2023-2024学年山东省聊城市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年山东省聊城市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.直线x=-3的倾斜角为（）

3

cf兀一兀c5兀

A.0B.-C.-D.——

626

【正确答案】C

【分析】利用直线与X轴垂直即可求得答案

【详解】因为直线x=-3与x轴垂直，

3

故直线彳=-3的倾斜角为？

故选：C

2.已知［=（百，为2）,第=（-3,6,一2百）分别是平面%夕的法向量，若则》=（）

A.-7B.-1C.1D.7

【正确答案】B

【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解

【详解】因为神=（百户,2）,稔=（-3,6,-26）分别是平面a,/的法向量，且。的,

所以*//0,即曰=t=£/J，解得x=7

故选：B

3.抛物线y=2x2的准线方程为（）

1111

A.y=—B.y=—C.x=—D.x=—

8282

【正确答案】A

【分析】根据抛物线的性质得出准线方程.

【详解】抛物线方程y=2》2可化为则p=；，故抛物线y=2/的准线方程为

故选：A

4.数列｛4,｝满足a,T+'=l（N*2）,若”20=-1,则q=（）

Q”

A.-1B.yC.1D.2

【正确答案】D

【分析】由附。，％9，％8吗7的值确定该数列为周期数列，进而由周期性得出6.

［详解］设"=/0=_1，贝帅2=%9=］-=2,bi=fll8=14=417=1---=

%。4924

故数列也｝是以3为周期的周期数列，则4=%=4犯+2=&=2.

故选：D.

5.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行

于抛物线的轴.已知抛物线C：/=2x,从点尸（机,2）（机＞2）发出的一条平行于x轴的光线,

经过C上的点/反射后，与C交于另一点8,则点8的纵坐标为（）

A,--B.-1C.-2D.-4

2

【正确答案】A

【分析】求出A坐标，进而联立直线Z8和抛物线方程，由韦达定理得出点8的纵坐标.

【详解】抛物线C：/=2x的焦点坐标为尸（；,0）,设4x“2）,因为点A在抛

物线上，

4

所以4=5=2,由题意可知，48,尸三点在一条直线上，直线48的斜率为

,=2-0=4［_4_£

即直线的方程为y==（x-3,联立厂一3。2）,

2-532"工

可得2y2-3»-2=0,因为2为=:=-1，几=-*,

故选：A

6.已知圆G：/+/=］与圆C?：一8%+6y+加=0相内切，则C］与。2的公切线方程

为（）

A.3x-4y—5=0B.3x—4y+5=0

C.4x-3y-5=0D.4x—3y+5=0

【正确答案】D

【分析】由两圆的位置关系得出团，进而联立两圆方程得出公切线方程.

【详解】圆G：/+/=1的圆心。（0,0）力=1,圆G：/+/-8》+6夕+〃?=0可化为

(X-4)2+(J；+3)2=25-;M,(m<25),则其圆心为。式4,-3),半径为,=j25-/n,

因为圆G与圆G相内切，所以为-i=|qc|，即4="2+32+1=6,故机=-11.

*2+_/=]

由，可得4x—3y+5=0,

X2+/-8X+6J-11=0

即G与C2的公切线方程为4x-3、+5=0.

故选：D

7.如图，在四面体/8CD中，ABLBD,CDLBD,若AB=3,5。=20，8=2,/。=折,

则平面ABD与平面CBD的夹角为（）

【正确答案】C

【分析】根据题意可得花=浅+舒+注，结合空间向量的数量积的定义及运算律可求得

cosO=；,即可得结果.

TT

【详解】设平面与平面C8O的夹角为0,-,

由题意可得：力88。=0,8。。。=0,48。。［可］。々84力民弱=3X2CO（TIJ）=6cos。，

uuuumuuuuuu

AC=AB+BD+DC,

uuir,/iLiruuruuirv2uur,uuur，10X2uuruuruuruinrimuruuir

贝lj4c=（AB+BD+DC\=4B-+BD-+DC'+2AB•BD+2AB•DC+2BD•DC,

即19=9+12+4—12cos。，解得cos6=l,

2

由0,7T-,可得。==IT,

L2j3

jr

故平面22。与平面CBD的夹角为

故选：c.

8.己知厂为椭圆C：[+《=l(a>b>0)的右焦点，尸为C上的动点，过尸且垂直于x轴

的直线与C交于M,N两点，若|MN|等于|PE|的最小值的3倍，则。的离心率为()

A.1B.IC.—D.3

【正确答案】B

2b°

【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得|尸尸1nm=a-c,\MN\=,再根据已知列式，结

合椭圆。、氏c的关系，求出离心率即可.

X2+4=1(。>6>0)的右焦点，P为C上的动点,

【详解】F为椭圆C：

h

由椭圆的性质,可得|尸产|而„="5

:过/且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,

a

等于p日的最小值的3倍，

—=3（a-c）.

a

•••椭圆中°2-62=。2,

:.2^a2-c2）=3a2-3ac,即2c?—Sac+a?=0,

,i2c-3aca'.

贝m-----+—=0.

a'a-a~

.■.2?-3e+l=0.解得e=g或e=l（舍）.

故选：B.

二、多选题

2

9.已知曲线G：4x2+3/=48,c,：x-^=l,则()

3

A.G的长轴长为4

B.G的渐近线方程为夕=±&

c.G与G的焦点坐标相同

D.a与G的离心率互为倒数

【正确答案】BD

【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可.

【详解】曲线G：4/+3/=48整理得则曲线G是焦点在歹轴上的椭圆，其

21

中a；=16方=12,所以c：=a：-6：=4,离心率为乌=在c=^=5

故曲线G的长轴长2卬=8,故A不正确：

曲线C2：x2-1=l是焦点在x轴上的双曲线，其中蜡=1&=3,所以c；=a；+*=4,离

心率为4=段=：=2,故与曲线G的焦点位置不同，故C不正确；

Q：/-：=1的渐近线方程为y=±其，故B正确；

又e「/=gx2=l,所以G与G的离心率互为倒数，故D正确.

故选：BD.

10.已知直线/：k2x-y-\=0,则（）

A./不过第二象限

B./在y轴上的截距为1

C.不存在左使/与直线h-'-1=0平行

D.存在左使/被圆Y+V=4截得的线段长为2

【正确答案】AC

【分析1取x<0得出P<0恒成立，从而判断A；由x=0得出截距，从而判断B；由反证法

判断C：由距离公式判断D.

【详解】对于A：当x<0时，夕=公刀-1<0恒成立，即/不过第二象限，故A正确；

对于B：令x=0,y=-1,即/在y轴上的截距为-1,故B错误；

对于C：若直线y=公》-1和y=丘-1平行，则父=%,且_1工_1,与_]=_1矛盾，

即不存在左使/与直线h-y-l=0平行，故C正确；

对于D：若/被圆/+『=4截得的线段长为2,则直线/到圆心的距离为右，但是圆心到

1

直线/的距离<小即不存在使被圆2+必=截得的线段长为故错误;

Vi+FkIX42,D

故选：AC

11.记数列｛见｝的前"项和为S"，已知a,=(-l)"(2"-ll),则()

A.§20=40

B.S9+S”=0

C.有最大值1

D.吐无最小值

【正确答案】BC

【分析】对于AB,注意到当〃eN*且为奇数时，北-11)+[2(〃+1>11]=2,

从而求得Sz。，风，品即可判断；对于C,求得对a“M关于〃的表达式后，利用配方法即可判断;

对于D,求得吐关于〃的表达式后，利用作差法与临界值0进行比较即可判断.

a„

【详解】对于A,因为%

当〃eN*且为奇数时，%+。e=一(方+,

所以$20=(4+&)+(%+/)+…+("19+a0)=2xl0=20,故A错误；

对于B,S9=（a,+a2）+-••+（a7+a8）+q,=2x4-（2x9-11）=1,

S|।—（q+a2）+…+（。9+）+4II=2X5—（2x11-11卜—1,

所以&+$1=0,故B正确；

对于C,因为〃与〃+1必然一奇一偶，

所以%。"+1=-（2〃-11）[2（〃+1）-11]=_由2+40?-99=-4&-5）2+1，

当〃=5时,取得最大值1,故C正确;

对于D,因为〃与〃+2必然同为奇数或同为偶数,

嗫=2（〃+2）-112〃-11+4_

所以1+--------

afl2/7-112/7-112/7-11

44

令a=1+则

2w-ll

448

所以2+1一%=五万—五不二一（2/7-9）（2«-11）'

a11

令（2〃一9）（2〃-11）＜0,得又〃eN*,即〃=5,

此时4+]-〃＞0,即小一々＞。，即小〉。，

Q11

令（2〃一9）（2〃-11）＞0,得〃或又”N*,即〃44或〃26,

4

当〃K4时，此时々（]-々＜0,即々＜4＜…＜4，同时伉=l+f=—3,

4

当〃26时，b=\+------＞0,即也,＞与，

2〃-11

综上：b“有最小值々=-3,即吐有最小值-3,故D错误.

故选：BC.

12.在棱长为2立的正方体/BCD-44CQ中，M,N,尸均为侧面8CC同内的动点，且

满足/"=3,点N在线段4C上，点尸到点£的距离与到平面4月。＞的距离相等，则（）

A.AN1BDt

B.平面3Q|N_L平面4G。

c.直线//与AG所成的角为定值

D.M尸的最小值为2

【正确答案】ACD

【分析】以A为原点，分别以为x）,z轴建立空间直角坐标系，对于A,由点N

在线段8c可得丽=（2"1,2五,2忘-2血），可得到丽・西=0即可判断；对于B,计

算出平面4"N与平面4G。的法向量即可求解；对于C,由"为侧面8CC圈内的动点且

//=3可得翔=（以2五,/）,计算出cos（而，幅'）=半即可；对于D,由C选项可得

〃的轨迹是以B为圆心，半径为3的圆上（且在侧面8CC0内），在平面5CG4内过户点

作P214C,垂足为。，可得到点P的轨迹为以G为焦点，准线为直线8c的抛物线，通过

图形即可得到收尸的最小值

【详解】以A为原点，分别以“。,“民工4为'J/轴建立空间直角坐标系，

则4（0,0,0）,5（0,272,0）,£＞（25/2,0,0）,B,（0,2五,2忘），D、（20,0,20）,42应,2立0）,

4（0,0,272）,G（20,20,2码

所以西=（26-262匈，函=（2凤20,0）,^C=（272,0,-2^2）,

语=（2立,260）,西=（-20,0,2应），5^=（0,272,0）,

对于A,因为点N在线段8c上，所以而=2麻=（2五40,-2、0）（0。41）,

所以N（2属,2626—2必），所以m=（2a2也,2应-2E）,

所以丽・西=0,故而J.西，所以故A正确；

y

对于B,因为点N在线段4c上，所以平面片"N为平面BQC，

[B]D]-n}=?6-x-2垃y=0

设面B℃的一个法向量为点=（x/,z）,

[BtC-nt=26x-2&z=Q

令x=l,则y=l,z=l,故=(1,1,1),

j4G=lyfla+lyj7h=0

设面4G。的一个法向量为%=（a,b,c）,

.“2=-2&a+=0

令a=l,则6=-l,c=l,故/=(1,-1,1)，

因为^a=1*0,所以平面8QN与平面4CQ不垂直，故B错误;

对于C,因为M为侧面8CG4内的动点，AM=3,

所以设A/（d,20J）,则而=（乙2近,Q,

82^2

所以cos（正函）=AM-OC.

西3x26="T"，所以直线ZM■与0£所成的角为定值，

故C正确;

对于D,由C选项可得|/凹=尸至7=3即/+/2=],所以例的轨迹是以8为圆心,

半径为3的圆上（且在侧面3CG片内）,

在平面8CG4内过户点作P0LBC，垂足为。，

易得4月，平面BCCe，P。u平面8CG片，所以44J.PQ,

因为44nBe=4，4Cu平面4耳8,所以尸0/平面4MCD,

所以点P到平面4BCD的距离为PQ的长度，即P到B}C的距离，

所以点P到点C,的距离与到平面4MD的距离相等，等价于点P到点G的距离与到8c的

距离相等，满足抛物线的定义，

所以点尸的轨迹为以G为焦点，准线为直线4c的抛物线，

以线段2G的四等分点o（靠近G）为坐标原点，以BG为〃?轴的正方向进行平面直角坐标

系，

由忸G|=4可得G（1,O）,直线8。为加=T,

则点P的轨迹为"2=4m,

所以8PLi-1,由图可得当P与。点重合时，忸儿而=3,故阿儿曲=2,故D正

确，

故选：ACD

关键点睛：这道题的关键之处是D选项中能看出点P到平面A^CD的距离即P到4c的距

离，得到点P的轨迹为以G为焦点，准线为直线4。的抛物线，然后建立平面直角坐标系

进行求解

三、填空题

13.已知四棱锥P-Z8GD的底面/BCD是平行四边形，若丽=x^+y而+z正，贝U

xyz=.

【正确答案】-1

【分析】根据空间向量的运算及空间向量基本定理得答案.

【详解】因为四棱锥P-/8CZ）的底面48co是平行四边形，所以

PD^PA+AD^PA+BC^PA+PC-PB>

又而=x9+y而+z定，由空间向量基本定理可得，x=lj=-l,z=l,故QZ=-1.

故答案为.T

14.记公差不为0的等差数列｛0“｝的前n项和为S“，若S9=3（%+j2+%+2），则仁.

【正确答案】6

【分析】利用等差数列的性质，结合等差数列的通项公式与前〃项和公式化简可得关于人的

方程，解之即可.

【详解】因为｛《,｝是公差不为0的等差数列，设公差为d,

所以59=9（。；%）=论|%=9叼4.2+%+2=〃，

又59=33+限+。“2），

所以9a5=3（4+2%）,即3a5=%+24

则3（q+4d）=q+2d+2[q+R-1,

所以2/一l）d=10d,又d/0,

所以左-1=5,则6=6.

故6

15.如图，长方体/BCD-/EGA中，若莺=（2,3,1）,则用到平面力CR的距离为.

x

125

【正确答案】不吗

【分析】求出面4cB的法向量，利用向量法得出用到平面4c〃的距离.

【详解】因为布=(2,3,1),所以48=2,/。=3,44=1,配=(2,3,0),9=(0,3,1)

由]吧”=0,可得

AB,=(2,0,1),设平面力。2的法向量为行=(x，N，z),

[AD,n=Q

2x+3y=0

取蚱2,则力=(一3,2,-6),

3y+z=0

即用到平面心的距离为等=『号

M时

故亍

16.已知双曲线。：+-4=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为耳、F2,以名为圆心，C的

ab

虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点，记为M、N,若四边形耳"EN的周长为4,

则C的焦距的取值范围为.

【正确答案】［①2)

【分析】易知点〃、N关于x轴对称，分析可得。+6=1,且be(O,l),利用二次函数的基

本性质可求得c的取值范围，即可得解.

【详解】易知点M、N关于x轴对称，且|Mg|=b,由双曲线的定义可得|儿阴|=b+2a,

由题意可得|町|+|峭|=2a+26=2,可得a+b=l,则b«0,l),

所以，c2=a2+62=(i-b)2+62=2〃-2b+l=2(b-g)+1e

所以，—<c<l,所以，V2<2c<2.

2

当6=1时，a=—,c=^->止匕时6>c-a,

222

即此时以名为圆心，C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点，合乎题意.

因此，C的焦距的取值范围为［应,2).

故答案为.[a,2)

四、解答题

17.已知/8C的边所在直线的方程分别为y=-l,2x-y+7=0,点尸(1,2)在边8c

上.

(1)若4BC为直角三角形,求边BC所在直线的方程；

(2)若P为8C的中点，求边5c所在直线的方程.

【正确答案】(l)x+2y-5=0或x=l

(2)3x+2y-7=0

【分析】(1)先判断角A不是直角，在分别讨论角8或角C为直角的情况，利用题意求解即

可

(2)由题意可设8(〃?,-1),再利用条件求出参数，然后求出边8c所在直线的斜率，最后

利用公式求解直线方程即可.

【详解】(1)由/5C的边所在直线的方程分别为y=-l,2x-y+7=0,

可知角A不是直角，

若角8是直角，由点尸在边8C上，

得边BC所在直线的方程为x=1；

若角C是直角，由边4C所在直线的方程为2x-y+7=0,

得边8c所在直线的斜率为又点P在边3c上，

所以边3c所在直线的方程为y-2=-；(x-1),即x+2y-5=0.

(2)由题意可设3(叫-1),由2为打C的中点,得C(2-肛5),

将点C的坐标代入边/C所在直线的方程2x-y+7=0,

得2(2-m)-5+7=0,

所以6-2加=0,解得m=3,所以C(一1,5),

得边BC所在直线的斜率为5一-2。=-34,

-1-12

4

所以边8c所在直线的方程为y-2=-](x-l),

即3x+2y-7=0.

18.已知各项均为正数的等比数列｛%｝满足。2%=%，3%+2%=%.

(1)求｛%｝的通项公式;

(2)令2=log3%.，将数列｛q｝与｛2｝中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成

新数列£｝,求｛%｝的前50项的和.

【正确答案】⑴%=3"T

(2)3181.

【分析】(1)设等比数列｛《,｝的公比为q,然后根据题意列出等式，进行联立即可得到q=1

«=3,即可求解;

(2)先得到｛%｝的前50项是由｛勺｝的前5项与｛b,,｝的前45项组成，然后利用分组求和法

即可求解

【详解】(1)设等比数列｛《,｝的公比为,由题意得

2

3a3+=a3q'

因为等比数列中%#0，/工0,所以:'12,又4>0,解得9=3,

3+2q=q

所以a.=1x3"'=3"T,即｛%｝的通项公式为an=3"-'.

(2)由(1)知包=log333"T=3〃-l,

因为“5=134,%=31=81<134,4=31=243>134,

所以｛qj的前50项是由｛4｝的前5项与也｝的前45项组成，

记匕,｝的前50项的和为名)，贝1J

S50=(%+42+--------(■)+(4+%2+4---

234

=(1+3+3+3+3)+[2+5+8+---+(3X45-1)]=1^+^1I2^Z1)X45==121+3060

=3181.

所以｛。｝的前50项的和为3⑻.

19.己知直线x-y-2=0经过抛物线C：必=2/(/?>0)的焦点尸，且与C交于48两点.

(1)求。的方程；

(2)求圆心在x轴上，且过48两点的圆的方程.

【正确答案】(l)/=8x；

(2)(x-10)2+/=96.

【分析】(1)求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答.

(2)根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答.

【详解】⑴依题意,抛物线C的焦点叱,0)在直线》7-2=0上，则片2=0,解得p=4,

所以C的方程为/=8x.

(2)由(1)知,抛物线C的准线方程为x=-2,设火西,必)，8(々,打)，48的中点为

由“''J。消去y得X2-12X+4=0，则%+工2=12，有/=*'=6,y0=x0-2=4,

=8x2

即M(6,4),

因此线段的中垂线方程为y-4=-(x-6),即y=-x+10,

令y=0,得x=10,设所求圆的圆心为E,则E(10,0),

又48过C的焦点凡则有卜御=|4可+|昉|=/+2+/+2=16,

设所求圆的半径为，，则/•?=写1]+|^£|2=82+42+42=96,

故所求圆的方程为(x-IO)?+/=96.

20.如图，在直三棱柱4BC-4AG中，/8/C=90。，AB=AC=2,AAt=2>/2.M是4B

的中点，N是B£的中点，P是8a与8。的交点.

（1）求直线4P与平面4CA7所成角的正弦值：

（2）线段4N上是否存在点Q,使得PQ//平面4cM?

【正确答案】（1）叵

（2）存在

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值；

（2）设出羽=彳而（04241）,结合第一问中求出的平面4cM的法向量，需71耳,

从而装用=0,列出方程，求出/I的值，得到答案.

【详解】（1）以力为原点，AC,AB,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系.

因为4,C,〃的坐标分别为（0,0,2&）,（2,0,0）,（0,1,0）,所以丞=（2,0,-2近）,

4W=（0,1,-272）.

万.布=0

设】=(x,y,z)是平面4c〃的法向量，贝人

n-AXM=0

2x-2V2z=0X=-Jlz

即r-所以

y-2y/2z=0y=2y[lz

取Z=6,贝h=2,y=4,所以3=(2,4,四)是平面4cM的一个法向量.

P点坐标为(1』,正)，所以乖

设4P与平面4CW所成的角为仇

|»-y||2+4-2|_722

则sin0=

郎网一夜xT11

(2)由4,N的坐标分别为(0,0,2闾,(1.1.2V2),故丽=(1,1,0),

设通=义和(04/141),则而=(/U,0),得。卜,人2&),

又P点坐标为(1,1,V2),所以直线P0的一个方向向量而=卜-1以-1,,

若PQ〃平面4cM,需;;_L而，从而£而=0,

即2(2-I)+4(；l-l)+2=0,解得2=：,这样的点尸存在.

所以线段4N上存在点0,使得产。//平面&CM,此时，。为线段4N上靠近点N的三等

分点.

21.已知数列包｝的前〃项和为S,,,也｝是等差数列，且S.+l=gs“…4=6=2,々是对，

优的等差中项.

⑴求｛〃"｝,｛4｝的通项公式；

(2)iB^=—+-^-+-^-+---+—,求证：T+\-b

a„3a„-24

【正确答案】(1)。“=2"，b„=n+\

(2)证明见解析

【分析】⑴利用/=，-Si可得到〃22时，an+t=2,,然后求出。？=2q,即可求出｛%｝

的通项公式，设等差数列也｝的公差为d,利用等差中项可得到2、+2+2d=2(2+4d),求

出d即可求解；

(2)利用错位相减法求出。，即可求证

【详解】(1)因为S“+l=g所以当〃22时，得S,i+l=；S“，

两式作差得，当“22时，。“=3怎+1,即“22时，a„+l=2an.

又4=2,S|+l=gs2，得3=；(2+%)，解得的=4,所以。2=24,

所以｛2｝是首项为2,公比为2的等比数列，所以见=2".

设等差数列｛〃｝的公差为力因为"是小，”的等差中项，所以。3+仇=2々，

又&=2,所以23+2+2d=2(2+4d),解得"=1,

所以4,=2+(〃-l)xl=〃+1,

故%=2",b„=n+\.

(2)由(1)知4=17+3+白+…+等，①

234n

21,=yr+广+广+",+]+(N+I