辽宁省普通高中学生学业水平考试数学样卷【含解析】

第第1页辽宁省普通高中学生学业水平考试数学样卷若集合A={x∈N|1≤x≤5}，则（）A．5∉A B．5⊆A C．5⊊A D．5∈A将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（）A． B． C． D．3．的值为（）A． B． C． D．4．已知函数的定义域为M，g（x）=ex﹣2的值域为N，则M∩N=（）A．[2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣2，2） D．∅5．函数y=2cosx（x∈R）是（）A．周期为2π的奇函数 B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数6．已知直线l过点（0，﹣1），且与直线y=﹣x+2垂直，则直线l的方程为（）A．y=x﹣1 B．y=x+1 C．y=﹣x﹣1 D．y=﹣x+17．已知向量，，若∥，则x=（）A．3 B． C．﹣3 D．8．已知函数，则f（x）（）A．在（﹣2，+∞）上是增函数 B．在（﹣2，+∞）上是减函数C．在（2，+∞）上是增函数 D．在（2，+∞）上是减函数9．已知实数x、y满足约束条件，则z=y﹣x的最大值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣210．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为（）A． B． C． D．11．执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A．8 B．5 C．3 D．212．已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13．三个数的大小关系为．14．给出下列四个命题①平行于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任何直线都平行；④如果一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直．其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．15．已知直线l：y=x+1和圆C：，则直线l与圆C的位置关系为．16．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是．三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．18．（10分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC．（I）求证：AD⊥平面SBC；（II）试在SB上找一点E，使得BC∥平面ADE，并证明你的结论．19．（10分）商场销售某种商品，若销售量是商品标价的一次函数，标价越高，销售量越少．把销售量为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为15元/件．如果该商品的成本价是5元/件，商场以高于成本价的标价出售，且能够全部售完．（I）商场要获得最大利润，该商品的标价应定为每件多少元？（II）记商场的销售利润与标价之比为价格效益，则标价为何值时，价格效益最大？20．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．21．（12分）已知数列{an}中的相邻两项a2k﹣1、a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k=1，2，3，…）．（I）求a1，a3，a5，a7及a2n（n≥4）（不必证明）；（Ⅱ）求数列{an}的前2n项和S2n．

2012年辽宁省普通高中学生学业水平考试数学样卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）（2012•辽宁模拟）若集合A={x∈N|1≤x≤5}，则（）A．5∉A B．5⊆A C．5⊊A D．5∈A【解答】解：由题意可知5是集合的元素，所以5∈A．故选D．2．（3分）（2015•醴陵市）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“正面向上的点数为6”的情况只有一种，故所求概率为故选D．3．（3分）（2012•辽宁模拟）的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵=sin=﹣sin=﹣故选A4．（3分）（2012•辽宁模拟）已知函数的定义域为M，g（x）=ex﹣2的值域为N，则M∩N=（）A．[2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣2，2） D．∅【解答】解：∵分式的分母不为零，且二次根号的被开方数必须大于或等于零，∴函数的定义域为M，满足：，解之得，M=（﹣∞，2），∵指数函数y=ex的值域为（0，+∞），∴g（x）=ex﹣2的值域为（﹣2，+∞），即N=（﹣2，+∞），再计算交集，得M∩N=（﹣∞，2）∩（﹣2，+∞）=（﹣2，2）．故选C5．（3分）（2012•辽宁模拟）函数y=2cosx（x∈R）是（）A．周期为2π的奇函数 B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数【解答】解：由余弦函数y=cosx（x∈R）的性质可得，函数y=cosx（x∈R）是周期等于2的偶函数，故函数y=2cosx（x∈R）也是周期等于2的偶函数，故选B．6．（3分）（2012•辽宁模拟）已知直线l过点（0，﹣1），且与直线y=﹣x+2垂直，则直线l的方程为（）A．y=x﹣1 B．y=x+1 C．y=﹣x﹣1 D．y=﹣x+1【解答】解：设与直线y=﹣x+2垂直的直线方程为x﹣y+m=0，把点（0，﹣1）代入可得0﹣（﹣1）+m=0，∴m=﹣1，故所求的直线的方程为x﹣y﹣1=0，故选A．7．（3分）（2012•辽宁模拟）已知向量，，若∥，则x=（）A．3 B． C．﹣3 D．【解答】解：∵向量，，若∥，则4x+3=0，∴x=，故选D．8．（3分）（2012•辽宁模拟）已知函数，则f（x）（）A．在（﹣2，+∞）上是增函数 B．在（﹣2，+∞）上是减函数C．在（2，+∞）上是增函数 D．在（2，+∞）上是减函数【解答】解：∵函数，类比y═的单调性，我们知道，∴当x﹣2＞0时即x＞2，f（x）=为减函数；当x﹣2＜0时即x＜2，f（x）=为减函数；故选D．9．（3分）（2014•芦淞区校级学业考试）已知实数x、y满足约束条件，则z=y﹣x的最大值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：画出不等式表示的平面区域将目标函数z=y﹣x变形为y=x+z，z为直线的纵截距，作直线y=x将其平移至点A直线的纵截距最大，z最大∴z的最大值为1故选A．10．（3分）（2012•元宝山区校级二模）从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为（）A． B． C． D．【解答】解：每次取出次品的概率为，则取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为=，故选B．11．（3分）（2011•辽宁）执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是（）A．8 B．5 C．3 D．2【解答】解：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3故选：C12．（3分）（2010•新课标）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13．（3分）（2012•辽宁模拟）三个数的大小关系为c＜b＜a．【解答】解：∵a=＞30=1，0＜b==＜1，c=＜log31=0，∴c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．14．（3分）（2012•辽宁模拟）给出下列四个命题①平行于同一平面的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任何直线都平行；④如果一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直．其中正确命题的序号是②④（写出所有正确命题的序号）．【解答】解：∵平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，①错误；垂直于同一平面的两条直线平行；正确，即②正确；如果一条直线和一个平面平行，它不可能与这个平面内的任何直线都平行，③错误；由线面垂直的定义可知④正确．综上所述，正确命题的序号是②④．故答案为：②④．15．（3分）（2012•辽宁模拟）已知直线l：y=x+1和圆C：，则直线l与圆C的位置关系为相切．【解答】解：圆C：的圆心坐标为（0，0），半径为∵圆心到直线的距离为=∴圆心到直线的距离等于半径∴直线l与圆C相切故答案为：相切16．（3分）（2011•辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是2．【解答】解：设正三棱柱的侧棱长为：a，由题意可知，，所以a=2，底面三角形的高为：，所以左视图矩形的面积为：2×=2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）（2011•辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA∴sinB=sinA，=（Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2，可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°18．（10分）（2012•辽宁模拟）如图，在三棱锥S﹣ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC．（I）求证：AD⊥平面SBC；（II）试在SB上找一点E，使得BC∥平面ADE，并证明你的结论．【解答】解：（I）证明：∵BC⊥平面SAC，AD⊂平面SAC，∴BC⊥AD，又∵AD⊥SC，BC∩SC=C，BC⊂平面SBC，SC⊂平面SBC，∴AD⊥平面SBC．…（5分）（II）过D作DE∥BC，交SB于E，E点即为所求．∵BC∥DE，BC⊄面ADE，DE⊂平面ADE，∴BC∥平面ADE．…（10分）19．（10分）（2012•辽宁模拟）商场销售某种商品，若销售量是商品标价的一次函数，标价越高，销售量越少．把销售量为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为15元/件．如果该商品的成本价是5元/件，商场以高于成本价的标价出售，且能够全部售完．（I）商场要获得最大利润，该商品的标价应定为每件多少元？（II）记商场的销售利润与标价之比为价格效益，则标价为何值时，价格效益最大？【解答】解：（I）设销售量为n，商品的标价为每件x元，利润为y元．则n=kx+b（k＜0）∵0=15k+b，b=﹣15k，∴n=k（x﹣15），y=（x﹣5）k（x﹣15）=k（x﹣10）2﹣25k，x∈（5，15]．…（4分）∵k＜0∴x=10时，ymax=﹣25k．即商场要获取最大利润商品的标价应为每件10元．…（6分）（II）记y1为价格效益，则=当且仅当即时，y最大∴标价为每件元时，价格效益最大…（10分）20．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．【解答】解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，化简整理可得，x2﹣y2=2．=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．21．（12分）（2007•浙江）已知数列{an}中的相邻两项a2k﹣1、a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k﹣1≤a2k（k=1，2，3，…）．（I）求a1