高中数学人教A版选修2-1测评3-1-3空间向量的数量积运算

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课后篇巩固提升1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke14e2,a⊥b,则实数k的值为()A.6 B.6 C.3 D.3解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke14e2)=0,∴2k12=0,∴k=6.答案B2.如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则FG·AB=(A.34 B.14 C.12解析由题意可得,FG=12AC,∴FG·AB=12AC·AB=答案B3.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC2DA)·(AB-AC)=0,则△ABCA.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析因为DB+DC2DA=(DB-DA)+(DC所以(DB+DC2DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(所以|AB|=|AC|,因此△ABC是等腰三角形.答案B4.已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,则以下等式中可能不成立的是()A.DA·PB=0 B.PCC.PD·AB=0 D.PA解析选项A,DA⊥ABDA⊥PAPA⋂AB=A⇒DA⊥平面PAB⇒DA⊥PB⇒DA·PB=0;选项C,同选项A知AB·PD=0;选项D,PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒又BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,故BD⊥AC,但在矩形ABCD中不一定有BD⊥AC,故选B.答案B5.已知空间四边形ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是()A.30° B.45° C.60° D.90°解析根据已知∠ACD=∠BDC=90°,得AC·CD∴AB·CD=(AC+CD+DB)·CD=AC·CD+|CD∴cos<AB,CD>=∴AB与CD所成的角为60°.答案C6.已知空间向量a,b满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为π3,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足OA=2a+b,OB=3ab,则△OAB的面积为(A.523 B.543 C.解析|OA|=(2|OB|=(3则cos∠AOB=OA·从而有sin∠AOB=1-所以△OAB的面积S=12|OA||OB|sin∠AOB=12答案B7.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为.

解析由a+b+c=0两边平方得(a+b+c)2=0,所以a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,a·b+b·c+c·a=a2+b2+答案138.四棱柱ABCDA1B1C1D1各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则点B与点D1两点间的距离为.

解析∵四棱柱ABCDA1B1C1D1各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,∴BD∴BD12=(BA+AD+DD1)2=BA2+AD2+DD12+2BA·AD+2BA·DD1+2AD·DD1=1+1+1+∴|BD1|=2.∴点B与点D1两点间的距离为答案29.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.解因为PC=所以|PC|2=PC2=(PA+AD+DC)2=|PA|2+|AD|2+|DC|2+2PA·AD+2PA·DC+2AD·DC=62+42+32+2|AD||DC|cos120°=611210.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为D1C1的中点,试求A1C解设正方体的棱长为1,AB=a,AD=b,AA1=则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a