【数学】简单几何体的表面积与体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积1.阅读课本，了解多面体的表面积的概念：棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念【解析】

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．思考1►►►棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？【解析】

棱柱的侧面展开图是几个平行四边形，棱锥的侧面展开图是几个三角形，棱台的侧面展开图是几个梯形．它们的表面积是上、下底面面积与侧面展开图的面积的和．例1如图，四面体P－ABC的各棱长均为a，求它的表面积．棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算【解析】

因为△PBC是正三角形，其边长为a，如图，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6m，底面外接圆的半径是0.46m，则制造这个滚筒需要________m2铁板．(精确到0.1m2)跟踪训练【答案】

5.62.了解棱柱、棱锥、棱台的体积(1)我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是V正方体＝a3(a是正方体的棱长)，V长方体＝abc(a，b，c分别是长方体的长、宽、高)．一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh.棱柱、棱锥、棱台体积的概念(3)由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．注意：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离．棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离．思考2►►►例2如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01m3)?棱柱、棱锥、棱台体积的计算1.常见的求几何体体积的方法：①公式法：直接代入公式求解；②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．2.求几何体体积时需注意的问题：柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1

的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1

的体积为________.跟踪训练思考3►►►圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？圆柱、圆锥、圆台的表面积【解析】

S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)．思考4►►►圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？【解析】

S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)．思考5►►►圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？【解析】

S圆台侧＝

，S圆台表＝

．名称图形表面积公式旋转体圆柱S圆柱＝2πr(r＋l)圆锥S圆锥＝πr(r＋l)名称图形表面积公式旋转体圆台S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)思考6►►►圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？例3若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.【解析】

如图，因为圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，所以OB＝2cm，PB＝4cm，所以圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π(cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π(cm2)．【答案】

8π

12π圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(

)A.81π

B.100π C.168π D.169π【答案】

C跟踪训练1.圆柱、圆锥、圆台的体积我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式圆柱、圆锥、圆台的体积思考7►►►圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)；当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式．V圆柱＝π×52×10≈785(mm3)，所以V螺帽＝3741－785＝2956(mm3)＝2.956(cm3)，故这堆毛坯约有260个．例4有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重6kg.已

知毛坯底面正六边形的边长是12mm，高是10mm，内

孔直径是10mm.那么这堆毛坯约有多少个？(铁的密度

是7.8g/cm3)用一张长

12cm，宽

8cm的矩形纸片围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．【解析】

设圆柱的底面半径为R.当圆柱的高为8cm时，则2πR＝12，跟踪训练2.球的表面积公式：S＝4πR2(R为球的半径)．例5如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球

的直径是0.3m，圆柱高0.6m，如果在浮标表面涂一层防水漆，每

平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多

少涂料？(π取3.14)球的表面积和体积【解析】

一个浮标的表面积为2π×0.15×0.6＋4π×0.152＝0.8478(m2)，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478×0.5×1000＝423.9(kg)．思考8►►►在小学，我们学习了圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积吗？【解析】

类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积．如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．3.球体截面的特点：球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．例6如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比．【解析】

设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.利用球的表面积与体积公式去计算．平面α截球O的球面