2024年高考数学一轮复习（新高考版）1 .2 常用逻辑用语

§1.2常用逻辑用语

【考试要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质

定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系2理解全称量词和存在量词的意义，能正确对

两种命题进行否定.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p台q,则P是g的充分条件，。是〃的必要条件

p是q的充分不必要条件p=q且q*p

p是q的必要不充分条件p令q且q=p

p是q的充要条件p0q

p是q的既不充分也不必要条件p#q且q4p

2.全称量词与存在量词

⑴全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“工”表

示.

⑵存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号

“3”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x,〃(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记xRM,为6例，〃(x)

否定p(x)RXRM,立〃(X)

【常用结论】

1.充分、必要条件与对应集合之间的关系

设4={而(切,B=[x\q(x)}.

(1)若p是4的充分条件，则4GB；

(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；

(3)若p是g的必要不充分条件，则8A；

(4)若p是q的充要条件，则人=5

2.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.

3.命题p与p的否定的真假性相反.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（l）p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.（J）

（2）“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.（4）

（3）已知集合A,B,AUB=An8的充要条件是A=B.（V）

（4）命题“mxGR,sin5+coslug"是真命题.（X）

【教材改编题】

1.命题“Vx^R,e，—的否定是（）

A.e“一B.VxGR,e*—iWx

C.SxSR,ev-l<xD.Vx£R,e'-l<r

答案C

解析由题意得命题“VxGR,e'—l'x”的否定是“mxGR,e'-l<rw.

2.（多选）下列命题中为真命题的是（）

A.VxGR,/>0B.VxGR,—iWsinxWl

C.BxSR,2'<0D.AWR,tanx=2

答案BD

解析当x=0时，*=0,所以A选项错误；

当xGR时，一1WsinxWl,所以B选项正确；

因为2，>0,所以C选项错误；

因为函所以D选项正确.

3.若“x>3”是“心>机”的必要不充分条件，则加的取值范围是.

答案（3,+8）

解析因为'%>3”是的必要不充分条件，

所以（瓶，+8）是（3,+8）的真子集，

由图可知m>3.

3mx

■探究核心题型

题型一充分、必要条件的判定

例1（1）（2023•淮北模拟）是“1>1”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由4泌>0,得表1,反之不成立，

如4=—2,b=-l,满足系>1,但是不满足a>6>0,

故ua>b>On是“表1”的充分不必要条件.

(2)(2021•全国甲卷)等比数列｛小｝的公比为q,前〃项和为设甲：q>0,乙：｛*｝是递增数列,

则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案B

解析当S<0,<?>1时，a„=aiq"'<0,此时数列｛，｝单调递减，所以甲不是乙的充分条件.当

数列｛SJ单调递增时，有&+i-S“=a“+i=a4>0,若0>0,则/>0(〃WN*),即q>0；若0<0,

则/y)(〃GN*),不存在.所以甲是乙的必要条件.

思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法

(1)定义法：根据p=>q,进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围

的推断问题.

跟踪训练1(1)(2022•长春模拟)"力=|a|时'是飞与力共线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析因为。b=|a||b|cos(a,b)=|a仙

所以cos〈a,b)—1,

因为〈a,b〉G[0,it],

所以〈a,b)=0,

所以a与5共线，

当a与5共线时，〈a,b)=0或〈a,b)—it,

所以a-b=|a||例cos〈a,b}=|a|步|或。/>=|a||61cos〈a,b)=—|a||/»|,

所以“a力=同网”是“a与B共线”的充分不必要条件.

(2)(多选)已知基函数/(x)=(4%—1)日，则下列选项中，能使得负a)次刀成立的一个充分不必要

条件是()

A.0<^<^B.a2>b2

C.Ina>\nhD.2a>2b

答案AC

解析由题设知4MJ—1=1,可得机=；,故於)=«

所以，要使负。)刁S),则即a>b》0.

o£<^0a>b>O,A符合题意；

Ina>lnb^a>b>0,C符合题意；

B,D选项中a,人均有可能为负数，B,D不符合题意.

题型二充分、必要条件的应用

例2在①AU8=B；②是的充分条件；③“XGRA”是“XG[RB”的必

要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.

问题：己知集合A={M“Wx<q+2},B={x|(x+l)(x-3)<0}.

(1)当a=2时，求ACB；

(2)若,求实数a的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解(1)由。+1)。-3)<0,

解得一la<3,

所以8={x|(x+l)(x-3)<0}={x|-la<3},

当a=2时，A={x|2WxW4},

所以An8={x[2Wx<3}.

(2)若选①AU8=B,则AGB,所以j,解得一1<质1,即〃仁(一1,1)；

a+2<3,

\cf>—1,

若选②是“xGB”的充分条件，则A=B,所以,解得一

[a+2<3,

即a£(—1,1);

a>—1,

若选③是的必要条件，则AGB,所以,.、解得一1<°<1,即

[a+2<3,

思维升华求参数问题的解题策略

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出

关于参数的不等式（或不等式组）求解.

（2）要注意区间端点值的检脸.

跟踪训练2（2023•宜昌模拟）已知集合4={尤|一2令<3},B={x\x1-2mx+nr-\<0].

（1）若m=2,求集合AC8；

（2）己知p：x^A,q：xGB,是否存在实数〃3使p是q的必要不充分条件，若存在实数m,

求出，"的取值范围；若不存在，请说明理由.

解（1）由/n=2及『一2mx-\-nr—1<0,

得x2—4x+3<0,解得l<x<3,

所以B={x[l<r<3},

又A={M-2<rW3},

所以Ang={x|la<3}.

（2）由X2—2/nx+/M2—1<0,

得[x—（，"一l）][x_（/«+1）]<0,

所以tn—1<x<m-[-1,

所以B={x\m~\<x<m+1}.

由p是q的必要不充分条件，

得集合B是集合A的真子集，

所以,y今一1W〃?W2（两端等号不会同时取得），

[，“十1W3

所以机的取值范围为[—1,2].

题型三全称量词与存在量词

命题点I含量词命题的否定

例3（2022•漳州模拟）命题“VadR,/一如+i=o有实数解”的否定是（）

A.VaCR,小一6+1=0无实数解

B.B«eR,/一数+1=0无实数解

C.VaeR,f-or+lWO有实数解

D.BizeR,『一奴+1¥0有实数解

答案B

解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以“kaWR,『一"+1=0有实数解”的否定是“madR,『一"+1=0无实数解”.

命题点2含量词命题真假的判断

例4（多选）（2023・沈阳模拟）下列命题中为真命题的是（）

A.

B.对于VxGR,〃6N*且〃>1,都有也=x

C.VxGR.ln(x-l)2>0

D.Inx^x—1

答案AD

解析当x20时，0</Wl,故A项是真命题;

当〃为偶数，且x<0时，正心-X,故B项是假命题；

当x=l时，ln(x—1)2无意义，故C项是假命题；

当x=l时，Inx>x-1,故D项是真命题.

命题点3含量词命题的应用

TT7T

例5若“球外一争斗sinx<m”是假命题，则实数小的最大值为()

A./B.-3。.坐D.一坐

答案D

冗7T

解析因为1一全外sinx<W是假命题，

TT7T

所以“Vxc—?§,mWsinx”是真命题，

兀兀_、

即mWsinx对于X/xW—y§恒成立，所以mW(sinx)min,

因为y=sinx在［一，，上单调递增，

所以工=一］时，y=sinx最小，其最小值为y=sin(11)=-sin：=一坐，

所以"，〈一乎，所以实数机的最大值为一坐.

思维升华含量词命题的解题策略

(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一

个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.

(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求

参数的范围.

跟踪训练3(1)已知命题p：Sz?eN,〃222〃+5,则^〃为()

A.VneN,/22〃+5

B.〃2W2〃+5

C.VnGN,tr<2n+5

D.〃2=2〃+5

答案C

解析由存在量词命题的否定可知，㈱/，为〃2<2〃+5.所以C正确，A,B,D错误.

(2)(多选)下列命题是真命题的是()

A.VxGR,一/一1<0

B.VnGZ,3wGZ,nm=m

C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径

3

-

D.存在实数x,使得3—2r+34

答案ABC

解析VxGR,—eWO,所以一/—1<0,故A项是真命题；

当机=0时，〃机=〃?恒成立，故B项是真命题；

任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；

因为f-2x+3=(x-1A+2N2,

113

所以大+3号/故D项是假命题.

(3)若命题“mxGR,f+(a—l)x+l<0”的否定是假命题，则实数〃的取值范围是

答案(一8,-1)U(3,+°0)

解析命题Ar+(a—l)x+l<On的否定是假命题，

则命题“mx6R,x2+(a-l)x+l<0”是真命题，

即/=(4-1)2—4>0,

解得a>3或a<—1,

故实数a的取值范围是(一8,-1)U(3,+°°).

课时精练

立基础保分练

1.(2023•上饶模拟)“f>2021”是“片>2022”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析若金>2022,因为2022>2021,故d>2021,

故“42022”可以推出"1>2021”,

<^=2021.5,则满足『>2021,但x2>2022不成立，

所以“f>2021"不能推出”>2022”,

所以“f>2021”是3>2022”的必要不充分条件.

2.已知命题p：mxGQ,使得KN,则㈱〃为（）

A.VKQ,都有依NB.使得xGN

C.X/xWQ,都有xGND.3xeQ,使得x@N

答案C

解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，

所以由p：BxGQ,使得依N,

得^p：VxGQ,都有x©N.

3.已知命题：“WxdR,方程/+4x+a=0有解”是真命题，则实数。的取值范围是（）

A.a<4B.“W4

C.a>4D.a24

答案B

解析“Vx£R,方程*+4x+a=0有解”是真命题，

故/=16—4”20,解得“W4.

4.（2023・武汉模拟）已知a,b是两条不重合的直线，a为一个平面，且“_1原则是

ua//b''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析当b_La时，结合a_La,可得a〃匕，充分性满足；

当a〃人时，结合a_La,可得b_La,必要性满足.

故ubLan是ua//bn的充要条件.

5.命题“X/lWxW2,/—“WO”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.B.a25

C.aW4D.aW5

答案B

解析因为命题“\/1WXW2,f-aWO”是真命题，

所以恒成立，

所以a24,

结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a25.

6.（多选）下列命题是真命题的是（）

A.所有的素数都是奇数

B.有一个实数x,使f+2t+3=0

C."a=y是"sina=sin£”成立的充分不必要条件

D.命题“mxeR,x+2W0”的否定是"VxGR,x+2>0”

答案CD

解析2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题；

对于方程»+2》+3=0,其中/=2?-4X3=-8<0,

所以不存在实数，使得『+公+3=0成立，所以B是假命题；

由a=夕=sina=sin£,但由sina=sin夕不能得到a='，故"a=H"是"sina=sin£"成立

的充分不必要条件，所以C是真命题；

根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“mx6R,x+2W0”的否定是“V

xGR,x+2>0",所以D是真命题.

7.（多选）若“三无《（0,2）,使得Zr2—a+1<0成立”是假命题，则实数2可能的值是（）

A.1B.2巾C.3D.3^2

答案AB

解析由题意可知，命题“Vxe（0,2）,Zv2—&+1N0成立''是真命题，

所以ZrW2A2+1,可得%W2x+J,

当xd（0,2）时，由基本不等式可得

当且仅当犬=乎时，等号成立,

所以

8.南北朝时期的伟大科学家祖迪在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖唯原理：''幕

势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个

平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相

等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为％,乙，被平行于这两个平面

的任意平面截得的两个截面面积分别为S，S2,则“Si，S2不总相等”是“山，%不相等”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析命题：如果“Si,S2不总相等”，那么“Vi,L不相等”的等价命题是：如果

匕相等”，那么“S”52总相等”.

根据祖晒原理，当两个截面的面积Si,S2总相等时，这两个几何体的体积％,L相等，所以

逆命题为真，故是必要条件；

当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，

故是不充分条件，所以“S1,$2不总相等”是©不相等”的必要不充分条件.

9.命题“VxG（O,；）,sinx<cosx”的否定是.

答案三》8（0,；）,sinxNcosx

解析因为"sinx<cosx"的否定是"sinx》cosx”,

所以uVxS^O,京），sinx<cosx"的否定是泰），sinxNcosx",

10.使得“2*>4工”成立的一个充分条件是.

答案尤<一1（答案不唯一）

解析由于4*=2汽故2*>2左等价于x>2x,

解得x<0,

使得成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可.

11.已知命题“mxG{.v|-2々<3},使得等式2x-m=o成立”是假命题，则实数”的取值范

围是•

答案（一8,-4]U[6,+8）

解析若原命题为真命题，则mxG{x|-2<x<3},

使得机=2x成立，贝！]—4</n<6；

故若原命题为假命题，

则实数机的取值范围为（一8,-4]U[6,+8）.

12.已知a：—1或x>一，"，£：x<2或无》4,若a是夕的必耍条件，则实数机的取值范

围是.

答案（J+8）

解析设4={小<2加-1或x>一m},8={小<2或x24},

若a是£的必要条件，则3GA,

当2机一1>一机，即，时，此时A=R,8=A成立；

1\2m.-122,

当2机一1〈一加，即加〈不时，若3QA,此时无解.

J[一〃7<4,

综上，

应综合提升练

13.(多选)若“WxWM,|x|>x"为真命题，为假命题，则集合M可以是()

A.(一8,-5)B.(-3,-1]

C.(3,+8)D.[0,3]

答案AB

解析,/Bx^M,x>3为假命题，

尤<3为真命题，

可得M=(—8,3],

又VxCM,|x|>x为真命题，

可得MU(