黑龙江省牡丹江市2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

黑龙江省牡丹江市2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

（解析版）

一、选择题（每小题3分，满分30分）

1.（3分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图

形的是（）

■D.

2.（3分）已知△A8C的三条边分别是b,c,化简-〃+c|-|a-b-c|的结果为（）

A.2a-2bB.2a-2cC.a-2bD.0

3.（3分）如图，NA+NB+NC+NO+NE+NF的度数为（）

4.（3分）下列条件中能判定△ABC会△£>用的是（）

A.AB=DE,BC=EF,ZA=ZDB.NA=ND,/B=NE,NC=/F

C.AC=DFfNB=NF,AB=DED.NB=NE,/C=/F,AC=DF

5.（3分）具备下列条件的二角形中，不是直角三角形的是（）

A.ZA+ZB^ZCB.N8=NC=>1/A

2

C.NA-ZB=90°D.ZA=90°-ZB

6.（3分）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多边形

的边数为（）

A.5B.5或6C.6或7D.5或6或7

7.（3分）如图，已知/B=N。，AB=AD,添加下列条件：①AC=AE；②N1=N2；③

BC=DE；④中的一个，能使△ABC丝△ADE的条件有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

8.（3分）如图，在五边形ABCDE中，NB=/E=90。，ZCAD=yZBAE'AB=AE,且

CD=4,AE=3,则五边形ABCOE的面积为（）

9.（3分）如图，ZACB=ZDCE=9Q°,DC=EC,AC=HC=4,点A在。E上，若AD：

AE=1：3,则两个三角形重叠部分的面积为（）

A.6B.9C.12D.14

10.（3分）如图，在△ABC中，三条角平分线BE、CF、AO交于点0,OHLBC交于点H,

两个外角角平分线BM、CM交于点M,BE延长线交CM反向延长线于点N.则下列结

论中：①0。平分/80C；②当NBAC=60。时，BC=BF+CE；③ND0H=N0CB-N

OBC；®ZB0C-NM=2NN；@S&ABC=L（）H（AB+BC+AC）；（,AB+BC-

22

AC）.其中正确的个数有（）

A

A.3个B.4个C.5个D.6个

二、填空题（每小题3分，满分30分）

11.（3分）如图，点E,C在BF上，BE=CF,ZA=ZD=9Q°,请添加一个条

件___________________,使RtAABC^RtADFE.

12.（3分）若等腰三角形△ABC的周长是16,A8=6,则8C=.

13.（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180。，这个多边形的边数

为.

14.（3分）如图，在平面直角坐标系中，ZiABC的顶点分别为A（3,3）,B（-1,1）,C

（2,1）,若要使△ABC与△O8C全等，则点。的坐标为

15.（3分）如图，将AA8c沿着。E向内翻折，使点8落到点P处，AP,CP分别平分/

BAC^HZACB.若/1+/2=80°,则/4PC=

A

16.（3分）己知△ABC,边48、AC的垂直平分线交8c分别为P、Q两点，若/以。=30°,

则ZBAC=度.

17.（3分）如图，在△ABC中，OE垂直平分AC,ZEBC+ZABE=\SO°,EF_L4B于点F,

交。E于点E,AF=10,BC=8,贝UA8=.

18.（3分）如图，若AC平分/BC£>,ZB+ZD=180°,AE_LBC于点E,BC=\3cm,CD

=7cm,则BE=.

19.（3分）如图，在△ABC中，ZBAC=90Q,AB=AC,点。在线段BC上，ZB=2Z

CDE,CELDE,于点E,Z）E交AC于点F,若SZXFCD=4,则CE=

20.（3分）如图，在Rtz\4BC中，ZACB=90°,AC=BC,ZABC=45°，点。为BC中

点、,CEJ_A£）于点E,其延长线交AB于点F,8何，<：尸交。尸延长线于点时，CN平分/

ACB交A。于点G,交AB于点N,连接OF,则下列结论：@ZADC=ZBDF；②A£>=

CF+DF-,©S^ACD^S^CDF；④/AGN=NBFD；⑤AE-BM=EM；©ZADF=2ZCAD.其

中正确的有.（只填序号）

三、解答题（满分60分）

21.（12分）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，AABC的顶点在网格线交点上.

（1）作出△4BC关于x轴的对称图形△AiBiCi，直接写出点Ai的坐标；

（2）作出△ABC关于y轴的对称图形282c2,直接写出点A2的坐标；

（3）直接写出点A关于直线m（直线m上各点到x轴的距离都为1）的对称点的坐

标.

咻

：A

22.(12分)如图，在△ABC中，ZB=ZC,CE_LBC于点。，£>F_LAB于点凡ZAED=

155°,CE+CD=BC.

(1)求证：△BF£>丝△C£>E；

(2)求NEO尸的度数.

BDC

23.（8分）在△A8C中，ZA=50°,ZB=60°，点。在直线A8上，连接CO,若△AC£>

为直角三角形，请用尺规或三角板画出符合条件的图形，并直接写出N8CD的度数.

24.(14分)课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：

如图①，AO是△ABC的中线，若48=3,AC=5,求AO的取值范围.

“善思小组”通过探究发现，延长AQ至点E,使E£>=A£>,连接CE,可以证出△AQB

以EDC,利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到△ACE中，进而求出

AO的取值范围.

从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，

我们把这种方法叫做“倍长中线法”.

请你利用“善思小组”的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△AOB出△££)(7的理由是：

A.SSS

B.AAS

C.HL

D.SAS

(2)求得的取值范围是：

A.3<AD<5

B.3W4OW5

CA<AD<4

D1WAOW4

解题时，条件中若出现“中点”或“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，

把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一三角形中.

根据上面解题方法的启发，请你解答问题.

(3)如图②，在△ABC中，A8>AC,点。，E在BC上，点E是CD的中点，DF//AB

交AE于点凡DF^AC.

求证：AE平分NBAC.

25.(14分)探究式学习是新课程倡导的重要学习方法，某数学兴趣小组拟做以下探究.

如图，在aABC中，BD、CE分别是AC、A8上的高，点G在直线CE上，CG=AB,点

厂在直线上，BF=AC,FNLBC于点、N,GM_L3C于点M.探究线段BC,FN,GM

之间的数量关系.

(I)如图①，当△4BC是锐角三角形时,线段BC,FN,GM之间的数量关系

是.

“善思小组”通过探究后发现解决此问题的方法：过点A作AP_L8c于点P,利用全等

三角形的性质进而得证.请你写出证明过程.

下面是小强的部分证明过程，仔细阅读并完成相应的任务.

证明：过点A作AP_LBC于点P.：.ZAPB=ZCMG=90a.

/.ZAPB=90°.在△APB和△CMG中，

：.ZBAP+ZABP=90°.•：NBAP=NGCM,

'."CELAB,NAPB=/CMG,AB=CG,

：.ZBCE+ZABP=90°.：.(A4S).

:.NBAP=NBCE.:.BP=GM.

'：GM±BC,

...NCMG=90°.

请你补全余下的证明过程.

(2)通过类比、转化、猜想，探究出：当aABC是钝角三角形，且48>AC时，如图②

线段BC,FN,GM之间的数量关系是;当△ABC是钝角三角形，且

ABVAC时，如图③，线段3C,FN,GM之间的数量关系是.

(3)“智慧小组”继续对上述问题进行特殊化研究后，提出下面问题请你解答：

在(1)和(2)的条件下，若MN=2BC=8,CD：AD=\：3,贝ISABCD=.

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，满分30分）

1.（3分）中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，不是轴对称图

形的是（）

大至

A.B.

中国

【分析】根据轴对称图形的概念对各个汉字进行判断即可得解.

【解答】解：A、“大”是轴对称图形，故本选项不合题意；

8、“美”是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、“中”是轴对称图形，故本选项不合题意；

。、“国”不是轴对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

2.（3分）已知△ABC的三条边分别是a,h,c,化简|a-6+c|T”-人-c|的结果为（）

A.2a-2bB.2a-2cC.a-2bD.0

【分析】根据三角形的三边关系定理得出a+c>8,b+c>a,再去掉绝对值符号后合并同

类项即可.

【解答】解：:a、b、c是△ABC的三边，

.'.a+c>b,b+c>a,

|a-b+c\-\a-b-c\—a-b+c+a-b-c—2a-2b,

故选：A.

【点评】此题考查三角形三边关系，关键是根据三角形的三边关系定理得出a+c>6b+c

>a解答.

3.（3分）如图，N4+NB+NC+ZO+NE+N/的度数为（）

A.180°B.270°C.300°D.360°

【分析】根据三角形的内角和，可得答案.

【解答】解：在AACE和△BDF中，

/A+/C+/E=180°,ZB+ZD+ZF=180°,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=180°+180°=360°,

故选：D.

【点评】本题考查了三角形的内角和，利用三角形的内角和是解题关键.

4.（3分）下列条件中能判定AABC丝△£>£：/的是（）

A.AB=DE,BC=EF,/A=/OB./A=/O,/B=NE,/C=NF

C.AC=DF,NB=NF,AB=DED.NB=NE,ZC=ZF,AC=DF

【分析】全等三角形的判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS,而SSA,A4A都不能判定两

三角形全等，根据以上内容判断即可.

A、根据AB=QE,BC=EF,ZA=ZD,不能判断△ABC丝△£>£〃，故本选项错误；

B、根据NA=NO,NB=NE,NC=/F,不能判断△4BC丝△OEF,故本选项错误；

C、根据4c=。凡NB=NF,AB=DE,不能判断△ABC四△OEF,故本选项错误；

D、；在△ABC和尸中

2B=NE

'NC=NF，

AC=DF

:.AABC冬ADEF（AAS）,故本选项正确；

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，题目比较好，但是一道比较容易出错的

题目，全等三角形的判定方法有：SAS,AS4,AAS,SSS.

5.（3分）具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZCB.ZB=ZC=AZA

2

C.ZA-Zfi=90°D.ZA=90°-ZB

【分析】根据三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可.

【解答】解：A、VZA+ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=I80°

.\2ZC=180°,解得NC=90°,

此三角形是直角三角形，故本选项错误；

B、ZA=ZB=1ZC,

2

♦•♦设NA=/B=x,则/C=2x.

VZA+ZB+ZC=180",

.•.x+x+2x=180°,解得x=45。，

：.ZC=2x=90°,

此三角形是直角三角形，故本选项错误；

C、,/ZA-NB=90°

AZA=90°+ZB>90°

此三角形是钝角三角形，故本选项正确；

。、：/A=90°-ZB,

：.ZA+ZB=90°,

AZC=90°,

此三角形是直角三角形，故本选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的

关键.

6.（3分）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多边形

的边数为（）

A.5B.5或6C.6或7D.5或6或7

【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数.

剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1,

②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，

③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1,

设内角和为720°的多边形的边数是〃，

:.（〃-2）780=720,

解得：n=6.

则原多边形的边数为5或6或7.

故选：D.

【点评】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键.

7.（3分）如图，已知AB=AD,添加下列条件：①AC=AE；②Nl=/2；③

BC=DE；④中的一个，能使△ABC丝△AZJE的条件有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断.

【解答】解：AB=AD,

当添加AC=AE,不能判断△ABC0/V1OE；

当添加N1=N2时，则NBAC=ND4E,所以△ABC岭ZVIOE(ASA)；

当添加BC=QE时，所以△ABC丝△?!£>£(SAS)；

当添加/C=/E时，所以△ABC丝△AOE(SS4).

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问

题的关键.选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件.

8.(3分)如图，在五边形48CDE中，ZB=ZE=90°,ZCAD=yZBAE-A8=AE,且

CO=4,4E=3,则五边形A8CDE的面积为()

【分析】可延长OE至F,使EF=BC,可得△A8F丝连AC,AD,AF,可将五

边形ABCDE的面积转化为两个△AOF的面积，进而求出结论.

【解答】解：延长CB到凡使BF=£>E,连接AF,

'：AB=AE,BF=DE,Z£=ZABF=90°,

/\AFB^/\ADE(SAS),

：.AF=AD,NDAE=NFAB,AB=AE=3,

；/CA£>=」/8AE=」CZDAE+ZBAD）=」•/布。，

222

：.ZFAC=ZDAC,

：./\AFC^/\ADC（ASA）,

：.FC=CD=4,

...五边形MCDE的面积=Saafc+SAACD=2SAAFC=2x|x3X4=12.

故选：D.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

9.（3分）如图，ZACB=ZDC£=90°,DC=EC,AC=8C=4,点A在。E上，若A。：

AE=1：3,则两个三角形重叠部分的面积为（）

A.6B.9C.12D.14

【分析】连接BE,设AB与CE交于点O,过点。作于M,OMLBE于N,先

证△OCA和△ECB全等得4£>=8E,ND=NCEB,进而得BE：AE=\：3,再证0例=

ON,根据三角形的面积公式可得出SABOE=』BE,OMS“OE=2AE・OM,则SMOE：S

22

MOE=BE：AE=\：3,然后根据△BOE和△AOE等高得SABOE：S^AOE=OB：OA=\：

3,由此可得OA：AB=3：4,最后根据△OAC和△4BC等高得&AOC：S^ABC=OA：AB

=3：4,据此可求出S“oc的面积.

【解答】解：连接BE,设AB与CE交于点O,过点。作OMJ_AE于M,ONLBE于N,

：.NACO+NECB=ZACO+ZDCA,

即NOC4=/ECB,

在和△EC8中，

'AOBC

,ZDCA=ZECB，

DC=EC

(SAS),

：.AD=BE,/D=/CEB,

VAD：AE=1：3,

：.BE：AE=1：3,

VZDCE=90",DC=EC,

•••△DCE为等腰直角三角形，

工ND=NCED=45°,

：.ZCEB=ZCED=45°,

即OE为N4E8的平分线，

，OM=ON,

♦：SABOE=LBE*ON,S/SAOE=LE・OM，

22

:・S&BOE：S^AOE=BE：AE=1：3,

又丁/XBOE和△AOE等高，

:・S&BOE：S^AOE=OB：OA=\：3,

：.OA：48=3：4,

,•.△OAC和△ABC等高，

**•S/^AOC*S/\ABC=OA：AB=3：4，

.,.SA^OC=^SAABC=1XAX4X4=6.

442

故选：A.

【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的

面积公式等，正确地添加辅助线构造全等三角形，灵活运用三角形的面积公式进行计算

是解决问题的关键.

10.(3分)如图，在△ABC中，三条角平分线BE、CF、A。交于点。，OH_L8C交于点H,

两个外角角平分线8M、CM交于点M,BE延长线交CM反向延长线于点M则下列结

论中：①。。平分/BOC；②当/BAC=60°时，BC=BF+CE；®ZDOH=ZOCB-Z

OBC；④NBOC-/M=2/N；⑤SAABC=」OH(AB+8C+AC)；⑥8"=工(AB+BC-

22

AC）.其中正确的个数有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【分析】因AB^AC,可知N08ANNAC。，即可得NBOO#NOOC,判断①不正确；

当NBAC=60°时，在BC上截取B/=BF,连接。/,证明△0B/名△OBF(SAS),可得

NOIB=/OFB,即得NC70=/CE0,从而证明△C70丝△CEO(ASA),有CI=CE,

可得BC=8F+CE,判断②正确；由/£＞。"=90°-Z00/7=90°-(ZBAD+ZABC)

=90°-ZBAD-ZABC,ZBAD=AZ/?AC=A(180°-/ABC-ZACB),可得

22

="1NAC2-IZABC^ZOCB-ZOBC,判断③正确；由BN平分/ABC,BM平分/

22

PBC,可得/M8N=NMBC+/N8C=_1(/PBC+NABC)=90°，故/M=90°-ZM

2

同理NCON=90°-NN,即得/M+/CCW=180°-2NN,即/M+180°-NBOC=

180°-2NN,得NBOC-NM=2NN,判断④正确；因O到AB,AC的距离都等于OH,

故S^AHC=S^AOH+S^BOC+S^COA=^A^OH+1BC-OH+1AC'OH=XOH(A8+BC+AC),

2222

判断⑤正确；过。作OKJ_AB于K,。兀L4C于7,由(BK+AK)+(BH+CH)-(AT+CT)

=AB+BC-AC,而BH=BK,AK=AT,CT=CH,可得(AB+BC-AC),判断⑥

2

正确.

【解答】解：•「AB¥AC,

.'.ZABC^ZACB,

工/AC8,即/OBA#NACO,

22

VZBOD=ZBAD+ZOBA,ZDOC=ZDAC+ZACO,ZBAD=ZDAC,NBAD=NDAC,

"BOD丰匕DOC,

不是NBOC的平分线，故①不正确；

当NBAC=60°时，在8c上截取B/=B凡连接0/,如图:

VZOBC+ZOCB=(180°-ZBAC)4-2=60°,

AZBOC=120°,

：.ZEOF=ZBOC=120°,

；./AFO+/AEO=180°,

VZCEC>+ZA£O=180°,

：.ZCEO=ZAFO,

在△08/和AOB尸中，

'BI=BF

-NOBI=NOBF，

OB=OB

.♦.△OB修△OB尸(SAS),

：.ZOIB=ZOFB,

；.180°-/O/8=180°-NOFB,即/C70=/AF0,

：.ZCIO=ZCEO,

在△C/O和中，

，ZICO=ZECO

<oc=oc，

ZCIO=ZCEO

:.△CIO9/\CEO(ASA),

：.CI=CE,

•:BC=BI+CI,

：.BC=BF+CE,故②正确；

如图：

A

M

：OH_LBC于H,

，/OH£)=90°,

AZDOH=900-NODH=90°-(ZBAD+ZAHC)=90°-ABAD-AABC,

；/BAO”/BACT(1800-ZABC-ZACB),

22

NDOH=9Q°-A(180°-ZABC-ZACB)-ZABC^l.ZACB-^ZABC=ZOCB

222

-NOBC,故③正确；

平分/ABC,8M平分NPBC,

：.NMBN=NMBC+NNBC=L(NPBC+NABC)=90°,

ZM=90Q-/N；

同理可得/MCO=90°,

NCON=90°-NN,

...NM+NCON=180°-2ZN,

而/CON=180°-ZBOC,

.,.ZM+1800-ZSOC=180°-2NN,

：.ZBOC-ZM=2ZN,故④正确；

：△ABC三条角平分线BE、CF、AO交于点。，OHVBC,

O到AB,AC的距离都等于OH,

SAABC—S^AOB+S^BOC+S^COA=-^AB*OH+—BC*OH+—AC*OH=—OH(.AB+BC+AC),

2222

故⑤正确；

过。作OK_LAB于K,OT_LAC于T,如图：

"：BK+AK=AB,BH+CH=BC,AT+CT=AC,

：.(BK+AK)+(BH+CH)-CAT+CT)^AB+BC-AC,

：.(BK+BH)+CAK-AT)+(CH-CT)=AB+BC-AC,

由角的对称性可知，BH=BK,AK=AT,CT=CH,

：.2BH=AB+BC-AC,

：.BH=1.(A8+BC-AC),故⑥正确；

2

.•.正确的有：②③④⑤⑥，共5个；

故选：C.

【点评】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形内角和定理的

应用，角平分线的性质及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和直角

三角形解决问题.

二、填空题(每小题3分，满分30分)

11.(3分)如图，点£,C在B尸上，BE=CF,NA=ND=90°,请添加一个条件DE

=AC(答案不唯一)，使RtA,4BC^RtA£)F£.

【分析】根据直角三角形的判定方法解答即可.

【解答】解：添加。E=AC,

'：BE=CF,

：.BE+EC=CF+EC,

即EF=CB,

在RtAABC与RtADFE中,

[DE=AC,

1EF=CB'

，RtA4BC丝Rt△。尸E(HL).

故答案为：DE=AC(答案不唯一).

【点评】此题考查直角三角形的判定，关键是根据HL证明RtaABC丝RtZV)FE解答.

12.(3分)若等腰三角形△4BC的周长是16,AB=6,则BC=4或5或6.

【分析】根据等腰三角形的性质，需要分类讨论.

【解答】解：根据题意可知需要分三种情况：

①当AB=8C=6时，三角形的底边AC=4,可构成三角形，符合题意；

②当AB=AC=6时，BC=4,符合题意；

③当BC=AC时，因为AB=6,等腰三角形的周长为16,所以BC=AC=(16(16-6)

♦2=5,

综上，BC的长为4或5或6.

故答案为：4或5或6.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论思想等相关知识，知道在指代不明

时需要分类讨论是解题的关键.

13.(3分)一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180。，这个多边形的边数为7.

【分析】根据多边形的内角和公式(n-2)-180°,外角和等于360°列出方程，然后求

解即可.

【解答】解：设这个多边形的边数是〃，根据题意得，

(n-2)*180°=2X360°+180°,

〃=7.

故答案为：7.

【点评】本题考查了多边形的内角和与外角，熟记多边形的内角和公式与外角和定理是

解题的关键，需要注意，任何多边形的外角和都是360°,与边数无关.

14.(3分)如图，在平面直角坐标系中，AABC的顶点分别为A(3,3),B(-h1),C

(2,1),若要使△ABC与△O8C全等，则点2的坐标为(3,-1)或(-2,-1)

或(-2,3).

y

【分析】根据全等三角形的性质解得即可.

【解答】解：(3,3),B(-1,1),C(2,1),要使aABC与△£>BC全等,

二。的坐标为：(3,-1)或(-2,-1)或(-2,3),

15.(3分)如图，将AABC沿着DE向内翻折，使点B落到点P处，AP,CP分别平分N

BAC和NACB.若Nl+N2=80°,则NAPC=110°.

【分析】根据翻折的性质得出NB=NQPE,进而利用角平分线的定义和三角形内角和定

理解答即可.

【解答】解：；将△A8C沿着。E向内翻折，

.'.ZB=ZDPE,NBDE=/EDP,ZBED=ZDEP,

VZ1+Z2=8O°,

:.NBDE+/BED=(360°-80°)+2=140°,

/.ZB=180°-140°=40°,

：.ZBAC+ZACB=\80°-40°=140°,

"：AP,CP分别平分NBAC和/AC8,

:./%cS/BAC,NACP=JL/ACB,

22

AZ/MC+ZACP=70°,

，/APC=180°-70°=110°,

故答案为：110°.

【点评】此题考查翻折的问题，关键是根据翻折的性质得出N8=NOPE解答.

16.(3分)已知△ABC,边48、AC的垂直平分线交BC分别为P、Q两点，若NRlQ=30°,

则NBAC=75或105度.

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AP=BP,AQ

=CQ,再根据等边对等角的性质可得N8AP=NB,ZCAQ=ZC,然后代入数据进行计

算即可得解.

【解答】解：如图1,

•.•边A3、AC的垂直平分线交8C分别为P、。两点，

：.PB=PA,QA=CQ,

:.NB=NBAP,ZC=ZCAQ,

：.ZBAP+ZCAQ=^X(180°-ZPAQ)=Ax(180°-30°)=75°,

22

...NBAC=/BAP+/C4Q+/B4Q=75°+30°=105°,

如图2,•.•边AB、AC的垂直平分线交BC分别为P、Q两点，

：.PB=PA,QA=CQ,

；.NB=NBAP,ZC=ZCAQ,

，NBAP+NCAQ=2X(180°+ZPAQ')=1-x(180°+30°)=105°,

22

：.ZBAC^ZBAP+ZCAQ-ZPAQ=105°-30°=75°,

故答案为：75或105.

.w

图1

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，分类讨论思想,

关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

17.（3分）如图，在△ABC中，OE垂直平分AC,ZEBC+ZABE=\SO°,于点F,

交DE于点、E,AF=10,BC=8,则48=12

【分析】连接EC,过点E作EHLCB交CB的延长线于H,根据角平分线的性质得到

EF=EH,证明•丝Rtz\8E//,得至U3F=BH,证明Rt/XAEF之RtZ\CEH,得到AT

=CH,把已知数据代入计算即可.

【解答】解：如图，连接EC,过点E作EaJ_CB交CB的延长线于从

■:NEBC+NEBH=180°,ZEBC+ZABE=i80°,

:.NEBH=/ABE,

'：EHA.BH,EFLBA,

：.EF=EH,

在RtABEF和RtABEH中,

[EF=EH,

1EB=EB，

.,.RtAfiEF^RtAB£/7(HL),

：.BF=BH,

垂直平分AC,

：.EA=EC,

在RtAAEF和Rt/\CEH中,

AE=CE

EF=EH

ARt/\AEF^Rt/\CEH(HL),

：.AF=CH,

：.AB-BF=BC+BH,即10-BF=6+BF,

解得：BF=2,

，AB=10+2=12,

故答案为：12.

【点评】本题考查的是直角三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握直

角三角形全等的判定定理是解题的关键.

18.（3分）如图，若AC平分/BCD,ZB+Z£>=180°,AE_LBC于点E,BC=\3cm,CD

=7cm,则BE=3cm.

【分析】过A点作AF±CD于F,根据A4S证明△然£与△AOF全等，进而利用全等三

角形的性质解答即可.

【解答】解：过A点作AF_LC£）于凡如图，

,：AC平分NBCD,AELBC于点E,

：.AE=AF,EC=CF,

VZB+ZADC=180°,NADC+NADF=180°,

，NB=ZADF,

在aABE与△AOF中，

，ZADF=ZB

■ZAFD=ZAEB=90°.

AE=AF

A/\ABE^/\ADF(AAS),

:,BE=DF,

'•BC—13cw»CD=】cm,

：.BC=BE+EC=BE+CF=BE+CD+DF=2BE+CD,

即I3=7+2BE,

解得：BE=3cm,

故答案为：3。".

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据A4S证明AABE与△AZ5F全等

解答.

19.(3分)如图，在△ABC中，N8AC=90°,A8=4C,点。在线段BC上，ZB=2Z

CDE,CELDE,于点E,DE交AC于点、F,若SMCD=4,则CE=2.

【分析】过点力作QG〃A8交CE的延长线于G,交AC于H,先证△OEG和△OEC全

等得GE=CE,贝IJCG=2CE,再证为等腰直角三角形得CH=DH,进而可证4

CGH和△DFH全等得CG=£)F,则DF=2CE,然后根据5AFCD=4即可求出CE的长.

【解答】解：过点。作。G〃A8交CE的延长线于G,交AC于4,如图所示：

在△A8C中，/8AC=90°,AB=AC,

：.ZB=ZACB=45°,

"：ZB=2ZCDE,

：.ZCDE=22.5°,

'JDG//AB,

：.ZGDC=ZB=45°,

AZGDE=ZCDE=22.5°,

'JCEA.DE,

:.NGED=NCED=90°,

在△£>£<；和△DEC中，

rZGAE=ZCDE

'DE=DE，

ZGED=ZCED=90°

.♦.△OEG丝△DEC(ASA),

:.GE=CE,

:.CG=2CE,

在RtZ^OEG中，ZGDE=22.5°,则NG=67.5°,

在RtZXCG“中，ZG=67.5°,则NGC”=22.5°,

:"GCH=4GDE=225°,

'：DG//AB,/BAC=90°,

；.NDHC=90°,

又,；/4CB=45°,

...△HOC为等腰直角三角形，

：.CH=DH,

在中，ZGDE=22.5°,则NO尸”=67.5°,

：.ZG=ZDFH=61.5°,

在△CGH和△OF”中，

'NGCH=NGDE

-CH=DH.

ZG=ZDFH

：./\CGH^/\DFHCASA),

：.CG=DF,

：.DF=2CE,

,•SAFCD=4,

：.XDF'CE=4,

2

即2X2CE・CE=4,

2

：.CE=2.

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟

练掌握等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的

关键.

20.（3分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC,NA8C=45°，点D为BC中

点,CE_LAO于点E,其延长线交A8于点F,8WJ_C尸交C尸延长线于点M,CN平分N

ACB交AO于点G,交A8于点N,连接。凡则下列结论：①NAOC=/B0F；®AD=

CF+DF；③S（MCD=3SACW';④/AGN=NBFD；⑤AE-BM=EM；®ZADF=2ZCAD.其

中正确的有①②③④⑤⑥.（只填序号）

【分析】在RtZ\48C中，/ACB=90°,AC=BC,/ABC=45°,点。为BC中点，

CE_L4。于点E,其延长线交48于点凡BM_LC/交C尸延长线于点M,CN平分乙4c8

交AD于点G,交AB于点N,连接DF,则下列结论：®ZADC=NBDF；®AD=CF+DF；

@S^ACD=3S^CDF；④NAGN=NBFD；®AE-BM=EM■,®ZADF=2ZCAD.其中正

确的有

【解答】解：①过点B作BHLBC交CM的延长线于H,如图所示：

二/ACE+/2=90°,ZACE+Z1=90°,/ACB=/CB"=90°,

二/1=/2,

在△ACO和△C8H中,

'/1=/2

•AC=BC

ZACB=ZCBH=90°

.,.△AC。丝△CBH(ASA),

AZADC=ZH,AD=CH,CD=BH,

；点。为BC的中点，

：.BD=CD=BH,

；NCBH=90°,ZABC=45°,

：.ZFBH=45°,

:.NFBH=NFBD=45°,

在△尸8”和△F8D中，

，BD=BH

<ZFBH=ZFBD-

BF=BF

:.丛FBH迫4FBD(SAS),

：.NH=NBDF,NBFH=NBFD,FH=DF,

:.NADC=NBDF,

故结论①正确；

②'：AD=CH=CF+FH,

又,：FH=DF,

：.AD=CF+DF,

故结论②正确；

③•.•点。为8c的中点，

ACDF和△尸8。等底同高，

••S&CDF-S&FBD，

又,：AFBH会/\FBD,

:♦SAFBH=S»BD，

即s&CDF=S&FBD=S4FBH，

:・S4CBH=3S&CDF,

'：XACD^XCBH,

S&ACD=SACBH=3S&CDF，

故结论③正确；

④：4C=8C,CN平分N4CB,

：.CN±AB,

:.NGAN+NAGN=90°,

,CCE1.AD,

：.ZGAN+ZAFE=90°,

/.NAGN=ZAFE,

又ZAFE=NBFH=NBFD,

：.NAGN=NBFD,

故结论④正确；

@'：CELAD,BMLCF,

：.ZAEC=ZCMB=90°,

在△4CE和△CBM中，

'N1=N2

<ZAEC=ZCMB=90°，

AC=BC

AAACE^ACBM(AAS),

：.AE=CM,CE=BM,

：.AE-BM=CM-CE=EM,

故结论⑤正确；

@"：CE1.AD,

.♦.N2+N43C=90°,

即2/2+2/A£>C=180°,

；ZADC+ZADF+ZBZ)F=180°,

由结论①正确得：NADC=NBDF,

：.2ZADC+ZADF=180°,

.\2Z2=ZADF,

即/A。/=2/2=2/1=ZCAD,

故结论⑥正确.

综上所述：正确的结论是①②③④⑤⑥.

故答案为：①②③④⑤⑥.

【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作

出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键.

三、解答题（满分60分）

21.(12分)如图所示，在边长为1的小正方形网格中，△4BC的顶点在网格线交点上.

(1)作出AABC关于x轴的对称图形△AiBiCi，直接写出点Ai的坐标(-2,-4)

(2)作出△ABC关于y轴的对称图形AA282c2，直接写出点42的坐标(2,4)；

(3)直接写出点A关于直线水直线〃?上各点到x轴的距离都为1)的对称点的坐标

2,-2）或（-2,-6）

【分析】(1)根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；

(2)根据轴对•称变换的性质找出对应点即可求解：

(3)根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解，注意对称轴机有两条.

【解答】(1)如图所示，△AiBiCi即为所求，4(-2,-4),

故答案为：(-2,-4)；

(2)如图所示，△42B2C2，即为所求，(2,4),

故答案为：(2,4)；

(3)如图所小，A'(-2,-2)或4"(-2,-6).

故答案为：(-2,-2)或(-2,-6).

y八

【点评】本题考查了作图-轴对称变换，熟记轴对称变换的性质是解题的关键.

22.(12分)如图，在△ABC中，NB=NC,DE_LBC于点。，_L4B于点/，4AED=

155°,CE+CD=BC.

(I)求证：ABF。经/\CDE；

(2)求NEQF的度数.

【分析】(1)根据44S可证明ABFDg△CDE；

(2)由全等三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案.

【解答】(1)证明：•.,BO+CO=BC,CE+CD=BC,

：.BD=CE,

'：DE±BC,DFA.AB,

:.NDFB=NEDC=90°,

在△8FD和△(：£)£；中，

'NB=NC

<ZBFD=ZCDE>

BD=CE

:.△BFD^ACDE(4AS)；

(2)解：VZAED+ZCED=\SO°,ZAED=\55Q,

AZCE£)=180°-NAED=25°,

■:/\BFD丝ACDE,

：.ZBDF=ZCED=25°,

♦：NEDC=90°,

；・NEDB=90°,

:./EDF+NBDF=90°,

：.ZEDF=90°-ZBDF=65°.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角

形的判定与性质是解本题的关键.

23.（8分）在△A8C中，ZA=50°，ZB=60°，点拉在直线A8上，连接8,若△ACO

为直角三角形，请用尺规或三角板画出符合条件的图形，并直接写出N3C。的度数.

【分析】根据三角形内角和定理和直角三角形的性质解答即可.

【解答】解：如图所示：

A

VZADC=ZCDB=90°,ZB=60°,

AZBCD=30°,

如图所示：

/.ZD=40°,

VZB=60°,

AZBCD=60°