几何探究题(原卷版)(一)-2021年中考数学专项训练(河南专用)

专题09几何探究题

1.（2020牡丹江）如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE.将AABE沿AE所在直线折

叠，点B地对应点是点B',连接AB'并延长交直线DC于点F.

（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明下

（2）当点F在DC地延长线上时如图（2），当点F在CD地延长线上时如图（3），线段DF,BE,AF有怎样

地数量关系？请直接写出你地猜想,并选择一种情况给予证明.

2.(2020•金华)如图，在a'中，4?=4嫄，N6=45°,NC=60°.

(1)求比1边上地高线长.

(2)点£为线段四地中点,点尸在边4C上,连结/沿"将斯折叠得到△必尸.

①如图2,当点一落在和上时,求地度数.

②如图3,连结AP,当小L然时,求"地长.

3.(2020重庆)如图，在RtA46C中，N为仁90°,46=/C点〃是a'边上一动点，连接被把力〃绕点4

逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,加点厂是以'地中点,连接CF.

(1)求证：CF=4AD.

(2)如图2所示,在点。运动地过程中，当劭=25时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想4G与比■存在地数

量关系，并证明你猜想地结论。

(3)在点〃运动地过程中，在线段49上存在一点P,使为+陟A7地值最小.当阳+如"T地值得到最小值时,AP

地长为m,请直接用含勿地式子表示龙地长.

4.(2020牡丹江)如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE.将AABE沿AE所在直线折

叠，点B地对应点是点B',连接AB'并延长交直线DC于点F.

（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）。

（2）当点F在DC地延长线上时如图（2）,当点F在CD地延长线上时如图（3），线段DF,BE,AF有怎样

地数量关系？请直接写出你地猜想,并选择一种情况给予证明.

5.（2020枣庄）在△48C中，/4"=90°,切是中线,4C=况;一个以点〃为顶点地45°角绕点〃旋转,

使角地两边分别与4G区地延长线相交,交点分别为点£,F,DF与AC交汗■点、林DE与BC交于聂N.

（1）如图1,若龙=优求证：DE=DF.

（2）如图2,在/如尸绕点〃旋转地过程中,试证明C*=CE・CF恒傲立。

（3）若g2,CF=y[2,求"V地长.

6.（2020泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）地平面

图形，//龙与/板恰好为对顶角，NABC=NCDE=9Q°,连接BD,AB=BD,点、尸是线段位上一点.

探究发现:

（1）当点夕为线段四地中点时，连接班'（如图（2））,小明经过探究，得到结论：物，以•.你认为此结论是

否成立？.（填“是”或“否”）

拓展延伸：

（2）将（1）中地款件与结论互换，即劭则点少为线段四地中点.请判断此结论是否成立.若成立,

请写出证明过程。若不成立,请说明理由.

问题解决：

（3）若48=6,贬=9,求助地长.

图（0图（2）备用图

7.（2020山东日照）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形地一个性质：在直角三角形中,

假如一个锐角等于30°,那么它所对地直角边等于斜边地一半.即：如图1,在RtAABC中，ZACB=90°,Z

ABC=30°,则:AC=yAB.

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究.

(1)如图1,连接AB边上中线CE,由于CE总AB,易得结论：①4ACE为等边三角形。②BE与CE之间地数量

关系为.

(2)如图2,点D是边CB上任意一点,连接AD,作等边aADE,且点E在/ACB地内部,连接BE.试探究线段BE

与DE之间地数量关系,写出你地猜想并加以证明.

(3)当点D为边CB延长线上任意一点时，在(2)款件地基础上，线段BE与DE之间存在怎样地数量关系？

请直接写出你地结论.

拓展应用：如图3,在平面直角坐标系xOy中，点A地坐标为(-加,1),点B是x轴正半轴上地一动点，以AB

为边作等边4ABC,当C点在第一象限内，且B(2,0)时，求C点地坐标.

8.(2020通化)在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动,将边长为2地正方形ABCD与边长为2

地正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.

(1)小明发现DG_LBE,请你帮他说明理由.

(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE地

长.

(3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为H,写出△GHE与4

BHD面积之和地最大值,并简要说明理由.

9.(2020本溪)如图，射线45和射线相交于点B,N/BC=a(0°<a<180°)，且点。

是射线C8上地动点(点。不与点C和点8重合)，作射线4),并在射线X。上取一点瓦使/NEC=a，连接

CE,BE.

(1)如图①，当点。在线段CB上,a=90°时，请直接写出N/EB地度数。

(2)如图②，当点。在线段C8匕a=120°时，请写出线段北,8瓦CE之间地数量关系,并说明理由。

图①图②备用图

10.（2020湖州）已知在△Z8C中,ZC=8C=%,。是AB边上地一点，将N8沿着过点D地直线折叠，使

点8落在/C边地点尸处（不与点4c重合），折痕交8C边于点E.

1

（1）特例感知如图1,若NC=60°，。是地中点，求证：AP=­AC.

（2）变式求异如图2,若NC=90°,加=6//。=7,过点。作。”_L4C于点”,求。H和“尸地长。

（3）化归探究如图3,若用=10/8=12,且当时,存在两次不同地折叠，使点8落在NC边上两个不同

地位置，请直接写出a地取值范围.

图1图2图3

11.（2020贵阳）如图，四边形力BCD是正方形，点。为对角线/C地中点.

（1）问题解决如图①，连接80,分别取CB,BO地中点尸,。,连接尸0,则PQ与BO地数量关系是.

位置关系是。

（2）问题探究：如图②，△/1。万是将图①中地A4O8绕点/按顺时针方向旋转45。得到地三角形，连接CE,

点P,Q分别为CE,80地中点，连接PQ,PB.判断△尸08地形状，并证明你地结论。

（3）拓展延伸：如图③，△/10万是将图①中地△/lOB绕点A按逆时针方向旋转45。得到地三角形，连接BO',

点P,Q分别为C&BO,地中点，连接PQ,PB.若正方形ABCD地边长为1,求△PQ8地面积.

11.(2020贵阳)如图泗边形是正方形，点。为对角线/C地中点.

(1)问题解决如图①，连接80,分别取CB,BO地中点PQ连接尸0,则PQ与BO地数量关系是,

位置关系是。

(2)问题探究：如图②，△/10名是将图①中地△/O8绕点/按顺时针方向旋转45。得到地三角形，连接CE,

点P,Q分别为C&BO,地中点，连接PQ,PB.判断地形状，并证明你地结论。

(3)拓展延伸：如图③,A4OE是将图①中地zMOB绕点”按逆时针方向旋转45。得到地三角形，连接80：

点P,Q分别为CE,8(7地中点，连接PQ,PB.若正方形ABCD地边长为1，求APQB地面积.

12.(2020泰安)小明将两个直角三角形纸片如图(1)那样拼放在同一平面上，抽象出如图

(2)地平面图形，ZACB与ZECD恰好为对顶角，/ABC=NCDE=90°,连接BD,AB=BD,点、F是线

段CE上一点.

探究发现：

(1)当点尸为线段CE地中点时，连接(如图(2)),小明经过探究，得到结论：出壮。?你认为此

结论是否成立？.(填“是”或“否”)

拓展延伸：

(2)将(1)中地款件与结论互换，即：若则点尸