重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一下学期3月月考试题数学

重庆市20232024学年（下）3月月度质量检测高一数学【命题单位：重庆缙云教育联盟】注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数的虚部为（

）A． B． C． D．2．已知两点，则与向量同向的单位向量是（

）A． B． C． D．3．如图，在正方形ABCD中，下列命题中正确的是（

）A． B．C． D．4．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．5．在边长为1的菱形中，，若点，满足，，其中且，则的最大值为（

）A． B．3 C． D．6．在△ABC中，，点D在上，，，则（）A．8 B．10 C．12 D．16.7．在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（

）A． B．C． D．8．已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动，则最大值为（

）A．13 B． C．5 D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为（

）A．若，则 B．若在直线上，则C．若为纯虚数，则 D．若在第四象限，则10．已知复数，，则（

）A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限C． D．11．已知△ABC中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（

）A．B．△ABC的面积为C．D．在△ABE的外接圆上，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知向量，则与同向的单位向量为.13．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足，则．14．在△ABC中，角的对边分别为，已知，，，则的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在锐角△ABC中，已知.(1)求；(2)求的取值范围.16．（15分）在复平面内复数所对应的点为，O为坐标原点，i是虚数单位.(1)，计算与；(2)设，求证：，并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.17．（15分）设△ABC的外接圆半径是均为锐角，且.(1)证明：△ABC(2)证明：在△ABC的外接圆上存在唯一的一点，满足对平面上任意一点，有.18．（17分）记△ABC的内角的对边分别为，已知.(1)若，求的取值范围；(2)若，点分别在等边△DEF的边上（不含端点）.若面积的最大值为，求.19．（17分）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.(1)设复数，，求、的三角形式；(2)设复数，，其中，求；(3)在△ABC中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：①；②，，.注意：使用复数以外的方法证明不给分.重庆市20232024学年（下）3月月度质量检测高一数学答案及评分标准【命题单位：重庆缙云教育联盟】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D 2．C 3．D 4．D5．C 6．C 7．B 8．A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．CD 10．AD 11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．114．/四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（1）由题意，根据正弦定理可得，则，展开可得，.（2）由正弦定理，则，其中，∵△ABC是锐角三角形，，.，，显然，当时，，.16．（1）根据可得，；且，所以.（2）因为，所以，可得；因为，所以，因此，所以，当且仅当时取等号，此时向量满足.17．（1）证明：记在△ABC中，所对的边分别长度为.根据正弦定理，有，所以.根据，有，得到，因为都是锐角，根据的(复合函数)单调性得到，所以，所以，所以△ABC不是锐角三角形；（2）因为，所以，所以，所以，得到，设△ABC外接圆圆心为，则有，得到对平面上所有成立，必须有，根据是直角和平面几何知识,得到在外接圆上，并且根据平面向量基本定理得到唯一.18．（1）因为，所以由正弦定理得，因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以，在中，有，，，；（2）由（1）可知，由于面积的最大值为，则，得，所以的最大值为，因为，所以，因为，所以，设，则，在△ACD中，由正弦定理得所以，得，在△ABE中，由正弦定理得，所以，得，所以，其中，所以当时，取得最大值，所以，所以，所以，即，所以，解得或（舍去）.19．（1）,；（2）设，的模为，的模为