数列综合大题归类（解析版）

11①分母分解因式：==-;对应.(1)=-;(2)=n+k-n；=2=2(3)=-;(4)=-；11n=-，证明：b1+b2+b3+⋯+bn<.n=2n-1(2)证明见解析 n[1+1+(n-1)d]222n[1+1+(2n-1)d]2 2-d+nd4-2d+4nd公式求解即可；n=-=-，然后累加求和即可得证.=a1++a4所以an=1+2(n-1)=2n-1经检验：==成立n=2n-1所以bn=-==+-+=-,所以b1+b2+b3+⋯+bn=[1-+-+-+⋯+-+-+ -]=1+--=--<.221=23=b3,S3=b5.n=2n,Sn=2n+1-2(2)证明见解析33所以an=2n，所以Sn==2n+1-2；n=2+3(n-1(=3n-1，所以===-,所以Tn=b1+b2+⋯+bn=×（1-+-+⋯+-=×1-2，因为1-2<1 n+1=an+2an+1.n=的前n项和Sn，求满足Sn<的正整数n的集合.|1≤n≤8{n+1=an+2an+1，有an+1=(an+1(2，n+12=(an+1(2，因为数列{an{是正项数列，所以an+1=an+1，即ann=a1+n-1=n，故数列{an{的通项公式为an=n2；n===-.所以Sn=1-+-+⋅⋅⋅+-=1-，故不等式Sn<可化为1-<，解得0<n<9，所以满足Sn<的正整数n的集合为{n∈N*|1≤n≤8{.n+r+t=λ[(hqn+b(-(hqn+1+b([，则可以分子裂差：(hqn1+b(=hq+b-hqn1+b(n为数列{an{的前n项和，已知a1=2，an+1=Sn+n.n=-1,n=-，利用裂项相消法可证得结论成立.=2，an+1=Sn+n，Sn为数列{an{的前n项和，当n=1时，a2=S1+1=2+1=3，当n≥2时，由an+1=Sn+n①,可得an=Sn-1+n-1②,①-②可得an+1-an=an+1，即an+1=2an+1，所以，an+1+1=2(an+1(，即当n≥2时，an+1=(a2+1(⋅2n-2=4×2n-2=2n，则an=2n-1，-1,.n=an+2=(2n+1-n+2-1(=2n+-1-2n+-1，则Tn=b1+b2+⋯+bn=-+-+-+⋯+-=-<.综上，对任意的n∈N∗,Tn<.2n+1bn是anan+12 n nn=,{an{的前n项和为Sn，求证：Sn<3.nn+1=2an+1bn-anan+1，两边同时除以anan+1，得cn+1-1=2(cn-1)即可证明；n+1bn是anan+1和anbn+1的等差中项，n+1bn=anan+1+anbn+1，即anbn+1=2an+1bn-anan+1，4455n+1=2cn-1，则cn+1-1=2(cn-1)，由c1-1=-1=1≠0，则Sn=6-+-+⋯+-+-=6-=3-，因为n∈N∗,则>0，故Sn<3. -2n∈N*.n-1{为等比数列；n=，求数列{bn{的前n项和Sn.n=-{an-1{为等比数列；n+1=3an-2n∈N*得an+1-1=3an-1n∈N*，又a1-1=3n-1=3×3n-1=3n，所以an=3n+1所以bn==×-,Sn=b1+b2+b3+⋯+bn=×-+-+⋯+-=×-=-.fn=λan+1-an，则可以分子裂差：-1n+1=-1n⋅λ+n=-1n⋅λn-a+1(661n为数列{an{的前n项和，an>0，a+2an+1=4Sn.1n=2n-1(2)Tn=-1+(-1)nn+1=4Sn①,当n≥2时，a-1+2an-1+1=4Sn-1②①-②得：a+2an-a-1-2an-1=4an，即(an+an-1((an-an-1-2(=0.又an>0，所以an+an-1≠0，an-所以an=2n-1.n=(-1)n=(-1)n=(-1)n+.Tn=-1+++-++⋯+(-1)n+=-1+(-1)n. nan.2n+2 nan.2n+2n=(2)Sn=-+(-1(n⋅1= 2(n+1((n+2(=a1=(n+1(n+2(,an+1=a 2(n+1((n+2(= 2n(n+1( 2n(n+1(n=(-1(n(2n+1(an=(-1(n=(-1(n+⋅，Sn=b1+b2+b3+b4+b5+⋯+bn==-1+(-1(n⋅=-+(-1(n⋅.33bn{的前2n项和S2n. TTn-1 TTn-1=an,(n≥2)，因为=1-，所以=1-,(n≥2)，即Tn-1=Tn-4(n≥2)，即T=5，所以bn=-1n⋅=-1n⋅=-1n⋅+,所以S2n=-+++-++⋯-+++=-+=-.形如-1n⋅hqn1+b型，如果mqn+r+t=λ[hqn+b+hqn+1+b[，则可以分子裂和：-1n⋅ hqn1+b=-1n⋅λ[b[=-1n⋅λhq+b+hqn1+b(11n}的前n∗n}的前n∗取值范围.n=2n-1或an=25-n(2)m≥-7788∗n}公比为q，，n=2n-1或an=25-n.n}为递增数列时，an=2n-1所以bn=(-1)n=(-1)n+当n为偶数时，Tn=-++++⋯++-,-，当n为奇数时，Tn=-++++⋯-+2n=2an-1+1(n≥2(.2n+1{是等比数列，并求{an{的通项公式；n=，求{bn{的前n项和Sn.n=2n-1(2)Sn=-n=2an-1+1(n≥2)，所以an+1=2an-1+2=2(an-1+1)，n+1+1=2n+1，所以bn=.又bn=(-1)n+，所以Sn=-+++-++⋯+(-1(n+= -23n+1=3an-4.3n{的通项公式；n+2(2)-,+∞(n=(-1)n+，再分n为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可.n+2.n+2，所以bn===(-1)n+.Tn=--+++L+（-++=-+n+1+1n+1+1，因为Tn=-+是单调递减的，所以-<Tn≤-.Tn=--+++⋯+++-=--=--n+1+1，又Tn=--是单调递增的，因为>0，所以-≤Tn<-.n- n{的通项公式；∗9求得数列{an{的通项公式；n=2n⋅3n-1 .4n=2n⋅3n-1，n=2n⋅3n-1n=-=-,所以数列{bn所以数列{bn{的前n项和为Sn= 2=-=-=-，n>0，可得-<，即Sn<.n=，求数列{bn{的前n项和Sn.n=(2)Sn=-n=-+，利用裂项相消法可求得Sn.由等比数列的性质可得c1cn=c2cn-1=⋯=cnc1=1×3=3，cn-1(=3n+2，易知Tn>0，所以，Tn=3n=log3Tn=log33=.n== n-1anan+1= n-1 (n+2((n+3(4===-n+1[2(n+2(-(n+3([===-(n+2((n+3((n+2((n+3(n+2+ n+2n+3n=-++-++⋯+（-+=-.3=2,an+1=2n+1an(n∈N*(.3n(n+1(所以an=an-1⋅--⋯⋯⋅a1=2n⋅2n-1⋯⋯22⋅2=2n(n2+1((n≥2(，n(n+1(n=22；n=log2a-n2=n，所以==-，所以Sn=-+-+-+⋯+,所以Sn=-，显然Sn在N*上为增函数，S1=-=,∴Sn≥S1=，又Sn=-<=，所以≤Sn<；综上，an=2.n+1-an=α,tanα=m(特殊角)，则tanα=tan(an+1-an(=1tn=m，bn=tanan+1tanan=(tanan+1-tanan(-1； 1n=log2qn.1n=tantan，求数列的等差数列.-=(2)-99 (2)根据两角差的正切公式整理得bn=-tan-tan-1，结合裂项相消法运算求解.所以an=log22=，可得=，则-=-=，的等差数列.，则tan=tan-=-1+=-3，整理得bn=tantan=-tan-tan-1，则S100=b1+b2+⋅⋅⋅+b100=-tan-tan-1+-tan-tan-1+⋅⋅⋅+- =-tan-tan+（tan-tan+⋅⋅⋅+tan-tan-100 =-33-100=-99，所以数列{bn{的前100项和S100=-99. 2*，抛物线y=-x2+n与x轴正半轴相交于点A，在点A处的2切线在y轴上的截距为an∗.∗,抛物线与x轴正半轴的交点坐标为(n,0)，由y=-x2+n求导得：y'=-2x，所以an=2n.n==+cosnπ,当n为偶数时，Sn=-（1+++-+++-⋯-++ +=-1+=-，当n为奇数时，Sn=Sn+1-bn+1=-1+2n3-（2n1+2n3（=-1-2n1=-，-,n=2k,3n是数列{an{的前n项和，2Sn=(n+1(an．且a1=13n{的通项公式；bn{满足bn=，求{bn{的前n项的和Tnn=n；(2)tann.n=Sn-Sn-1,n≥2变形，构造数列求解作答.*n=(n+1(an，当n≥2时，2Sn-1=nan-1，n=(n+1)an-nan-1，即(n-1)an=nan-1，变形得=，n=n，所以数列{an{的通项公式是an=n.n=n，所以Tn=(tan1-tan0)+(tan2-tan1)+(tan3-tan2)+⋅⋅⋅+[tann-tan(n-1)]=tann-tan0=tann.已知分式一次型数列递推关系an+1=求通项的问题解法：n+1+x=+x=(C+x+Bx，可由=解得x的值，即可得到构造方向bn+1=，通过这样的转化将问题又化归为D=0的情形再求解.1=x21n+1=,n∈N∗.1 an+1|>.n∗n an+1|=0,an+1=,n∈N∗,可得an+1+1=，则==2+，故-=2，==1n=-1=，n∗),1 >0，1 >0，n∗)an+1|项公式.项公式.55 72461=2> 2n+11故S>.1故S>.2n}中，a1=42n=n+1+x=+x=，令=，解得x1=-1,x2=2，即在等式两边nn即可.n+1=两边减去1得，an+1-1=-1=，两边同加得，+=+⋅= ++5=所以+=⋅n-1，故an-1=，解得an=.法二：因为an+1=，-1=2an-2an+4-1=2an-2an+4+2=5an+10an+4+2=5an+10an+4an+1-12(an-1(an+1-12(an-1(=1=n+2)an+1+2a1+2a1-1n-1=5 a1-1n-1=5 =a1+2.33n=【详解】依定理作特征方程x=,变形得2x2+2x-4=0,其根为λ1=1,λ2=-2.n=-n-1,n∈N.n==,n∈N.即an=,n∈N.n+2=b1+(n+2-1)dn⇔dn=n+2=b1∙qn+2-1)⇔qn+2-1)=b2⇔lnb2=lnqn+2-1)=(n+2-1)lnqn n{，{bn{的通项公式；(2)若数列{cn{满足cn=n{中的项按原有顺序依次插入到数列{bn{中，=2=2a1+8d=10，n=1+(n-1(×1=n，又因为ab=a2=2，所以ab=bn=2×2n-1=2n.所以T20=(b1+a1+(a2-2((+(b2+a3+(a4-2((+(b3+a5+(a6-2((+⋅⋅⋅+(b6+a11+(a12-2((+(b7+a13(=+-12=333.22(1)已知数列{xn{,{yn=n=1n≥23⋯⋅bm3⋯⋅bm4,⋯⋯,求数列{cn{中前50项的和T50.+1-x=1(常数)，因为y-y=32-12=8,y-y=92-32=72,y-y≠y-y，所以数列{yn{不是等方差数列.+1-a=2,a=1,a=1+(n-1(⋅2=2n-1，9⋯⋅log(2m-1((2m+1(lg5lg5lg3⋯⋅lg(2m-1(+1(含yk+1)前共有：(1+2+3+⋯+k(+(k+1(=即T50=+41k与ak+1之间插入bkn=2n(n*=S1=21+1-2=4-2=2，a2=S2=-S1=22+1-2-2=8-4=4，则公比q===2，则an=2⋅2n-1=2n=6-t,n=2时，得b2=6-t；n=3时，得b3=，则由b1+b3=2b22-(t+3bn(n+2bn=0得bn=2n.n+1-bn=2，知此时数列{bn{为等差数列.②由题意知，c1=a1=2,c2=c3=2,c4=a2=4,c5=c6=c7=c8=2,c9=a3=8,⋯当m=2时，T2=c1+c2=4=2c3，所以m=2成立；m+1必是数列{an{中的某一项ak+1，则：Tm=a1+一2+一3+一4+⋯+ak+一2+…⋯=(2+22+23+⋯+2k(+2(b1+b2+b3+⋯+bk(=2(2k-1(+2×=2k+1+2k2+2k-2又2cm+1=2ak+1=2×2k+1，所以2k+1+2k2+2k-2=2×2k+1，k-k2-k+1=0，所以2k+1=k2+k=k(k+1(k+1(k∈N*(为奇数，而k2+k=k(k+1(为偶数，所以上式无解.即当m≥3时，Tm≠2cm+113=2a3+2.1n{和{bn{的通项公式；(2)数列{cn{满足cn=k.n=n，bn=2n；(2)S2=22n-1-3⋅2n-1+n+2.1=23=2a3+2，则an=1+n-1=n，bn=2n，n∈N*；2=c1+c2+⋯+c2=(a1+a2+a3+⋯+a2(-(a2+a2+⋯+a2(+n=(1+2+3+⋯+2n(-(2+22+⋯+2n(+n=(1+2n(2n-+n=2n-1(1+2n(-2n+1+2+n=22n-1-3⋅2n-1+n+2.22n+1+Sn+1=2(n∈N*(.n+1=Sn+1-Sn，∴由已知得n(Sn+1-Sn(+Sn+1=2(n∈N*(，即(n+1(Sn+1-nSn=2(n∈N*(.1=a1=1，n=1+(n-1(⋅2=2n-1，∴Sn==2-.n=S2=2-.∴Tn=2n-+++⋅⋅⋅+=2n-=2n-1+.它们之间的对应关系进行灵活的处理．数列与函数的综合于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．1n的前n项和Sn，已知a2=a1+4，2Sn=nan+n+1n-Sn-1=an，(n≥2(和累加法求an，然后根据等差数列求和公式求k；n=nan+n+k得2Sn-1=(n-1(an-1+n-1+k，(n≥2(，两式相减的2an=nan+1-(n-1(an-1，整理得(n-1(an-1=(n-2(an+1，2=a1+4=5，当n≥3时，-==--(,-=--,⋯,-=-（1-(,相加得-=-（1-+-+⋯+-=-，所以an=4n-3，n≥3，当n=1，2时符合an=4n-3，所以an=4n-3，则Sn==2n2-n，Sn===2n2-n+，(2)由(1)得==>=-，所以Tn≥+-+-+⋯+-=-，因为<=-，n≥2，所以Tn≤+-+-+⋯+-=-<，综上可得，-≤Tn<.n为数列{an{的前n项和.已知an>0，a+2an=4Sn+3.n{的通项公式；n=，求数列{bn{的前n项和为Tn，证明≤Tn<.n=2n+1(2)证明见解析；nn关系可判断出数列{an{为等差数列，求出首项和公差即可得{an{的通项公式.(2)利用裂项相消法求出数列{bn{的前n项和为Tn，然后再利用单调性证明≤Tn<即可.n=4Sn+3可得a-1+2an-1=4Sn-1+3，两式做差得a-a-1+2an-an-1=4an，即an-an-1an+an-1=2an+an-1，n>0，所以an-an-1=2,n≥2，n=1时，a+2a1=4a1+3⇒a1=3或a1=-1(舍去)所以an=3+n-1×2=2n+1.n=2n+1，所以bn===-,所以数列{bn{的前n项和为Tn=b1+b2+⋯+bn=-+-+⋯+-=-==，n∈N∗,32+32+所以Tn≥T1=，<<所以≤Tn<得证.3n=(n=2,3,4,⋯)3n{的通项公式；n<bn+1，其中n为正整数.n=1+(a1-1(-n-1(2)证明见解析；n=，变形为an-1=-(an-1-1(，利用等比数列的定义求解.n=1+(a1-1(n>0，然后证明b+1-b>0即可.n=，所以an-1=-(an-1-1(，所以数列{an-1{是等比数列，n=1+(a1-1(n=1+(a1-1(n-1，an+2-an=-3(a1-1(n+1>0，所以数列{an{是递增数列，所以0<a1≤an<1，当n为偶数时，an=1-(a1-1(n-1，an+2-an=3(a1-1(n+1<0，所以数列{an{是递减数列，所以1<an≤a2=1-(a1-1(=-a1<，所以0<an<且an≠1，则bn>0.b+1-b=a+1(3-2an+1(-a(3-2an(，=3(an+1+an((an+1-an(-2(an+1-an((a+1+an+1an+a(，=(an+1-an([3(an+1+an(-2(a+1+an+1an+a([，= -an>0.所以bn<bn+1对任意正整数n都成立. {Δan{为数列{an{的一阶差分数列，其中Δan=an+1-an；规定{Δ2an{为{an{的二阶差分数列，其中Δ2an=2ck=Δ2cn+1，对满足n+m=2k(m≠n(的任意正整数n,m,k都有cm≠cn，且不等式Sn+Sm>tSk恒成立，求实数t的最大值.ijj(，2aj*n=2n2+n(n∈N*(，所以Δan=an+1-an=4n+3，所以Δan+1-Δan=4，2an=Δan+1-Δan=4，2aj**2ck=Δ2cn+1，所以Δ2cn=0，所以Δ2cn=Δcn+1-Δcn=cn+2-cn+1-(cn+1-cn(=cn+2-2cn+1+cn=0，所以cn+2-cn+1=cn+1-cn，所以数列{cn{是等差数列，设数列{cn{的公差为d，则cn=c1+(n-1(d，当d<0时，当n>1-时，cn<0，则Sn+Sm=n2+（c1-n+m2+（c1-m=(n2+m2(+（c1-(n+m(，Sk=k2+c1-k=2+（c1-,所以Sn+Sm=(n2+m2(+（c1-(n+m(>⋅+（c1-(n+m(，则当t≤2时，不等式Sn+Sm>tSk恒成立， 则tSk-Sn+Sm=tk2+（c1-tk-2k2+2-2k（c1-=t-d（k2-k+t-2c1k-d，因为t-d>0,k2-k≥0，所以当k>时，tSk-Sn+Sm>0，即有Sn+Sm<tSk，与Sn+Sm>tSk恒成立矛盾.综上所述，实数t的最大值为2.2将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列{an{的通项公式an=3n-1，n∈N+2n；p +每个大于1的奇平方数都是{cn{中相邻两项的和.n=23n-1,从而证明(2k+1)2=cr+cr-1，分k=4m、k=4m+1、k=4m+,从而证明(2k+1)2=cr+cr-1，分k=4m、k=4m+1、k=4m+2、k=4m++n=3n，n+，则Sn=43n-1=+n=3n，n+，则Sn=43n-1=4×当n≥2时+；化简得3p-q+3r-q=2，∵p-q<0，∴0<3p-q<1，r-q<2，∴0<r-q<log<1，+n===n，则e3n=3n，e3n-2=3n-2，e3n-1=3n-1，2n-1=3n-2，k2n=3n-1，n∈N+，4n+1=6n+1，k4n+2=6n+2，k4n+3=6n+4，k4n+4=6n+5，n∈N+，将k4n4n+1删去，得到{pn{，则p2n+1=6n+2，p2n+1=(6n+2(+(2n+1(=8n+3，c2n+2=(6n+4(+(2n+2(=8n+6，n∈N+，2n-1=8n-5，c2n=8n-2，n∈N+，4n-1n=2k-14n-1n=2k-14n-2,n=2k记rk=，下面证明：(2k+1)2=cr+cr-1，由r4m=8m2+2m，r4m+1=8m2+6m+1，r4m+2=8m2+10m+3，r4m+3=8m2+14m+6，k=4m时，r4m=8m2+2m，r4m+1=8m2+2m+1，cr+cr-1=[4(8m2+2m(-2[+[4(8m2+2m+1(-1[k=4m+1时，r4m-1=8m2+6m+1，r4m+1=8m2+6m+2，cr+cr-1=[4(8m2+6m+1(-1[+[4(8m2+6m+2(-2[=64m2+48m+9=[2(4m+1(+1[2；k=4m+2时，k4m+2=8m2+10m