2021-2022学年江苏省金湖洪泽等四校联盟高一下学期第三次学情调查数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省金湖、洪泽等四校联盟高一下学期第三次学情调查数学试题一、单选题1．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉样物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为（

）A．3 B．2 C．5 D．9【答案】D【分析】利用分层抽样中的比例列出方程，求出答案.【详解】，解得：故选：D2．已知向量，且，则实数（

）A． B． C．6 D．14【答案】D【分析】根据题设条件求得的坐标，再根据，得到关于的方程，解之即可．【详解】∵，，∴，又∵，∴，解得．故选：D．3．已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z，再利用复数的几何意义求解.【详解】，且的乘方运算是以4为周期的运算所以，所以复数所对应的点，在第二象限.故选：B4．在正方体中，点在线段中点，异面直线与所成夹角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判断出即为异面直线与所成角，在等边三角形中，即可求解.【详解】如图示，在正方体中，.所以即为异面直线与所成角.因为为等边三角形，点在线段中点，所以=.故选：A5．已知，，且、均为锐角，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件，结合角的范围，由同角三角函数关系求得，，由，利用两角差的正弦公式展开，代数数值计算即得.【详解】已知，为锐角，∴,∵、均为锐角，∴，又∵，∴，∴,∴,故选：D.6．已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】由空间中直线与平面、平面与平面的位置关系逐一进行分析即可．【详解】解：对于A：若，则或或与相交，故A错误；对于B：要得到，则需要与平面内两条相交直线垂直，只有得不到，故B错误；对于C：若，则或与相交，故C错误；对于D：若，由面面垂直的判定定理可得，故D正确；故选：D7．“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示．其可近似看作正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正四棱台性质，求得高为，再结合侧面积公式和正方形的面积公式，即可求解.【详解】由正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为，四棱台的侧面均为等腰梯形，则其高为，所以“斗”的所有侧面的面积之和为，下底面的面积为，所以.故选:A.8．若圆锥，的顶点和底面圆周都在半径为的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为，，则这两个圆锥公共部分的体积为A． B． C． D．【答案】A【解析】过圆锥的轴作出截面图求解，两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，求出其底面半径和高，即可得所求体积.【详解】易得在同一条直线上，过该直线作出截面图如图所示.是圆锥底面圆的直径，是圆锥底面圆的直径，两直径都与垂直.在中，，则可得.在中，，则，则.又，所以点重合.这两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，其底面半径为，高为，所以所求体积为.故选A.【点睛】本题考查与球有关的切接问题，体积的计算，解题的关键是过球心作出截面图.二、多选题9．在中，下列结论正确的是A．B．C．若,则为等腰三角形D．若,则为锐角三角形【答案】BC【解析】根据向量的数量积运算法则逐个辨析即可.【详解】对于A,,故A中结论错误；对于B,设为向量与的夹角,因为,而,故,故B中结论正确；对于C,,故,所以为等腰三角形,故C中结论正确；对于D,取,,满足,但为钝角三角形,故D中结论错误.故选：BC.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算与性质判定.属于基础题.10．在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（

）A．则为等边三角形；B．已知，则；C．已知，，，则最小内角的度数为；D．在，，，解三角形有两解．【答案】ABC【分析】利用正弦定理、余弦定理一一计算可得；【详解】解：对于A：若，则，即，即，即是等边三角形，故A正确；对于B：由，可得，余弦定理：．，，故B正确．对于C：因为，，，所以，所以，所以，，，故C正确；对于D：因为，，，所以，即解得，因为，所以，所以三角形只有1解；故选：ABC11．如图，在中，，D，E是BC的三等分点，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由向量的线性运算即可判断A，B,取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，计算可得，进而得出，计算可判断选项C,由C可知，两边平方，化简计算可判断选项D.【详解】对于A，，故选项A不正确；对于B，由题意得D为BE的中点，所以，故选项B正确；对于C，取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，且，所以，所以，，故选项C正确；对于D，由G是BC的中点得，两边平方得，所以，故选项D正确.故选：BCD.12．已知甲烷的化学式为，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子看成一个质点，两个氢原子之间的距离为1，则（

）A．碳原子与氢原子之间的距离为B．正四面体外接球的体积为C．正四面体的体积为D．任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为【答案】ACD【分析】对于A，由题A正确，对于B，为正四面体外接球的半径正四面体外接球的体积为B错误，对于C，，为正三角形正四面体的体积为C正确，对于D，设D正确.【详解】如图所示，正四面体中，点是正四面体的中心，连接，，，，于是．设点在平面内的射影为，连接，正四面体的棱长为1，则，所以，，则碳原子与氢原子之间的距离为，选项A正确；由A可知，为正四面体外接球的半径，则正四面体外接球的体积为，B错误；正四面体的体积，C正确；设，其中，在中，由余弦定理得，故任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为，D正确．故选：ACD．三、填空题13．已知，则___________.【答案】【分析】由差的正弦公式化简即可得出.【详解】因为，所以，整理可得，即.故答案为：.14．一个长方体的长、宽、高分别为9，8，3，若在上面钻一个高为3的贯穿上下表面的圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为______.【答案】3【分析】根据在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，可知圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等，然后列出等式即可求解．【详解】解：正方体被钻掉一个圆柱形孔后，正方体的表面积减少了两个圆柱的底面积大小，同时又增加了圆柱的侧面积，∵在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，∴圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等，设圆柱的底面半径为r，则2πr2＝2πr•3，即r＝3，故答案为：3．15．已知单位向量，，满足，则__________．【答案】【分析】根据可求得，由，结合数量积的运算律可求得结果.【详解】由得：，，.故答案为：.16．如图，已知为的重心，且，若，则角的大小为_______.【答案】【详解】分析：利用余弦定理、直角三角形的性质、三角函数求值即可得出．详解：连AO并延长与BC相交于点D，∵为的重心，∴点D是BC的中点，且．设AD=m，∠ADB=α．则，以上两式两边分别相加可得：又，∴．又，在中，由余弦定理的推论得．∵，∴．点睛：本题考查余弦定理的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力．由于题中涉及的三角形较多，故解题的关键是分清是用哪个三角形，然后根据条件选择余弦定理合适的形式求解．四、解答题17．设为虚数单位，，复数，.(1)若是实数，求的值；(2)若是纯虚数，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用复数的乘法化简，再根据是实数求解；（2）先利用复数的除法化简，再根据是纯虚数求解.【详解】(1)解：，因为是实数，则，解得.(2)，因为为纯虚数，则，解得.所以.18．已知向量，满足，，．(1)若，求实数的值；(2)若设与的夹角为，求的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量垂直数量积为，得出，从而确定向量，不共线，可作为一组基底，再根据共线定理得出实数的值；（2）根据两向量的夹角公式的需要，首先求出两向量的数量积，再求出的模长，最后代入夹角公式即可.【详解】(1)由可得：，即，又由，得，，代入解得：，所以，是不共线的向量.由题可设：，因为，是不共线的向量，所以且，解得．(2)由于，，由与的夹角为：，由于，所以．19．在①，②，③，其中S为△ABC的面积）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，计算△ABC的面积S．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】选①，；选②，；选③，．【分析】根据正弦定理、诱导公式和二倍角的正弦公式可得，求出.若选①，根据余弦定理可得，结合三角形面积公式计算即可；若选②，根据余弦定理可得，则△ABC为等边三角形，即可求出三角形面积；若选③，根据余弦定理和三角形面积公式求出，则△ABC为直角三角形，即可求出三角形面积.【详解】因为，由正弦定理得．因为，所以，即．又因为，可得，所以即．若选①，即．则由余弦定理可得，即，即，解得．故△ABC的面积．若选②，即，则，整理得，由余弦定理得，因为，所以．又因为，所以△ABC为等边三角形，故△ABC的面积．若选③，即．由余弦定理可得，而△ABC的面积，故，整理得，．因为，所以，所以．所以．故Rt△ABC的面积．20．如图，在直三棱柱中，AC⊥BC，点D是AB的中点.求证：(1)(2)平面.(3)若，求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）根据给定条件，证明平面，结合线面垂直的性质推理作答.（2）证明，再利用线面平行的判断推理作答.（3）根据给定条件，确定直线与平面所成的角，再借助三角形计算作答.【详解】(1)在直三棱柱中，平面，平面，则，而AC⊥BC，，平面，则有平面，又平面，所以.(2)令，连OD，如图，矩形中，O是中点，而点D是AB的中点，则，又平面，平面，所以平面.(3)在直三棱柱中，平面，平面，则，因，点D是AB的中点，则，连，又，平面，于是得平面，而平面，因此，平面平面，则是在平面上的射影，是直线与平面所成的角，而，因此，，所以直线与平面所成角的正切值是.21．记的内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，且(1)证明：；(2)若，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在中由锐角三角函数，得，代入条件，由正弦定理角化边得，即证；（2）由三角形等面积法，得，代入可得；将条件和同时代入余弦定理，化简后利用辅助角公式得到，即可求解.【详解】(1)在中，因为，所以，又因为，所以，即在中，根据正弦定理，得，故.(2)在中，，又由（1）知，，所以，在中，根据余弦定理，得，又由已知，，得，所以，则，即，因为，则，所以或，所以或，又点在边上，且，，所以必有一个大于等于，所以.22．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.(1)证明：平面DEF；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明，再证明，根据线面垂直的判定定理可证明结论；（2）先推出三棱锥的体积最大时，点E，F分别是，的中点，由此再求二面角的余弦值；法一：通过证线面垂直可说明是二面角的平面角，解直角即可求得答案；法二：建立空间直角坐标系，求出相关各点的坐标，再求出平面DEF和平面BDF的法向量，根据向量的夹角公式求得答案.【详解】(1)证明：如右图，连接AE，由题意知AB为的直径，所以.因为AD，EF是圆柱的母线，所以且,所以四边形AEFD是平行四边形.所以,所以.因为EF是圆柱的母线，所以平面ABE,又因为平面ABE，所以.又因为，DF，平面DEF，所以平面DEF.(2)由（1）知BE是三棱锥底面DEF上的高，由（1）知，，所以，即底面三角形DEF是直角三角形.设，，则,所以，当且仅当时等