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文档简介

3.3定积分的分部积分和换元积分3.3.1定积分的换元积分3.3.2定积分的分部积分定理2微积分学基本定理复习牛顿-莱布尼茨公式牛顿—莱布尼茨公式

牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，.例1求

解例2求

解例3计算，其中解

例4计算由曲线、直线x=2与x轴围成的图形的面积．解由定积分的几何意义，得定理设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足下列三个条件：5.3.1定积分的换元积分法

上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.(2)当t在α与β之间变化时，单调变化且连续，则5.3定积分的积分方法注意：(1)定积分的换元法在换元后，积分上，下限也要作相应的变换，即“换元必换限”.(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量.(3)新变元的积分限可能α>β，也可能α<β，但一定要求满足，即对应于，对应于.例1求解方法二注:用第一类换元法即凑微分法计算一些定积分时，可以不引入中间变量例2计算解=

注用第二类换元法计算定积分时，由于引入了新的积分变量，因此，必须根据引入的变量代换，相应地变换积分限．

例3求解例4证明

例4表明了连续的奇、偶函数在对称区间[–a,a]上的积分性质，即偶函数在[–a,a]上的积分等于区间[0,a]上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.例5求解例6证明证明5.3.2分部积分法例7求解例8求解例８计算

解例9求解小结定积分的计

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