2024年高考数学数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题

目录

通项放缩..........................................................................3

MS与导数结合的放缩.................................................................8

数列恒成立问题....................................................................9

知识点•梳理

1.常见的裂项公式：必须记

111,212

:

例如-/77<-2*<7八或者/『<[―</—/等

n(n+l)n(n-l)n+7nVH+Vn-1

2.一个重要的指数恒等式：

“次方差公式a"—O'=(。—b)(a'T+。"-2。+/一3〃+…+。/一？+加,一1).

这样的话，可得：an-bn>(a-b)ani,就放缩出一个等比数列.

3.糖水不等式：设“>根>0,c>0,则竺<二把.

nn+c

4.利用导数产生数列放缩：由不等式lnx<x-1可得：-^<ln(-+l)<-,neiV+.

n+1nn

1/15

常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择）

一、等差型

1111/

F<7------=-----------------(n>2).

(1)(n-ljnn-1nv

1111

(3)

n24n24n2-1y2n-l

1n\11111/C、

(4)J---=7------<------<---<——7=-------------(r>2).

nr---r!(n-r)!nr---r\7(r-1)r-1rV八

二、根式型

(5)/----产=2(一dn-1+4nVn>2)

y/n^l+y/n'八7

(7)—j=--j=-----j=>—j=----1=+J〃+l)；

yjnA/〃+，〃+l'7

111Vn+l-V^l1

=———<————,•—~^=^=---^=^=

导y1几・n21)^(n-l)n(n+l)J〃+l-」n-\

>Jn+l+y/n-1

2y[n

(9)<

n3•n+yjn-n2ny/n-1+(n-l)VnJ("l)丁(6+J”l)

指数型

(10)

(2H-l)2-(2n-l)(2n-1)(2n-l)(2n-2)-(2n-l)(2n-J-1)-2^-1-2n-1(n-2)»

2/15

1+-|<1+1+—1+^1-+---+1

(11)<3；

n1x22x3

111222

(12)----------------------<—

2〃一1(l+iy-lC"+C；-ln(n+l)n九+1'

12〃T11

(13)----<（北2）.

2〃一1(2n-1-l)(2M-l)-2n-1-l2n-l

212

(14)2(J〃+1—Vn)=<<=2(VH—yIn-1).

+1++dn-\

高考真题•回顾

（2021浙江卷）已知数列｛4｝满足4=1，4〃项和为S“，则（）

A<S)9

-1'100<3B.3<S100<4c.4<S100<-D.loo<5

11

解析:由%+—

1+24

7

/、2

1111111111{n-\〃+l

--------<-»=+-=x>-,--------<—=+—，即根据累加法可得,-)=<1+---=----

2a22

4+12,4+1M也+1

4n+1

,4+1<a

当且仅当，7=1时取等号，证171+2~^+3"

n+\

4115ioo>1.另一方面；•曝w"，由累乘法可得见V6

一方面不>UFQn

2〃十J(〃+1)5+2)'

当且仅当〃=1时取等号，由裂项求和法得：所以

11111111113

doo*6-+—+-+•••+=6<3,即5<S]OO<3.故选：A.

2334451011022102

重点题型•归类精讲

题园O通项放缩

2

1.已知%=〃+1,若数列

的前几项和为北，求证：Tn<~.

【详解】证明：由（1）得为=〃+1

3/15

114

所以;7=---------7----------------T<

UnH+1）4（〃+1）

111

所以=级+

2H+12〃+3

111111

=2++

355779

3叫311111

2.已知〃〃二证明:-----1--------1-------F,,•H------<一

2a„3

【详解】

_1_—_2V___1__<_2x_1_—__2_

3〃+133"_3向'

2

1-F

1122229111

所以+-+•••+一<—纸+—F—§一/<§

3〃-1证明：:1+机1+…机1Q

3.（2014全国2卷）已知〃〃=4

2

1211

解析：一才7，因为当时，3"—122义3"一1，所以------<---------

4J—13"-12X3"T

1i-X

-4v-=23a--iL）<32

于是

"CCCCQ1Q2

a33S”"[123"2

n1--

3

11113

所以一+一+一+…+一<-

2,

注：此处3"-122X3”T便是利用了重要的恒等式:〃次方差公式:

a'1-bn=｛a-b）（a'T+^产）.

ab++...+必一+

231

当然，利用糖水不等式亦可放缩：--<4=—,请读者自行尝试.

3"—13"3"T

2

4.已知勺=2"-1,｛。“｝的前〃项和为S“，bn>0,b；t=l+—,数列出｝的前〃项和为证明：Tn<n+\.

3〃+i

92

【详解】ST，则―）2,…即

〃2+2〃+3A/M2+2/1+3

—z772-'则“二------------

（九+1）〃〃+1

4/15

.।J?+2九+3,+2-+3+22

.b_]=_____________।______________2___L__________________________<_____________

*1,"〃+ln+1(»+l)U(«+l)2+2+(/7+l)l(〃+1>2(〃+1)

-----1----<--1-------1---

(n+1)2nn+\

**.T=瓦+Z72H—+b<〃+1--------<〃+1

nnn+1

u万…+的&面的整数部分是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】注意到

]<]

yjn++1y/n—1+dn+1

]1J.+2-G

+\/n+1

据此可得答案.

【详解】

则不金员石+忑川…+加加

<1(V2-V0+V4-V2+V6-V4+---+VW0-V98)=^y^-=5.

]>1_y/n+2-y/n_J.+2-Vn

又五+Nn+14n+J.+2(Jn++2)Rn+2-G)2

1]]]

，则抗+逐+g+/+行+后++V99+Vioo

>|(V3-A/1+V5-V3+V7-75+---+7101-M)=而;G

VlOO-19

〉--------——•

22

故9<超卜+714石+'后+…+的二W<5'即整数部分为4

5/15

2023届•广东省综合素质测试(光大联考)

6.已知正项数列｛•“｝的前n项和为S,,且满足a；=2a£-l.

⑴证明：数列⑶｝是等差数列；

(2)设数列的前n项和为北，证明:%>18

【详解】⑴当心2,〃eN*时，由a；=2a“S“-ln(S“-S“"=2(S"-Sa)S「lnS；-S，=l,

所以数列优｝是等差数列；

(2)S：=2S4-lnS：=l,由(1)可知数列｛S：｝是等差数列，且公差为1,

所以S；=1+(力-1)•1=〃，又因为数列｛%｝是正项数列,

所以s“=屈咤卡玄>=,

7；00>2(V2-1)+2(V3-V2)+.­•+2(7101-7100)=2(7101-1)>2(7100-1)=18.

2024届•广州•仲元中学校考

7.已知｛%｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.｛〃｝是公比大于0的等比数列，4=4,4-4=48.

⑴求｛凡｝和也｝的通项公式:

1*〃

(2)记g=%,+厂，"eN,证明：£<2板(〃GN'

【答案】%=4”

⑵证明见解析

【分析】(1)由等差数列与等比数列的性质求解,

(2)由放缩法与错位相减法求和证明.

3x7

【详解】(1)对于等差数列｛%｝,$8=8%+；—4=64,而d=2,解得4=1,故。“=2"-1,

对于等比数列他,｝,d=4,则4-旬=48=4(q2-q),而公比q>0,解得4=4,故％=4"

、1k

(2)%=4*不

“12

令S=—+—+•••+

222

vjjwlc11\n\n

=--=A1--■

乙乙乙乙乙乙乙

1力〃

得S=2-/卞<2,故t0s<2血，原式得证

ZZk=i

6/15

77I

8.已知数列｛4｝前〃项积为兀且-设5“="+4求证：„>a„--.

n+15+12

［详解］(=%•/4=；x,x…*号=-^.

23n+1n+1

所以S"=*+T；+…+7；=*+1+—春

11111111111

〉----1-----------1-----------------------=------------1-----------F,••H-----------------------=----------------.

2x33x4(n+l)(n+2)2334n+1n+22n+2,

▼L.上1〃+1111

又因为。“+1--=----=--------

2〃+222几+2

所以S”>。〃+1-g.

4〃，1114

9.已知?=一，数列证明：二+丁+…+丁<6,

n4%bn9

【分析】当〃=1时，验证所证不等式成立，当时，由放缩法可得出5w』r，再结合等比数列求和

bn3.4

公式可证得原不等式成立，综合可得出结论.

【详解】解：由〃=〃4—1=4〃—1,所以，么=4・4〃-J1=3・4〃T+4〃T—123・4〃一\

114

当〃=1时，丁丁“

1111^111\1I4〃J4乙1\4

当〃时，

222,7

b】b2bn3(444〃TJ319(4J9

4

，一，1114

综上所述，对任意的〃EN*,-+—+

u\U?

10.已知氏=1刍一，若b“=aj,S"为优的前w项和，证明：12Vs“<15.

2—3

角

2什12向22”+i3

a______x______

【解析】•••巴也=nan,--b„=a；

2用-32"+i-312,,+1-32"包-32计1_3,

2"+13

:〃eN*,2"+i-3>0,.•也=______x______>0,.-］=4=12,

2用-32"+1-3

2向32"+i311

——；X——<——X=6

22一32角一32"1-32〃一32"-3-2"+1-3)

24

.•.邑=4+&=12+石<15,

7/15

neN*,n>3,

s〃<4+4+6(^--------------------——

〃12G-324-324-325-32n-3

24(1=12+二+吗2+匕

=12+—+615,

25I23-325525

/.12<Sn<15.

题四三与导数结合的放缩

利用导数产生数列放缩：由不等式lnx<x-l可得：-^<ln(-+l)<-,ne2V+.

n+1nn

11.(2017全国3卷)已知函数/(x)=x-l-alnx.

(1)若/(x)》0,求a的值；

(2)设加为整数，且对于任意正整数〃，(1+工)(1+[)…(1+])(加，求加的最小值.

解析：(2)由(1)知当xe(l,+8)时，%—1—lnx>0,令X=1H---得ln(lH----)<—从而

ln(l+-)+ln(l+i+---+ln(l+—)<-+^+---+—=1-—<1.

2222"2222"2"

故(1+；)(1+…(l+》<e，而(l+1)(l+i)(l+i)

>2,所以加的最小值为3.

--------(aw6),

2,.两个正数〃和〃的对数平均定义：L(a9b)=hna-lnb对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:

a{a=b).

，石WL(a,。)2(此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当a=〃时，等号成立.

2

进一步，在不等式左端结合均值不等式可得：

b—a)2111

当Z?>a>0时Inb—ln〃11，BPIn/?—Ind!<—(—i—)b—a.

—+—2ab

ab

令a=n,b=几十\,贝ljln(n+1)-Inn<—(—H——--),所以ln(n+1)-Inn<—(―H——--)①.

2nn+12nn+1

若再利用4ab<L(a,b)

<^lna-lnb<<»In—<J—-J—=21nx<i(其中x=>1),接下来

4abb\bx\b

8/15

1

令T+j1+—---,>2ln./1+—

nn，可得,i>/"(1--),

1+-Pn

n

Vn

17/〃+1、

x(]+2m]]]1

12.已知函数/(x)=ln(l+x)-一~」，设数列他“}的通项a“=i+++…+一，证明：—>ln2.

1+x23n4〃

解析：由上述不等式①，所以皿几+1)-111〃<!(1十一二)，

2nn+1

ln(n+2)-ln(〃+1)J(」一+」一)，ln(n+3)-ln(n+2)<!(」一+」一)

2n+1〃+22n+2〃+3

…，In2n—ln(2n-1)<—(----+—).将以上各不等式左右两边相加得：

22〃一12n

1122221

ln2n-lnn<-(-+——+----+----+…+-----+——),

2nn+1n+2〃+32n—\2n

口皿c111211

BPIn2<—+--+------+----+…+-----+—,

2nn+1n+2〃+32〃一14〃

M112111c.11c

故----1------1------1—H----1--->In2,即ct—ci-\---->In2.

〃+1〃+2〃+32n4n?4〃

13.已知函数/（乃=旄读—

（1）当。=1时，讨论/（尤）的单调性；

（2）当x>0时，f（x）<-1,求。的取值范围;

111,,,、

(3)设weN",证明：尸一+=——+…+/。>山(〃+1).

VI+1V22+2Vw2+/1

、1/九+1\

【答案】⑶证明：由上述不等式②'进一步求和可得:

y1>yln(—)=ln(-X-X...X—)=ln(n+1),

署收+kMk12n

[+[+...+]>ln{n+1)

即#+1物+2Jn2+n

题园目数列恒成立问题

14.已知等差数列｛凡｝的前w项和记为S“（weN*）,满足3%+2%=$5+6,数列｛S“｝为单调递减数列，求勾

9/15

的取值范围.

【答案】(-8,2)

【分析】设等差数列｛〃“｝的公差为d,由已知可得』=-2,求得S,,由数列的单调性列不等式即可得q的

取值范围；

【详解】设等差数列｛凡｝的公差为d,由于3%+2%=原+6,

所以3(%+d)+2(q+2d)=5%+10d+6,解得d——2,

所以=net]H——--d=-n+(4+1)川,

若数列｛s“｝为单调递减数列,则5向-s.<0对于〃eN*恒成立，

所以S.+i-S“=[一(”+1)+(q++(q+1)〃]=%-2〃<0在九eN*上恒成立，

则可<2〃，所以q〈⑵入「又数列｛2〃｝为递增数列，所以(2冷1nhi=2x1=2,即％<2,

故％的取值范围为(-0°,2)

15.已知数列｛叫满足：4=1,2a,I+1=anbn=(iv-3n-2)•a„,若对于任意的〃eN*,恒成立,

则实数九的取值范围为

【答案】；，+9

【分析】由6=1,2%=为可得%=小,进而得到么,=一二12,结合％.=一萼*1,分心〃45

和〃上6分类讨论，确定数列｛2｝的单调性，求出勿最大值，进而得解.

【详解】由数列｛%｝满足q=1、2a用=4得：｛%｝是首项为1,公比为3的等比数列，

._1及2—3〃一2

,•an=，."“二，

.(〃+1)-3(〃+1)—2n2—3n—2—5)

・・。—。-----------------------------=---------，

〃+1n2〃2〃-12〃

当1OV5时,bn+i-bn>0,：,bn+l>bn,当且仅当〃=5时取等号,b6=b5,

当时，bn+l-bn<Q,：.bn+x<bn,

当〃45时，数列也,｝单调递增，当“N6时，数列｛"｝单调递减，

贝！!当”=5或〃=6时，(么)=-_,

\n/max2

而任意的“eN*,24彳恒成立，则

二实数几的取值范围为g,+8).

16.已知数列｛即｝对任意见〃金N*都满足且〃尸1,若命题"V〃£N*,九屋Q；+12”为真，则

10/15

实数4的最大值为一.

【答案】7

【分析】先求出｛见｝的通项公式，然后参变分离转化为求最值

【详解】令根=1,则an+i=an+。/,an+i—an=a7=l,所以数列｛aQ为等差数列,首项为1,公差为1,所以an=〃,

1o

所以Xa0a；+12=>An<n2+12=>A<«+——,

nn

io

又函数y=X+一在(0,26)上单调递减，在(2V3,+00)上单调递增，

X

12

当〃=3或〃=4时，(〃+——)=7

nmin

所以447

17.数列｛%｝满足q+2%+22%+…+2"%“=；(九+1)“"-1),若对任意彳>0,所有的正整数〃都有

万-^+2>%成立，则实数%的取值范围是.

【答案】卜应友)

【分析】先由题设求得凡，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意4>0,所有的正整数”都有

矛-上2+2>an成立转化为左<4+工对任意彳>0恒成立，再利用基本不等式求得％+］的最小值，即可得

242/1

到答案.

【详解】由〃1+2a?+22tz2--1~2〃％般=3(〃+1)〃(〃—1),

当时，%+2%+2?%+…+2，22),

两式相减可得：2"T%=1［(n+l)n(n-l)-H(n-l)(H-2)］=^(n-l),

・・・%=华口，由%=0,显然成立，

二八_+n(n-l)_n2+n-2n2+2n_-n2+3n

攻an+\~an=一于声一=—二—，

・•・当0<〃K3时，氏+1-%>0,当"24时，an+l-an<0,

因此，0<〃43,数列｛4｝单调递增，当"24时，数列｛%｝单调递减，

由4=：，a4=|,故当〃=3或〃=4时，数列｛4｝取最大值，且最大值为弓，

对任意丸〉0,所有的正整数〃者B有万一人2+2>?成立，可得分—上4+2>万，

因此，kA,<A2H—,即％对任意九〉0恒成立，

222

由2+」-2=,当且仅当％=士，即％=后时取最小值，则上<［丸+上］=母,

22V2424k247min

实数上的取值范围是卜应血).

11/15

18.已知斯=3??+九，若对于任意九eN*恒成立，则实数4的取值范围是

【答案】

【分析】先分离参数将问题转化为即*V2对于任意九eN*恒成立，进而转化为（国中）1_4彳，构造

r\n、0〃/max

b,=F再作差判定单调性求出数列也｝的最值,进而求出X的取值范围.

【详解】因为许=3M+W,且a.W22”对于任意weN*恒成立，

所以即上《2对于任意“eN*恒成立，即（亚土马2«彳，

2般2〃max

人73rr+n2+(n+l)3r+〃M2+5〃+4

b3(M+1)—3

令%=，贝”，.=-----------------2〃+i

311

因b?-=3>0,瓦-2=4>0,b^—b^=——<0,

且bn+l-bn=-+4<。对于任意〃23恒成立,

所以乙<4<4>么>一、即(浮4)max=4=，

所以实数2的取值范围是

19.设S,是数列｛%｝的前〃项和，S„=|«„-3"+1,若不等式为2对任意weN+恒成立，则左的最小

值为（）

A.—B.—C.—D.—

36936

【答案】D

【分析】利用为=1]"：得到％=18,。"-3%=4x3”,变形后得到号]是等差数列，首项为6,

公差为4,从而求出%=（4〃+2）3,故代入a匹丝产整理得利用作差法得到三单调递减,

7k33

最小值为:，列出不等式求出答案.

3

【详解】当”=1时，％=H=]6-32,解得：q=18,

33

当“22时，an=S“-%=乎”一3向一针-+3",

整理得4「3a“T=4x3",

方程两边同除以3",得守-1詈=4,

12/15

a

又三=6,故n是等差数列，首项为6,公差为4,

3"

所以导=6+4（〃-1）=4〃+2,

故q=（4〃+2b3",经验证，满足要求,

2n2+n../.八,,,2n2+n

所以421^为（4〃+2）32——

故2或2(,对任意〃eN+恒成立,

n+1n〃+1—3〃1一2〃w.〃+1〃1-2n_

尹一三―一，当“21时，=^r<o>

,,n+1n

故于丁与，

rj

小单调递减，当〃=1时，w5取得最大值I:,

333

故2戈二,解得:k>~,

336

则上的最小值为上

36

〃eN*）,且%,%为方程x2-18x+65=0的两

20.已知数列｛6,｝的前w项和为S,,满足：2an+l=an+an+2

根，且外>%若对于任意"eN*,不等式2%(4-2)>(a“-if恒成立，则实数彳的取值范围

为

18

【答案】—oo,——

5

【分析】先利用等差数列通项公式求解勺，再利用数列的单调性求解数列2=的最大值,进而

(Zn-i)-2

解决不等式恒成立问题即可.

【详解】由2。用=。“+。”+277eN*)可知数列｛a“｝是等差数列，设其公差为d,

解方程/—18X+65=0得X=5或1=13,又。7>/，

13-5

〃3=5,“7=13,%=4d,d=---=2,

/.=5+2（n-3）=2«-l.

由2%（4_勾〉（4_1）2得2〃（2〃_］）（4_刈〉（2〃_2）2,

（"I）

4—/I>，设2

（2n-l）-2n-2，

n2«—1）-2n3+5/2-2

则b,+「b"=

（2〃+1>2日（2n-l）-2"-2

13/15

由(4〃2-1).2"T>0对于任意〃eN*恒成立，所以只考虑-2/+5/-2的符号,

设“〃)=-2n3+5n2-2(n>l),f'(n)=-6n2+10a=-2"(3〃-5),

令:(〃)>0解得即/(〃)在上单调递增，

令:(冷<0解得〃>；,即/(〃)在">；上单调递减，

"1)=1,/(2)=2,/(3)=-11,

当〃23,/(x)</(3)<0,

当〃=1,"=2时，/(«)>0,即b“+]-b,>。，.,.々<仇<4，

,、71—2/+5”一—2

当〃23