】（2024·全国·高一假期作业）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且．设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．【答案】证明见解析【详解】因为，所以．由已知可得，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以平面ABC．同理，平面ADC，平面ADC．所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点．又平面平面，所以，所以P，A，C三点共线．【变式1】（2024·全国·高一假期作业）在正方体中，棱长，M，N，P分别是，，的中点．(1)直线交PN于点E，直线交平面MNP于点F，求证：M，E，F三点共线．(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：，，，则平面，平面MPN又，平面，又平面PMN，平面平面，平面，平面PMN，平面，点F在直线ME上，则M，E，F三点共线．（2）解：，又，【变式2】（2024·全国·高二专题练习）已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.【答案】证明见解析【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线.法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线.题型05三线共点问题【典例1】（2024·全国·高三专题练习）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．

(1)求证：直线、、交于一点；(2)若，求多面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）连接、，因为、分别为、的中点，所以且．因为是直四棱柱，且底面是正方形，所以，且，即四边形是平行四边形，所以且，所以，且，所以四边形为梯形，所以与交于一点，记为，即，且平面，平面，所以平面，平面，又因为平面平面，则直线，所以直线、、交于一点.（2）连接，由题意可得：.

【典例2】（2024·全国·高一假期作业）如图，在正四棱台中，．(1)求正四棱台的体积；(2)若分别为棱的中点，证明：相交于一点．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）连接，取分别为和的中点，因为为正四棱台，所以，且为的高，因为，所以，所以正四棱台的体积为；（2）因为分别为棱的中点，所以，，所以，所以为梯形，则与必相交，设，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面，又平面平面，所以，所以交于一点.【变式1】（2024·全国·高二专题练习）如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．【答案】证明见解析【详解】证明连接GE，HF.因为E，G分别为BC，AB中点，所以.因为DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3，所以.从而GE∥HF且，故G，E，F，H四点共面且四边形为梯形，因为EF与GH不能平行，设EF∩GH＝O，则O∈平面ABD，O∈平面BCD.而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF，GH，BD交于一点．【变式2】（2024·全国·高二专题练习）如图，不共面的四边形ABB'A'，BCC'B'，CAA'C'都是梯形．求证：三条直线AA'，BB'，CC'相交于一点．【答案】证明见解析【详解】因为在梯形ABB'A'中，A'B'∥AB，所以AA'，BB'在同一平面A'B内．设直线AA'，BB'相交于点P，如图所示．同理BB'，CC'同在平面BC'内，CC'，AA'同在平面A'C内．因为P∈AA'，AA'⊂平面A'C，所以P∈平面A'C．同理点P∈平面BC'，所以点P在平面A'C与平面BC'的交线上，而平面A'C∩平面BC'=CC'，故点P∈直线CC'，即三条直线AA'，BB'，CC'相交于一点．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024·全国·高二专题练习）三个平面不可能将空间分成（

）个部分A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】分三个平面互相平行，三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，三个平面交于一条直线，三个平面两两相交且三条交线平行，三个平面两两相交且三条交线交于一点，五种情况讨论即可.【详解】若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分；若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分；若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分故n的取值为4，6，7，8，所以n不可能是5.故选：A.2．（2024·全国·高二专题练习）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（）A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面【答案】D【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可.【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误；平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误；直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误；两直线异面满足作图规范.故选：D3．（2024·全国·高一假期作业）下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】按照画法原则进行判断即可.【详解】对于A，图中没有画出平面与平面的交线，故A不正确；对B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故B，C不正确；对D，符合画法原则，故D正确，故选：D4．（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）若点A在平面内，直线l在平面内，点A不在直线l上，下列用集合表示这些语句的描述中，正确的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【分析】根据点线面的关系结合元素和集合、集合与集合的关系直接写出即可.【详解】因为直线和平面都是由点形成的，所以根据元素与集合的关系知，点A在平面内表示为，点A不在直线l上表示为，根据集合与集合的关系知，直线l在平面内可表示为.故选：B5．（2023·全国·高一专题练习）下面表述与结论都正确的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根据点在线上，；线在平面内，；点在平面内，，和公理1依次判断可得答案．【详解】解：对，，，所以直线在平面内，即，故错误；对，直线在平面内，应为，故错误；对，，，，故正确；对，，，有可能，故错误．故选：．6．（2023·全国·高一专题练习）下列命题是真命题的是（

）A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合B．若四点不共面，则其中任意三点不共线C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分【答案】B【分析】A.这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；B.该选项正确；C.空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，所以该选项错误；D.三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误.【详解】A.如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；B.若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确；C.空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥,相交于同一点的三条直线不在同一平面内，所以该选项错误；D.三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误.故选：B二、多选题7．（2023下·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考期中）下列说法正确的是（

）A．棱柱的侧面一定是矩形B．三个平面至多将空间分为3个部分C．圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥【答案】CD【分析】利用斜棱柱的侧面可判断A选项；取三个两两相互垂直的平面可判断B选项；利用圆台的形成可判断C选项；利用五棱锥的结构特征可判断D选项.【详解】对于A选项，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错；对于B选项，若三个平面两两垂直，则这三个平面可将空间分为个部分，B错；对于C选项，圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成，C对；对于D选项，一个五边形可分为三个三角形，所以，任意五棱锥都可以分成个三棱锥，D对.故选：CD.8．（2023下·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）下面四个命题中，正确的为（

）A．相交于同一点的三条直线在同一平面内．B．在平面外，其三边延长线分别和交于P，Q，R，则P，Q，R一定共线C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等D．在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分．【答案】BD【分析】举例说明判断A；利用平面基本事实判断B；利用等角定理判断C；求出三个平面分空间所成部分数的最大值判断D作答.【详解】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，A错误；对于B，所在平面与平面相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，B正确；对于C，一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等或互补，C错误；对于D，当三个平面互相平行时，三个平面分空间成4部分；当两个平面平行，与第三个都相交或三个平面相交于一条直线时，三个平面分空间成6部分；当三个平面两两相交，有3条交线，且3条交线平行时，三个平面分空间成7部分；当三个平面两两相交，有3条交线，且3条交线交于一点时，三个平面分空间成8部分，所以三个平面最多把空间分成8部分，D正确.故选：BD三、填空题9．（2023·全国·高三对口高考）一个平面把空间分为部分；两个平面把空间分为部分；三个平面把空间分为部分．【答案】或或或或【分析】根据空间中平面与平面的位置关系判断即可；【详解】一个平面把空间分为部分；两个平行平面将空间分成部分，两个相交平面可以将空间分成部分，故两个平面将空间分成或部分；当三个平面互相平行时，将空间分成部分，如图1所示；当有两个平面平行，第三个平面与这两个面都相交，此时将空间分成部分，如图2所示；当三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成部分，如图3所示；当三个平面两两相交，且三条直线互相平行时，将空间分成部分，如图4所示；当两个平面竖着相交，第三个平面与这两个平面相交，即三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，此时可将空间分成部分，如图5所示；综上可得三个平面把空间分为或或或部分.

故答案为：；或；或或或10．（2023上·高二课时练习）空间不共线的四点，可能确定个平面．【答案】或【详解】空间四点中，任意三点都不共线时，可确定个平面，当四点共面时，可确定个平面，故空间不共线四点，可确定个或个平面．四、解答题11．（2023下·黑龙江大庆·高一校考期中）（1）直线和两条异面直线都相交，画出每两条相交直线所确定的平面，并标上字母；（2）如图，已知是空间四点，且点在同一直线上，点不在直线上．求证：直线在同一平面内．

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据题意直接画图即可，（2）根据平面基本性质结合题意证明即可.【详解】（1）解：根据题意，画出的图形如图所示：

直线和直线所确定的平面为，直线直线所确定的平面为．（2）证明：因为点在同一直线上，点不在直线上，所以点确定唯一的一个平面，设为，所以，因为，所以，所以，所以，即直线在同一平面内．

12．（2023下·高一单元测试）如图，P是所在平面外一点，分别是和的中点，试过点做平行于的平面，要求：

(1)画出平面分别与平面，平面，平面的交线；(2)试对你的画法给出证明．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析分析】（1）分别过点作交于E，过M点作交于F，连结，即为平面与平面，平面，平面的交线．（2）首先证明直线与共面，然后证明平面即为所求的平面．【详解】（1）

过点作交于E，过M点作交于F，连结，则平面为平行于的平面，分别是平面与平面，平面，平面的交线．（2），．直线与共面，分别是平面与平面，平面，平面的交线．平面，平面，平面．∴平面为所求的平面．B能力提升1．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（

）

A． B．9 C． D．【答案】A【分析】作出正方体的截面图形，求出周长即可.【详解】

如图，取AB的中点G，连接GE，，．因为E为BC的中点，所以，，又，，所以四边形为平行四边形，所以，，所以，，所以用过点，E，的平面截正方体，所得截面为梯形，其周长为．故选：A．2．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解.【详解】如图所示，过点作于点，因为，所以，则四棱台的高为，则四棱台的体积为，解得，所以侧棱长为.如图所示：过于点，于点，连接，由对称性可知，所以，而，所以，所以，同理，分别在棱上取点，使得，易得，所以截面多边形的周长为.故选：D.3．（多选）（2024·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，，，N为线段AQ的中点，则（

）

A．CN与QM共面B．三棱锥的体积跟的取